Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Интеграл типа Коши 177 Р!й'(гц-ГЗ ) — Р!й!(г) (а+1)! р Г(Г)б( йбг 2кю / (б — г)й+' г 2 (-1)2С'„",,(( — )й-'Д вЂ”. '1 т) 2юп' ( (б — г)йб!(( — г — Ьг)йб! 1 а+1 ((- )"' бб 2.(-1)'С'„,",(( — )""-'Л ' — (а+1)(б — г — Ьг)"! 2212 / У© (( г)йбг(( г Дг)йю! г (Ь + П ((( — .)"" — (С - г — Ьг)"" ) + ~-(- 1) С',",',(( — .)"'- 21г — У(() 2лю / (( — г)й~г(б — г — ййг)йб! бб г йб! й ()г+ 1) ~(-1)б+!С'„ю(( — г)й ю 22)бг! + ~( — 1)2С'"!(( — г)йы 2Дгб ! — У(() 2яю',/ (( — г)йбг(( — г — бйг)йб! бб г йХ ~бйг1М)У Е < ' = В)бл4 < г, ЕСЛИ !йй4 < —. 2яр2"" В а В полученном неравенстве )ю — постоянная, зависящая лишь от й и р,.
Таким образом, формула (2) справедлива при и = й + 1, а значит и чи Е (б(. Ь Следствие. Аналитическая в области Р С С функцию 2 имеет производную любого норядка 7!"2(г) бтг Е Р. М ПУсть гю ŠР— любаЯ точка. РассмотРим ее б-окРестность Кб = (г Е Р: 1г-гю) < б) 4 Р. Согласно интегральной формуле Коши, имеем у(г) = —. / Т у(() 2лю / ( — г 'з кб Рассмотрим некоторые факпл, непосредственно следующие из свойства бесконечной дифференцируемости аналитической функции.
6.3. Гармоничность действительной и мнимой частей авалитвческой Фуиавви. Восстановление аввдитвчесаой фувацви по ее действительной (мнимой) части. Оирепелеиие. бтвамсды диффвренцируемоя функция и: мй -! Ж, Р = б, называется гармонической в области б, если она удовлетворяет в В дифференциальному уравнению Ланласа Поскольку интеграл Коши является истным случаем интеграла типа Коши, то функция у имеет производные всех порядков в точке г,.
Поскольку г, б Р— произвольная точка, то 27(г Е Р, и Е Щ ЗУ!"!(г). > Полученное следствие можно кратко записать в виде Г Е А(Р) =О йб(г Е Р, и Е Щ зг "!(2) Л 2'"'(г) б А(Р). Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. 178 аги 8)и ази = — + — = О (1) ах' ау' в' е' Дифференциальный оператор го = е -т + — т называется операторам Лапласа. Пусть р = и+ ае, у б А(Р), Р С С вЂ” односвязная область. Из бесконечной днфферен- цируемости функции Р следует, по функции и и ч имеют в каждой точке области Р частные производные любых порядков. Запишем условия Коши — Римана аи ая аи де ах ау' ау а*' Продифференцируем первое равенство в (2) по х, второе — по у и сложим полученное, в'. в' приняв во внимание,что а,а = а„+„-.
Имеем 8)и 8)и Ьи= — + — =О. дх' ду) Аналогично получаем равенство Ьч = О. Следовательно, действительная часть и и мнимая часть ч аналитической в области Р функции У являются гармоническими функцнямн. Функцию я принято называть гарманыческн саярлзкеннай с функцией и. Пусть в односвязной области Р задана гармоническая функция и. Найдем сопряженную ей гармоническую функцию е. Из условий (2) получаем: а а аи аи йя = — йх + — ду = — — йх + — йу, ах ау ад ах (2) откуда (,о) аи аи о(х, у) = / — — йх+ — йд+ С, ау ах С = сопя(, (хо уо) б Ра С б И.
(3) ( а оа) Подынтегральное вырюкение в этом криволинейном интеграле является полным дифференциалом, вследствие чего интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Таким образом, аналитическая функция Г в односвязной области Р определяется ее действительной частью с точностью до адаптивной постоянной )С по формуле (* ю аи аи У(з) =и(х, у)+а / — — йх-~- — йу-у?С.
