Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 40
Текст из файла (страница 40)
5. Найти образ области С = (5 Е С: !5( < -') при отобрюкении =( — ':)' б. Найти образ области О = (э Е С; 15( ( 2, 0 < агйе < —,) при отображении в = (*т-+25) 7. Найти образ множества Р = 15 Е С: Ке 5 > 0,120 5 > 0) при отображении 2 8. Множество Р = !5 Е С: 15! ( 1, Кеэ )~ 0) отобразить с помощью функции 9. Доказатгь ЧтО фуикциЯ 22 42 22 224 2422- 2 однолистно и конформно отобрюкает область Р = (з Е С: !з! < 1, 0 < агаи < —,) на область Р = 1в Е С: ~в! < 1). 146 1 л. 3.
Элементарвме фувкции в комплексной плоскости 10. Найти образы указанных областей при заданных отображениях: ъ 3 а) й = (з б С . ф < 2, 1ш з > 1), в = — (-* — +Я:-'-) ъх б) ъг = (г Е С: )я! > 2) гз (з Е С: |з — ъ'2~ < ъ'2), в = (-'= — д~-';:о ); ъз в) С = (с Е С: )4 < 1) и (с Е С: ~я + 1~ > 1), и = — (-; — "7з — ":) 11. Найти степенную функцию, отображающую взаимно-однозначно и конформно внутренность угла 0 < агй з < -„на всю комплексную плоскость и с разрезом по лучу агйв = -", .
12. Найти функцию, отображающую однолистно и конформно внутренность угла О < агб(я — г — 1) <— на область й = (в б С: Ке ю > О). 13. Найти функцию, отображающую взаимно однозначно и конформно внутренность угла --", < агй(г — г) < -„ на верхнюю полуплоскость. 14. Найти функцию, осуществляющую взаимно однозначное и конформное отображение внутренности угла — — < агя(з — а) < — ', на область 6 = (в б С: 1ш и > 0). 15. Найти функцию, отображающую однолистно и конформно область 6 = (г б С: Ке з > О, 1ш г > 0) на область 2) = (в Е С: Рею > 1).
16. Найти целую линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами в ~очках О, 1, г на подобный ему треугольник с вершинами О, 2, 1+ г. 17. Найти целое линейное преобразование с неподвижной точкой 1+ 21, переводящее точку г в точку -г. 18. Для указанных преобразований найти конечную неподвижную точку зь (если она сушествует), угол поворота вокруг нее а и коэффициент растяжения к. Привести эти преобразования к каноническому виду в — яе = Л(з — зе). !) в = 2з 4 1 — Зг; 2) и =(з-~4; 3)вг я+1 — 2г; 4) и — ю, = а(з — з,) (а гь О); 5) в = аз + Ь (а и' О). 19. Дана функция в = -';:-*г. !) Доказать, что прообразом семейства а = (ю Е С: ~в! = Л (О < Л < +ос)) является семейство окружностей (окружности Аполлония) Для данного Л найти радиус и положение центра соответствующей окружности в я -плоскости. 2) Найти прообразы лучей ахи = К 3) Построить сетку в з-плоскости, соответствующую полярной сетке в и-плоскости.
4) Найти область я-плоскости, соответствующую полукругу К = (ю б С; |в( < 1, 1гп ю > 0), 20. Найти общий вид дробно-линейной функции ю = в(г), отображающей круг К = (з б С: ф < 1) на правую полуплоскость Р = (в Е С: Ке ю > О) так, чтобы в(з,) = О, в(я,) = со, где з, и я, — заданные точки на окружности дК и такие, что асяс, < агкз,. 21. Найти центр ие и радиус В окружности, на которую функция в = -': —,*-~ отображает действительную ось (1т я, ~ 0).
22. Найти общий вид дробно-линейной функции и = в(з), отображающей круг К = (з б С: ~4 < В) на себя при следующих условиях: 1) в(а) = 0 ()а) < Я); 2) в(а) = Ь ()а~ < В, /Ь~ < В); 3) и(~В) = ~В. 23. Отобразить круг К = (з б С: ~4 < 1) на себя так, чтобы заданные точки гп вз внутри хрущ перешли в точки жа (О < а < 1). 24.
Отобразить круг К = (з б С: !4 < 1) на себя так, чтобы отрезок действительной оси 7 = (г Е С: 0 < Кег < а (а < 1), 1шя = 0) перешел в отрезок действительной оси, симметричный относительно начала координат. Найти длину преобразованного отрезка. Упражнения для самостоятельвой работы 25. Доказать, что при отображении круга на круг линейное преобразование однозначно определяется заданием образов одной внутренней и одной граничной точек. 26.
Доказать, что если линейное преобразование имеет две неподвижные точки, то произведение производных в этих точках равно единице. 27. 1) Выяснить, для каких значений т функция м = Л(з + шг"), где и Е И, осуществляет конформное отображение круга К = (з Е С: [х[ < 1) на некоторую область, и найти эту область. 2) Выяснить зти же вопросы для отображения внешности круга К при помощи функции м = )2 [з Ч-,— „) и внутренности того же круга прн помощи функции м = В (-,' + пзл"). 28. Полуплоскость Р = [з Е С: 1ш з > О) с разрезом по луге окрухсности 7 = (з Е С: [з[ = 1) от точки з = 1 до точки з = е', где 0 < а < г, отобразить на верхнюю полуплоскость.
