Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Теорема 1. Ягя любой фуииции 1 Е А(Р) и любой игирерыеиой кривой 7 С Р иереообразиая фуииции 1 существует и определена с тачиастыа да иостояииого слагаемою. М Пусть Зз — параметрическое представление кривой 7, Р = [а, Ь[ = 1. Разобьем отрезок 1 на и отрезков 1ь = [1ь, 1ь[ так, чтобы два соседних отрезка пересекались: 1ь < 1ьщ < 1ь, 1, = а, !'„= Ь. По теореме Кантора функция уг равномерно непрерывна на сегменте 1.
Поэтому се~менты 1ь можно выбрать настолько малыми, чтобы эй = 1, и образ уз(1ь) содержался в круге К„' С Р, в котором функция 1 имеет первообразную. Существование первообразной следуе~ из аналитичности функции 1 (теорема 3, п. 5.1). Семейство первообразных, определенных в круге К,', имеет свойство: первообразные отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Выберем из этого семейства какую-либо одну первообразную и обозначим ее через Ен Затем рассмотрим семейство первообразных, определенных в круче К,'. Среди них существует одна (обозначим ее через Гз ), совпадаюшая на множестве К,' О К,' фл! с и,. Продолжая этот процесс, в каждом круге К'„выберем первообразную Еь так, чтобы Ьь — — Еь, на множестве Кь, П К„'.
Таким образом, функция 1 Ф(1) = Еь()г(1)), 1 Е 1ь (Ь = 1, и) является первообразной функции 1" вдоль кривой у. Докажем, что функция Ф определена с точностью до постоянного слагаемого. Пусть Ф, и Фз — первообразные функции 1 вдоль кривой 7 и пусть ф(1) = Ф,(1) — Фг(1). Возьмем произвольную точку (е Е 1.
В ее окрестности Ои имеем ф(1) = Г! '((Р(1)) — г г '(Эг(1)), где ен' и еп' — две первообразные функции 1, определенные в окрестности точки г, = эг((о), Они могут отличаться лишь на постоянное слагаемое, поэтому ф(1) = сопзг в Ом Функция ф определена на связном множестве 1 и является локально постоянной. Но непрерывная локально постоянная в каждой точке связанного множества функция является постоянной на всем множестве.
Докажем это утверждение. Обозначим через Е С 1 множество точек, в которых ф(1) = ф(ге): Е = (1 Е 1 [р(1) = ф(1е)). Поскольку 1е Е Е, то Е Фа. Из того, что функция ф локально постоянная, следует, что Š— открытое множество в топологии 1 (см. теорему 7, п, 6.4, гл. 1). Из непрерывности функции Р следует, что множество Е также замкнуто в топологии 1. Действительно, пусть !*в предельная точка множества Е. Тогда существует такая последовательность (1„) точек из Е, что 1„- С и ф(1 ) = ф((о), т.е.
!ип ф(1„) = р(ге), Поскольку функция ф непрерывная, то яе 1цп ф(1 ) = ф(1 ). Следовательно, ф(1*) = р(ге), т. е. 1' Е Е. Множество Е одновременно открытое и замкнутое в топологии 1. Согласно теореме $ 3, гл.2, Е = 1, или ф(1) гя ф(ге). Поэтому у( е 1 Ф~(1) — Фз(О = сопз1. в Гл. 4.
Иитегрироваяие в комплексной плоскости. 168 Отсюда следует, гго существует замкнутая гладкая кривая 7, с параметрическим представлением шш В , = [О, Ц, гомотопнаа кРивой 7 в Р и содеРжашаасЯ в некотоРом кРУге К' С В. функция у имеет первообразную Р в этом круге. Поэтому функция Ф, где Ф(1) = Р((о1(1)), является первообразной функции у вдоль пути Ты При этом Ф(0) = Р(уч(0)) = Р(а), Ф(Ц = Р()з~(1)) = Р(а), откуда )(х) дх = / з(г)дг = Р(а) — Р(а) = О, Г, = (ун Тг~х). т г г, Следствие 2. Если функции з: С э С аналитическая в односвюиой области В, 7 С Р любая гладкая замкнутая кривое, то 2(х) дх = О, 1' = (7, 7ов). / г м Утверждение следует из следствия 1, если принять во внимание, что в односвязной области каждая замкнутая кривая гомотопна нулю (см. п. 4.2) м Примечание 1.