ау ах ( а уа) Формула (*,ч) Г а а У(я) = / — йх — — ауЕС+?ч(ха у) ау ах (5) ( о оо) восстанавливает аналитическую функцию у по ее мнимой части с точностью до произвольной адаптивной действительной постоянной С. 1 / У(Г) 1 / (Т()?еи)2?еи Т (Яо) = —. йб = —., 81, 2я?,7 (à — я)з 2яа ) (1?еи — го)з 6.3. Теоремы Лнувнлля н Морера. Теорема Х (Лиувилля). Если функцич р аналитическая во всей плоскости С и аграннченяая, та ана постоянная.
м Согласно условию, )уя б С )Т(я)) ( М = сопз(. Пусть яо б С вЂ” произвольная точка. Рассмотрим круг ТГл — — (я б С; (а( < )?), гле )? > ')яо~). Согласно формуле производной от интеграла Коши имеем 56. Интеграл типа Каши 179 Р( = / И)д( ! а *! является первообразной функции !' в круге Коы т. е. чг б К„Р'(г) = Т(г). Отсюда слелует, что Т Я А(К„), следовательно, у Я А(Р) в силу произвольности К„. Ш 6.4.
Главное значение и предельные зиачеппя интеграла типа Коши. Согласно теореме п. 6.1, интеграл типа Коши Р(г)= . / 4( Г=-(7,7„р), 1 Т У(0 (П 2я(/ ( — з г где у — непрерывная Функция, à — положительно ориентированная гладкая или кусочно- гладкая кривая, является аналитической функцией в любой точке г б С, не принадлежащей кривой у. Функцию ( Т(() называют коатнагтью, а функцию б ~ — '„— ядром Каши.
Ясли г б у, то ннтегрзл в правой части (1) в обычном понимании не существует, однако при некоторых дополнительных ограничениях, налагаемых на плотность у, ему можно придать определенный смысл. Считаем, что .à — замкнутая гладкая кривая Жордана и (о б у. Пусть Р, = (г б С: )г — Я = г), где г > 0 — произвольное, как угодно малое число, не превышающее стандартного радиуса кривой у (гладкие замкнутые кривые Жордана 7 имеют важное свойство: о7 Лбе > 0 такое, что уго Я 7 окружность с центром в этой точке радиуса б < бо ровно два раза пересекает кривую 7; число бо называется стандартным радиусом кривой т).
Часть кривой Г, лежащей вне окружности Ь„обозначим 7,. Интеграл 1 Т У(() Р,((,) = —. / — А(, 2я( / ( — (о г, (2) очевидно, существует в обычном понимании. Определение. Если существует 1(ш Р,((о), та этот нргдвл называют интегралом в смы.-оо слв главиага значения на Каши, или главным значением иитгграла тина Коши в точке (о и обозначают Р((о). Обозначение главного значения интеграла типа Коши совпадает с обозначением интеграла типа Коши, поскольку, как правило, если интеграл не существует в обычном понимании, то рассматривают его главное значение. Для существования интеграла типа Коши в понимании главного значения ЧСо б 7 достаточно, чтобы функция у удовлетворяла на кривой 7 условию Гельдвра с показателем 0 < а < 1 и постоянной М: (зМ > 0): П (О б 7 Ьг б 7)!Х(чо) У(ьгН ч МК~ (г! Действительно, запишем Р,(бо) в виде откуда при достаточно больших Л получим ог > О оценку ! МЛ2я ~Т'(гоЯ <— < г.
2в' (Л вЂ” ~го~)з В силу произвольности выбора г > 0 Т'(го) = О. Поскольку го б С вЂ” произвольная точка, то Т(г) = сапог, ь Теорема 2 (Море р а). Если функция У непрерывная в области Р С С и интеграл ат нгг вдаль ориентированной границы дС любого треугольника 6 С Р равен нулю, та Т б А(Р). щ ПУсть г, б Р— любав точка. РассмотРим кРУг К„= (г б С: 1г — зо! < г) С Р. Тогда по теореме 1, п, 5.1, функция Р, где $6.
