Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508)
Текст из файла
34 51 60 68 ИИ.Ляшко, А.К.Боярчук, ЯГГай ГПГоловач МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Справочное пособие по высшей математике. Т. 3 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 224 с. «Справочное пособие по высшей математике>> выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов.
В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики— математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной. Том 3 по содержанию соответствует второй половине второго тома <<Справочного пособия по математическому анализу>>.
В нем рассматриваются интегралы, зависящие от параметра, кратные и криволинейные интегралы, а также элементы векторного анализа. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физикоматематических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. Оглавление Глава 1. Интегралы, зависящие от параметра 3 81. Собственные интегралы, зависящие от параметра 3 ~2.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов 15 83. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла 84. Зйлеровы интегралы 85. Интегральная формула Фурье Глава 2. Кратные и криволинейные интегралы 81. Интеграл Римана на компакте.
Приведение кратных интегралов к повторным и их вычисление 68 82. Несобственные кратные интегралы 99 83. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 112 84. Интегрирование на многообразиях 148 ~5. Формулы Остроградского, Грина и Стокса 184 86. Злементы векторного анализа 201 87. Запись основных дифференциальных операций векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах 214 Ответы 222 Глава 1 Интегралы, зависящие от параметра ~ 1.
Собственные интегралы, зависящие от параметра 1.1. Непрерывность фуананв Е: У и 1(х, У) Их. Теорема 1. Если функция э': П )й. где П = ((х, у) [ а < х < А, 6 < у ~< В). непрерывна, то функция Е непрерывна на отрезке [6, В). Теорема у. Если функция и непрерывна ма-П, а кривые х т а(у), х т ф(у), у й [6, В), мепрерывны и не выходят эа еео пределы, то функция е(и) 1: у ° У(х, у)дх (2) и(и) непрерывна ма отрезке [6, В). 1.2.
Предельный перевод аод званом ввтеграла. Теорема 1. При условиях теорем п.1.1 справедливы формульз л л Ь ~б(х,у)дхт ) П Д(х,у)дх, и иод „з и ио а о(и) Ео во) Ппэ У(х, у)дх = У(х, уо)дх. и ио/ т(и) М(ио) определенно. семейство функций х ь,)(х, у), еде у — параметр семейства, у й У, равномерно стремится к пределывай функции у при у -~ уо, уо Е К, если ое > О Лб > О такое, что при О < [у — ус[ < б будет [б(х, у) — у(х)[ < е для всех тех к, для когпорых функции У и у определены, Еслн уо = оо, то неравенства О < [у-уо[ < б следует заменить неравенством [у[ > б; если хсе уо = +ос(-со), то тогда неравенством у > б (у < -б), Теорема У.
Если функция У при фиксировамном у Е У непрерывна по х й [а, А) и при у уо стремится к предельной функции у равномерно относительно х, то - Ь~*,.) .=/") *. и ж,/ о 1+ еэ (1-!- е*) (1-!- (1-!- -*)") ]' !, и/ ! -'- ! -("-) 3= -("-) -' о<о<э л и 1+ (1+ -')" при л ос ох Е [О, 1]. Пусть х > О. Тогда [ 1+ гэ!о) ) 2 !п(хг + аг) ! !п(х + [а[) 1 !в(хг+ аг) х]а] ( " (хг !, г)!п(хг ! аг) ' ( 2[а[ 1 < < е (1+ аг) 1п(1+ аг) !в(1+ аг) 1 г г Чх Е [1, 2], как только ]а[ > [ е — 1~ г 3. Найти А = Ьп е "" о!В. „,,( о -йв м Поскольку сйп В > г В при 0 < В ( -', то е л"" < е .
Поэтому г г l "-' Г зло е " о!В(! е е Ю= — (1 — о л) 2Я о о и О<А< йга — '(1 — е )=О,т. е. А=О. и и +от 4, Пусть функция у непрерывна на отрезке [А, В]. Доказать, что х Ыпг — [ (г (г+ й) — г"(М)) Вг = г"(х) — г (а), А < а < х < В. л ой/ 11. Собственные интегралы, зависюцие от параметра 5 а) Ит 1 ~/х2 + аРах = [ [я[ ах = 1; о о -1 -1 г+о 1 Поскольку функции х г й и х ~-; ! при фиксированных и, и Е К и 1 Мох+!ап ге гой) 1и( +о ) и а, [а] > 1.