Следствие 2 — это классическая формулировка теоремы Коши. Прн дополнительных условиях, когда 2~ непрерывна в В, а 7 — гладкая жорданова кривая, классическая теорема Кок~и показывается элементарно с помощью формулы Грина. ч Пусть В С С вЂ” область, дб — ее положительно ориентированная граница. Тогда получим: /г= Г г дс ди) ТТ гди дст Г(г)дх = / иах — чав+( / еде+иду = / 1 — — — — 1 их дул-( 1 — — — дхду = О / ~ дх ду) Д 'т,де дуУ' вс в силу условий Коши — Римана, выполняющихся лля аналитической функции з = и+ш.
и В теореме 1 н следствиях нз иее вместо гладких кривых можно брать кусочно-гладкие. Примечание 2. Классическую теорему Коши можно сформулировать иначе: если функция з . С С анатитнческая а замыкании В = В ы дВ, гле  — олиосввзнаа обчасть, и д — кусочно-гладкая кривая, то З(г]дх = О. вп Такую формулировку теоремы Коши можно обобщить. Оказывается, достаточно потребовать, чтобы З б А(В) и чтобы З была непрерывной на замыкании В. Теорема 2 (обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является аналитической на контуре интегрирования), Пусть область В представляет внутренность кусочно-гладкой замкнутой кривой 7 и З' — функции, непрерывная в замкнутой области В и аналитическая в области Р.
Тогда выполняется равенство у(х)да=о, г=(7,7„). г М ПРЕДПОЛОжнМ СНаЧаЛа, Чта У вЂ” ЗВЕЗДНЫЙ КОНТУР, т. Е. СУШЕСтВУЕт таКаЯ тОЧКа Хв б Р, Чта любой луч с вершиной в этой точке пересекает у в одной и только одной точке (см. рис. 71). Например, звездными являются границы выпукяык многоугольников (в частности, треугольников) или кругов. Пусть р($) = хе + Л(1), 0 < 1 < 2зг — параметрическое представление контура у. Согласно предположению, функция Л имеет кусочно-непрерывную производную Л'(1). Преобразование подобия ( = хе+ рЛ(1), 0 < р < 1, отобралгает ориентированный контур Г на контур Г с той же $5. Теорема и интеграл Коши 169 ориентацией в направлении против хода часовой стрелки (рис. 71).
Поскольку контур у лежит а области Р, то по интегральной теореме Коши (следствие 2) имеем 2 У(()6( = / У(зе+ рЛ(1))рЛ'(1)61 = О, !'р откуда У(зе Ч- рЛ(1))Л (1) М = О. о следовательно, ! *'* = Уу( *«!М' !' о 2 ~г(7(зе -1-Л(1)) — у(хе+ рЛ(1)))Л'(1)Ф < а ~~ / (У(зо+ Л(1)) — Х(за+ рЛ(1))!!Л(1)/ Ж. о рис. 7! Так как функция У по теореме Кантора равномерно непрерывна в Р, то 'уе > О 26 > О: !у(з б Р, з б Р) (1з — з ) < 6): )У(з ) — У(з Я < е. Пусть ацр !Л(1)( = а, аор !Л'(1)) =)3. !во,! ! се!к 2 ! Тогда выполняется неравенство 6 1(зо+Л(1)) — (зо+РЛ(1))! < (1-Р)о < 6, есЛи 1-Р < —, а' и поэтому у(з)г(г < е)М 2к.
/ г В силу произвольности е > О отсюда следует, что 7(з) Их = О. г Пусть у — произвольная кусочно-гладкая замкнутая кривая. Если она имеет точки возврата„то мы выбросим из области Р круги малого радиуса е с центрами в этих точках так, чтобы граница полученной области Р, не имела таких точек (рис. 72). Проводя внутри Р, линии уь (й = 1, и!), эту область можно разбить на части Рь, ограниченные звездными кривыми 7„' (й = 1, гп). По ранее доказанному 7(з) дз = О, Гь = (7ь, ть ), (г = 1 пз, г', 170 Гл.