Интеграл типа Коши 181 ! — / — (= Р((), 1 Г У(() о2яо/ 6 — (о г, 1 Г У(() ! 1 Г У(() У(оо) У((о) Г й( ! У((о) !'ап — / о(( = 1'нп 86+в — 2. / (-( - ),2.,/ (-( 2я! / (-(о/ г', г', г', так хзк Г <~( Г У(» — У((о) йгп / — = я(, 1нп / о(Т = О. - / (-~. —./ г', г', Окончательно имеем Р (6)- 2 +Р(() Аналогично получаем Р-((.) = -"'"'+ Р(() 2 При доказательстве последнего равенства вместо Ь', берем Е," — часть окружности Г,, содержашуюся в 27+.
Тогда г ( 1пп — / яо -о 2ого / ( — (о Равенства Р'((.) =+""+ Р(() 2 в учебной литературе носят название формул Сахацкага. Их открыл в 1873 г. русский математик Ю. В. Сохоцкий (1842-1927). Формулы Сохоцкого справедливы при более общих предположениях относи~слало функции У. 6.5. Формулы Шварца и Пуассона. Пусть 7я = (( Е С: ф = Н), 6 = Не', О ( ! ( 2л, ио — функция, заданная на окружности 7н, гле ио(» = ио (Не*') = йо(!) Оо(О) = Оо(2я). Формулой Шварца называется равенство Нс' ! 1 Г (+ й( У(в) = — ( ио г(Не'~) оц = —. ( ио(»вЂ” 2я / Н е*' — 2я / гя а интеграл в (!) носит название интеграла Шварца, Рассмотрим свойства функции У. 1) Запишем формулу (1) в виде 2йй 1 Гио(» У(а) = —.
/ ио(» — — —. / — 4» 2ого / 6 — з 2аъ' / (2) гя гя Второй интеграл в формуле (2) является постоянной величиной, а первый — интеграл типа Коши. ПоэтомУ У аналитическая функция в любой области, не содержащей точек кривой ул и, в частности, У Е д(Кя). где Кл = (а Е С; !а! ( Н) выполняющееся для любого как угодно малого е > О. Поэтому в нем можно перейти к пределу при в О. Получим: Гл.
4. Интегрирование в комплексной плоскости. 182 2) Пусть оь(() и 1, тогда Г где ! /НГ г(е) = 2я(/ à — з 2ль / гн гн Если ей Кн,то С(е) =2 — ! =1. 3) Найдем Кет(е), считая, что е = ге!г Е Кн. Имеем 2 (йе*~ -1- ге'г) (йе н — ге !и) (Не ) си= г(йен — геги) (гйе 'г — ге ег) 1 Г „йе" + ге!г ! Г Ке У(е) = Ке — / иа(йеи), ей = Ке — / ие 2а / йе" — ге'г 2е / 2 йз — ге+ Нг (еци '! — е цг П) 2к( ' ) йз ч гз нг (евое-г! ! е- н-ю) ь 1 / а Нг гз + 2!Нг е!л(г О Ке — /иь (Не*') Ж= 2я)' ' ) Нг+гз — 2Нгсоь(С вЂ” р) е г й — г г — — / иь(йе ) 41 = и (геге) .
2к ! т ) НзЧ-гз — 2йгсоь(! — Р) ь ранено~во 3 1 /' ( Н' — г и(г, чг) = и(г е*г) = — ию (Не') бС 2а ! ' ' Нг + гз — 2Н г соз(С вЂ” (е) О (3) называется формулой Пуассона. Интеграл в правой части формулы (3) называется интегралом Пуассона. Из свойства 2) функции С следует равенство 1 /' Н вЂ” г г г д(=1, 2к С' йз+гз — 2йгсоь(С вЂ” эг) ь (4) 1 Н вЂ” / К)П(, ОН( = Ь). с сь 2гг ь выполнаюшееса 1(е Е Кл, е = ге'г. 4) Покажем, что функция (г, (е) ь и(г, )е) непрерывна в замыкании Кн и что и(Н, (е) = иь(йе'"), те.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