непрерывны по х (О ( х ( 1 н 1 ( х ( 2 соответственно) и уо(х) = — т —;~ — =г г+(1+д !" и 1 —, когда и оо, а у(х, а) =, го г -т —, когда а сс (см. ниже), то, согласно теореме 2, л.1.2, получаем: 1 1 1 г г Равномерная сходимость последовательности (Г" (х)) и семейства функций х э Г(х, а) вытекает нз следующих оценок: (Р(1+ Ь) — Р'(1)) 1И = (Р(1+ Ь) — Р(1)) [* ж Р(х + Ь) — Р(х) — (Р(в+ Ь) — Р(а)), Следовательно, 1 1 Р(х + Ь) — Р(х), Р(а+ Ь) — Р(а) Йп — у (б(1+ Ь) — у(1)) й = йнз Ь а-0 Ь = Р'(х) — Р'(а) = у(х) — у(а). в 5, Пусть: 1) р„(х) ) О, и б 14, на [ — 1, 1): 2) р (х) =т 0 прв и оо, если 0 < с ( !х! (1; 1 3) р„(х)лх — 1 при л оо.
Доказать, что если у' Е С[-1, 1), то -1 1 1й 1 б( ) .(х) * = У( ). м Пусть б ) 0 задано. Рассмотрим неравенство г 1 Их)р (х)бх+ ~Лх)в»(х)бх 1 1 1(х)000(х) ах — 1 (0) ! )'(х)у (х) 3х — )'(0) Первое слагаемое в правой части (1) оценивается следующим образом Ф 1 Йх)и (х) бх + У(х)р.(х) 3х 1 (2) ( 2М ввр р„(х), 0 < 0 ь101ч1 где М = юак [у(х)! ~ 0 (заметим, что при у(х) ° 0 на [-1, 1] утверждение теоремы станоИЩ1 витез тривиальным). Пользулсь первой теоремой о среднем, а также условием Ц, оцениваем второе слагаемое в правой части неравенства (1): 0 г(4 ) 00 (х) Ых — )'(0) У(х)10„(х) Их — ) (О) 1 < )У(6 ) — Х(0)! р„(х) лх + М -1 1 — В1„(х) йх 1 < [У( -) — (О)! ~ .(х) * + М -1 + 2М вир 10„(х), (3) 0<0<м~<1 где [Я < с.
В силу непрерывности функции г", всегда можно выбрать число с так, что будет выполнлтьсл неравенство !У(бз) — У(~)! < 4М , , (4) б Гл. 1. Интегралы, зввпсищие от параметра л Вводл в рассмотрение первообразную Р функции у, согласно формуле Ньютона— Лейбница, получаем 3 1. Собственные интегралм, зависинцге от параметра После того как число и уже выбрано, из условий 2) и 3) находам б 0 < зир р„(х) < —, о<г<1г1<г ОМ' р„(х) ~Ь вЂ” 1 1 < —, О < ) 1оо(х) бх < 1+ —, (б) б б -1 если и достаточно велико.
Используя теперь оценки (2) — (5), из (1) получаем | 1 у(х)ьг„(х)<Ь вЂ” у(0) 1 при всех достаточно больших и. И 6. Можно ли совершить предельный переход под знаком интеграла в выражении „г 1пи — е гг ~Ь? „(„, о 1 1 „г Г" Г г 1ци/ — е ггбх= — йш/е о'4( — ) = — Лиг~1 — е о ) = —. о о/ уг 2г о/ ( уг ) 2гот ) г Отметям, что в точке (О, 0) функция у: (х, у) г -те гк терпит разрыв. р Р ег г+» 7. Найти Р'(в), если: а) Р(а) = У(х+в, х-в) бх; б) Г(а) = Ых з1в(хо+уз-вг)4у, о О г-о а) Допуская существование непрерывных частных производных функций (и, е) г б(и, г), где и = х + а, е = х — а, согласно формуле Лейбница, имеем О Р (а) = г (2в, О) + / (гг(и, и) — у„(и, е)) бх. о Замечая, что „„= уг + у„, можем записать и ~ о (Уг — Д) бх = 2 Д бх — ~(2а, 0) + У(в, -а).
Следовательно, Г'(а) = у(в, — в) + 2 ('~~1 бх. о о+о б) Обозначим У(х, в) = ) зш(х + у — а ) бу. Тогда иг г"(а) ж21(а, а)а+ 1 (х, в)йх, о ~'(х, в) = з1а(х + (х + а)* — вг) + зга(хо + (х — а) — вг)— ц Нет, нельзя. Переходя к пределу под знаком интеграла, получаем нуль. Если же вычислить интеграл, а затеы перейтн к пределу, то получим Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра та — 2а / соз(г + у — о )»1у.
г г г Такиы образоы, получаем то а» +а Г'(о) = 2а / зш(у + оя — а )»»у+ 2 ~ ып 2зг соз 2ог Нк — 2о / »1т / соз(го+ у» — аг) Ну. В 8. Найти Г"(г), если Г(т) = — Щ 1(х+ г'+ л)»1ш 1» > О, где 5 — непрерывная йг / о о функция. м Очевидно, если функция 1 непрерывна. то справедливо равенство ,у(~+.,) г= / 1(1)Н.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
