Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ЬТ.Ь 51ГЬ2 1. 112' '1(' т-ьт * "1(' т-зт 89. Найти область, на которую функция Жуковского отобрюкает круг К = (» б С: [»[ < 1) с разрезом по отрезку [а, 1[ (-1 < а <!). Рассмотреть случаи о > О и е < О. М Пусть а > О.
Поскольку функция Жуковского отображает единичный круг на всю плоскость с разрезом по отрезку [ — 1, 1), в который переходит граница круга, то она отображает заданную область иа всю плоскость ш с разрезом по отрезку [-1, —, (а 6 — ) ) . 1( 11 Пусть а < О. Функция Жуковского ш = —,' (»+ -') переводит точку о в —,' (о + — ') < — 1, точку — 1 в -1. Пусть» = х. При х -+ -О 1 (х+ -) — со, а при х +Π— (х+ -) — +со. Таким 1) образом, а рассматриваемом случае функция 1Куковского отображает заданную область на всю (глоскость ш с разрезами по лучам (-со, [ (а+ -)) и [ — 1, +со). ш 90. Отобразить на верхнюю полуплоскость круг К = (» Е С: [»[ < 1) с разрезом по отрезку Ц, 1). и Функция жуковского ш, = —,' (» 6 —.) отображает заданную область на всю плоскость ш( с разрезом по отрезку [-1, 1) .
Получили задачу 79, в которой», = ш, = — 1, »2 — — ш, 51 (П (21 5 Следовательно, искомое отобрюкение — функция 91. Отобразить на верхнюю полуплоскость круг Ь = (» Е С: [»[ < 1) с разрезами по радиусу [-1, О[ и отрезку [а, 1[ (О < а < 1). М Функция Жуковского ш, = —, (»+ Т) отображает заланное множество на всю плоскость 1 2 ш, с разрезом получу (-оо,; (а+ —,)). Действительно, —,' (а+ -) > /а -' = 1, » = х — -со при *- — О, а окружность 7 = [» Е С: [»[ = 1) переходит в разрез по отрезку [-1, 1[.
В итоге получаем плоскость с разрезом по лучу 7 = (-со, - (о+ -)). Функция шз = ш( 1 (е+ ) 1( 11 отображает плоскость ш, с разрезом по лучу у' на всю плоскость (и, с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси. Функция шз — — -ш, Отображает плоскость шз С раЗреэом вдоЛь отрицательной действительной полуоси на всю плоскость ш, с разрезом вдоль положительной действительной полуоси. Следовательно, требуемая функция— Гл, 3. Элемевтарпые фупкщвп в комолекспой плоскости 13б 92. Отобразить на верхнюю полуплоскос]ь верхнюю половину круга К = (з б С: [з[ < 1[ с разрезом ~о отрезку (О, !а[ 10 < а < ! !. м Функция ш, .= з' отображает заданное множество на единичный круг с разрезом вдоль отрезка [-а], 1[. Функция Жуковского ]я] = -, (]и, + — ) отображает этот круг с разрезом на !г' ]\ всю плоскость ш] с разрезами вдоль лучей (-со, — -] (а] + ч~) ) и [О, +со!, а функция ш, + -,' (а' о --'т ) И]] ]я] о~обряжает эту плоскость с двумя разрезами на всю плоскость с разрезом вдоль положительной лсйствительной полуоси.
Следовательно, ]и = гш] — искомое отобркжение. Таким образом, 93. Отобразить на верхнюю лолуллоскость верхнюю половину круга К = (х Е С: [г[ < ! [ с разрезом по отрезку [а], ][ 10 < а < 1). м Функция ш] — — з отображает заданное множество на единичный круг с разрезами ~о отрезкам [-1, — а'[ и [О, ![. Функция Жуковского ш] = -,' (ш] + — ') отображает этот круг с двумя разрезами на всю плоскость в, с разрезом вдоль луча [-1 (а'+ ]г), +оо) Функция 1!г ] ш]- — ш,+ — а +— а]) отображает плоскость ш] с указанным разрезом на всю плоскость в]с разрезом вдоль положи- тельной действительной полуоси. Следовательно, — требуемое отображение. м 94.
Отобразить круг К = (х Е С . [з[ < 1) с выкинутым отрезком [(1 — Л)е', е' ) на единичный круг плоскости ш. Функция ш, = —,*„отобрюкает эаланную область на единичный круг с разрезом ио отрезку [(1 — Л)е', е' [, а функция ш] = -, (ш] + — ') отображает этот круг на всю плоскость в, с разрезом по отрезку [-1, Л,[, где й, = (1- й+ —,'„) = н]„~'„ь~.
Длина этого и-л1]ь] ]]-лр отрезка равна ]н„, + 1 = — „, „,. Возьмем половину длины этого отрезка и рассмотрим чиа ь]] л' сло Л, — „,] —— „, ь,. Осушествим преобразование переноса так, чтобы разрез [-1, Л][ стал симметричным относительно начала координат, полагая Л' в] = ]6]— 4(1 — й) Функция ш] отображает плоскость ш, с разрезом по отрезку [-1, Л,[ на всю плоскость ш] с разрезом ло отрезку (-,-[] ь]-„14-,] ь[-~ . Рассмотрим в плоскости ]и единичный круг К] = (ш б С: [ш[ < 1[, на который отображается круг К.
Функция и = -' (ш+ -') отображает круг К, на всю плоскость и с разрезом ~о отрезку [-1, 1[. Полагая 137 бб. Тригонометрические и гиперболические функции и подставив в это равенство получим после сокращения на — ,: 2 1+ ю+ — = — +— 95. Отобразить на внешность единичного круга: 1) всю плоскость с разрезами по отрезкам ]-1, 1] и ]-1, (] (внешность креста); 2) всю плоскость с разрезами до лучам (-гю, — 1], ]1, +ж), ( — гж, — 1], ]1, ч.(со).