4. Инте»рированне в комплексной плоскости. где Гь ориентированы в поло:кнтельном направлении (см. рис. 72). Так как общие части границ смежных областей проходятся дважды, притом в противоположных направлениях, то У 1Т(.)"=11(.)б.=О, Г.=(7.,7Т), ь=», г. » где Г, — положительно ориентированная граница области Р,. Поскольку 7 и 7, отличаются лишь на конечное число малых дуг, а функция у ограничена, то ее интеграл вдоль этих дуг, который обозначим через 1, допускает оценку )1~ С 2лМе, где М > 0 — некоторая постоянная.
Таким образом, интеграл по кривой Г сколь угодно мало отличается от интнрала по кривой Г„равного нулю, вследствие чего У(я)дя = О. ° г Рвс. 73 Из теоремы Коши для односвязной области легко получить теорему о существовании перво- образной аналитической функции, заданной в односвязной области. Эта теорема носит глобальный характер. Теорема 3. кобая аналитическая в односвязной области Р С С функция У имеет в этой области нервообразную. »я Если функция У аналитическая в односвязной области Р, то, согласно сдедствию 2 из теоремы 1, для всех простых (жордановых) гладких кривых 7, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл ~ У(с) бя, где Г = (7, 7 ), имеет одно и то же значение. Действительно, г пусть Г» и Г, — ориентированные гладкие или кусочно-гладкие кривые, с концами в точках зв и я, лежащие в области Р (рис.
73). Рассмотрим упорялоченный набор Г = (Гп Г ), являющийся замкнутой положительно ориентированной кусочно-гладкой кривой. Тогда имеем л»» =(»»»и )у»»» =», г, г» откуда »»»»*-+»»а = 7»»»»~ г, г, г, Поэтому криволинейный интеграл в рассмотренном случае можно обозначить так же, как и интеграл Ньютона — Лейбница » Пусть а б Р— начало гладкой или кусочно-гладкой кривой 7, с б Р— произвольная точка, являющаяся концом кривой у.
Тогда в области Р определена функция Р, где б 5. Теорема и интеграл Коши 171 Пусть (х + Ьх) Е Р. Тогда получим: гьа* Р(х -Ь гьх) — Р(л) 1 /' йе -у = — У(ук)-у() ~ гье ( (4) В связи с замечанием о независимости интеграла от выбора пути, соединяющего две точки, в правой части равенства (4) считаем, что путь, соединяющий точки г и х + 2ьх, является прямолинейным отрезком.
Поскольку функция у непрерывна в области Р, то ве > 0 36(е) > О: 1Ь4 < о ~ ~у(г + дьх) — у(х)~ < е. Оценивая интеграл в равенстве (4), получим для Пзг) < й: У(х) дг = О. г' Р(х -1- ьхх) — Р(х) 1 гьз — У(х) < — е!Ьх1 =е 1ььх! Слеловательно, уз Е Р Г'(х) = 7'(х). м В классической теореме Коши существенным является требование односвязности области. В неодносвязной области не каждый пуп гомотопен нулю, а по нбгомотопным нулю кривым интеграл от аналитической функции может не быть равным нулю, Рассмотрим пример. Пусть Р = (а Е С ) 1 < 1х( < 2), у(х) = -„'. Очевидно, что у Е А(Р). Возьмем замкнутую кривую (окружность) с параметрическим представлением (о(1) = ре*', 0 < 1 < 2е, 1 < р < 2.
Тогда т С Р. Рассмотрим интеграл У(х) дх, г где Г = (7, 7 ) — ориентированная в направлении против хода часовой стрелки окружность радиуса р с центром в начале координат. По определению криволинейного интеграла второго рола вдоль гладкой кривой Г имеем з 2 Р (ре'41 У(г)дх = / У(~о(1))ег'(Г)41 = / и = 2я( й О. ре*' г ь ь Однако, классическая теорема Коши обобщается и на случай неодносвязной области. Рассмотрим зто обобщение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