29. Отобразить на верхнюю полуплоскость внутренность угла 0 < агдз < я)3, где 0 <,3 < 2, с разрезом по луге окружности 7 = (х Е С: [х[ = 1) от точки з = 1 до точки з = е' , где 0 < а < (3. 30. Отобразить на верхнюю полуплоскосзь внешность единичного верхнего полукруга с разрезом по отрезку [О, -1) (внешность лопатки). 31. Найти преобразование полярной сетки с помощью функций: 1) м = - [з — -); 2) м = -,' [ х -~- — ') (а > О); 3) м = 1' (л Ч- '— ), с = [с[е*т (О < 7 < к). 32. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного круга с разрезами по отрезку [-а, — 1) и лучу [1, Чсо), где а > 1. ЗЗ. Круг К = [л Е С: [з[ < 1) с разрезом по отрезку [а, 1), 0 < а < 1, отобразить на круг К' = (м Е С; [м[ < !) так, чтобы м(0) = О, в'(О) > О.
Найти м'(О) и длину дуги, соответствующей разрезу. При каком значении а разрез перейдет в полуокружность? 34. Круг К = (з Е С: [з[ < 1) с разрезами по отрезкам [а, 1), [ — 1, — Ь! (О < а < 1, 0 < Ь < 1) отобразить на круг К' = [м Е С: [м[ < 1) так, чтобы в(0) = О, м'(О) > О, Определить и'(О) и длины дуг, соответствующих разрезам. 35. Отобразить внешность единичного круга С = (х Е С: [з[ > 1) на м-плоскость с разрезом по дуге агд Я = () (О < [()[ < л) так, чтобы м(оо) = оо, агд м (со) = а. 36.
Выяснить, во что преобразуются при отображении м = е*: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) прямые у = )ел+ Ь; 3) полоса а < у < (3 (О < а < () < 2л); 4) полоса между прямыми у = х, у =х+ 2к; 5) полуполоса х < О, 0 < у < а < 2к; 6) полуполоса х > О, 0 < у < а < 2л; 7) прямоугольник (а, 11) х (7, Ь) (б — 7 < 2а). 37. Выяснить, во что преобразуются при отображении м = 1и г: 1) полярная сетка [г[ = )2, агдл = Р; 2) логарифмические спирали г = Аеьг (А > 0); 3) угол 0 < агд з < а < 2я; 4) сектор Я = (з Е С: [з[ < 1, 0 < агд х < а < 2к); 5) кольцо К = [з Е С: г, < [з[ < гз) с разрезом по отрезкУ [гп гз).
Зй. Выяснить, во что преобразуются при отображении и = агсз!и з: 1) верхняя полуплоскость; 2) гшоскость с разрезом по действительной оси вдоль лучей (-оо, -1), [1, +со); 3) первый квадрант; 4) полуплоскость Р = (е Е С: Вез < 0) с разрезом по действительной оси вдоль луча (-со, -1). 39. Выяснить, во что преобразуются при отображении и = 16 з: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полуполоса Р = (з Е С: 0 < Вез < я, 1ш з > 0); 3) полоса С = (а Е С: О. < Вез < я); !48 Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости 4) полоса 2) = (» б С: О < Ке» < 4 ); 5) полоса 2У = (» Е С: — 4 < Ке» < —, ); 40.
Выяснить, во что преобразуются при отображении аг = с!6% Ц полоса Р = (» Е С: 0 < 1гп» < 'г); 2) полуполоса Р' = (» Е С: Ке» > О, 0 < 1т» < з'). 41. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, заключеннукг между софокусными параболами у' = 4(х+ 1), д = 8[х+ 2). 42. Найти функцию аг = аг(»), отображаюшую область, ограниченную окружностью у = (» б С: ~»( = Ц и прямой, уравнение которой !т» = 1 (полуплоскость Р = (» Е С: (т» < Ц с выкинутым кругом); Ц на круг !з = (ег б С; (ег~ < Ц с нормировкой аг(-3() = =',+', аг8 ю'( — Зг) = —,.
2) на верхнюю полуплоскость с нормировкой х( — Зг) = 1+ г,агйаг'(-Зг) = л. 43. Отобразить на верхнюго полуплоскость гюлосу 6 = (» Е С; 0 < Ке» < Ц с разрезами вдоль отрезков (О < х < 6н у = 0) и (1 — 6, < х < 1, у = 0) (6, + 6, < 1). 44.
Отобразить на верхнюю полуплоскость полуполосу 2) = (» Е С: 0 < Ке» < л, (гп» > О) с разрезами вдоль отрезка уг — — (» Е С: Ке» = —,, 0 < 1пг» < 6г ) и вдоль луча уг = (» б С: Ке» = ф, 6г ~ ((т» < +.огу (6г > 6 ). 45. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную окружностями уг — (» Я С: (» — 1( = Ц, 7г = (» б С:!» + 1! = Ц с разрезом по лучу уг = (» Е С: 2 (~ Ке» < +со, 1гп» = О). 4б. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную окружностями у, = (» Е С Ц» — 1( = Ц, уг —— (» Е С Ц» — 2~ = 2) с разрезом вдоль отрезка уг = (» Е С: 2 < Ке» < а, 1гп» = 0) (а < 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