м для решения задачи сформулируем, не вникая в подробности, принцип силгметряи Рпиила — Шварца, который рассмотрим подробно в главе 7. Суть его состоит в следующем: пусть область О С С ограничена замкнугой жордановой кривой Г, в состав которой вхолит дуга 1 окружности Л расширенной комплексной плоскости, Пусть функция / определена и непрерывна на О О 1, аналитическая в С, а на 1 принимает значения, принадлежащие некоторой окружности С С С. Тогда / продолжается через дуну 1 в область б, симметричную с О относительно В до функции, аналитической в С и 1 О б*. Такое продолжение (через 1) единственно и определяется следующим свойством продолженной функции /: если точки х Е 6 и х* Е б симметричны относительно Л, то точки зя = /(а) и ю" = /(я*) симметричны относительно С.
В частности, если Л и С совпадают с действительной осью плоскости С, то /(а) = /(у) при з Е О О 1 О б*. 1) Внешность креста изображена на рис. 56. Применим принцип симметрии Римана — Шварца: отображаем верхнюю полуплоскость с раз- резом ]О, 1] на верхнюю полуплоскость, полагая Функция зя, вместе с ее аналитическим продолжением, которое также обозначим я ы осуществляет отображение внешности креста на всю плоскость ял с разрезом вдоль отрезка ] — ъ/2, ч'2] Функция яп зяг =— ъ/2 отображает плоскость яь с указанным разрезом на всю плос кость зяз с разрезом по отрезку ] — 1, 1].
Функция Ряс. 56 гя = зяз+ Х/в2 — 1, обратная функции Жуковского, осуществляет отобрюкение плоскости юз с разрезом по отрезку ] — 1, 1] на внешность единичного круга. Окончательно получаем: 2 Ч 2 /2,Гг ч2( 2) Функция ю, = —,' осуществляет отобрюкение заданного множества на внешность креста из предыдущей задачи. Поэтому искомое отобрюкение ю определяется формулой ю = — ~з/ю + 1 — ХУ ю, — 1] = — Г '4 1-~- аз -Ь Х/1 — зз ] . М 96.
Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку 1 = (х Е С: Вез = а > О, О <~ (гп з < Л) на верхнюю полуплоскость. м Искомая функция гя является композицией элементарных преобразований: ю, =я — а, юз =ю,, ягз — — зязя.й, за = з/юз = (е — а) +Аз. Гл. 3. Элементарвме функции а комплексной плоскости 138 Легко видеть, что аналитическая ветвь си, осуществляюшая заданное отображение, определяется условием си(0) < 0 (см.
рис. 57), м Рас. 57 97. Отобразить на верхнюю полуплоскость н на внешность единичного круга внешность креста, состояшего из отрезка )-а, Ь) действительной оси и отрезка (-сг', сг) мнимой оси (а > О, Ь > О, с > О, а + Ь + с ~ 0) (рис. 58). и Согласно решению задачи 96, функция ю, = /гг+ с' конформно отображает верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку (О, сг) на верхнюю полуплоскость, причем рассматривается та ее ветвь, которая характеризуется условием ги,(0) < О. При этом прямолинейный отрезок границы б = (г Е С: -сс ( Ке г < -а, 1т г = 0) гз О (г б С: Ь < <Ке г < +ос, !т г = 0) отображается на отрезок ,Ь,. а.
=" 7 = (ги~ Е С; — сс ( Ке аг~ ( — Хг/аз+ сг, 1пии, = 0( Гз О ) ю1 б С: 0 < Хг/Ь' + с' < Ке пг, < +со, !пг ач — — О) . Уас. 55 Согласно принципу симметрии Римана — Шварца, функция ю, допускает аналитическое продолжение в нижнюю полуплоскость через отрезок б, При этом образом внешности креста в пг, -плоскости является внешность отрезка 1 = (ач б С: —,/аз+ с < Кеач ( ~г/~ь ч- сг, 1т ю, = О(. Согласно решению задачи 79, функция си = ) ю|+ ъ/ау+ сг ъгг~+сг+ ъаг+сг (1) ъ/Ьг+ сг — ег~ ./Ьг + сг — х/гу+ сг отображает внешность отрезка 1, следовательно, н внешность креста, на верхнюю полуплоскость.
Решим вторую часть задачи. Обозначим длину отрезка [-ъгаг Ч- сг, ъ'Ь' й с') через 273 и подберем такое а Е К, чтобы выполнялись условия -ъ~а~+сг+а ъ/Ьг+ст+а =-1, =1, г г что равносильно уравнениям 2 (ъгьт+ от+ а) 2 (-ъгау-ь от+ а) =1, = -1. ъгьг+ от+ ъ/аз+ от ъгаг+с~+ 1/ат — ст гъг Ы+г Решением этих уравнений является а = 139 и 6. Тригонометрические и пшерболические функции Функция юз —— -'(м + а) отображает плоскость цч с разрезом по отрезку [- т/ах+ сг, ъ/Ьз + сз[ на всю ш, — плоскость с разрезом по отрезку [ — 1, Ц, Для получения требуемого отобрюкения плоскости юз с указанным разрезом применим ф)чзкцию, обратную функции Жуковского: 2 ;з и = газ + Х//ю, '- 1 = — Х/л' + с'+ а+ ~Х/з5 Ь с'+ а [ — [)з где ъ/аз + сз ь/ьт+ сг тамаз ч- сз ч- ь/ьг+ сг а= 2 2 98.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
