Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Пуси даны (и+ 1)-связная область Р С С, ограниченная гладкими или кусочно-гладкими кривыми ур (внешняя граница), 7„.7„...,7„(внутренние границы), функция у аналитическая в замкнутой области Р (рис.74), Го = (7о 7ь ), Г1 — (7п 7',"), ..., Г„= (7„, 7„' ] — ориентированные кривые, при обходе которых область все время остается слева. Теорема 4. При вьтолнении всех перечисленных выше условий слроведливо равенство г(ь. ) „о., К) г(л.. = ..
вп гь ь ью где дР— яолоягитееьно ориентированная полная граница обеасти Р, состоящая из контуров Г,Г„...,Г„. т Проведем разрезы у'„уз, ..., у„', превращающие обласп Р в односвязную область Р'. Обозначим через Г' положительно ориентированную полную границу области Р'. Так как область с Р односвязная и У аналитическая в замкнутой области Р, то по теореме Коши имеем 172 Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. Поскольку берега разрезов у'„ у,',..., 7„' при интегрировании будут проходиться лважлы в противоположных направлениях, то в силу свойств криволинейного интеграла второго рода получим У(х) а.
= ~ У(е)а. + Я ~ У(л) а, = О г г ью е г, (входящие в сумму интегралы по берегам разрезов взаимно уничтожаются). м Теорема 4 остается в силе, если функция / аналитическая в области Р и непрерывная в замыкании Р. 5.4. Интегральная формула Коши. Эта формула определяет аналитическую функцию в области через ее значения на границе области. Теорема. Пусть Р Га С вЂ” область, у — аналитическая функция в замыкании Р, дР— ноложителыьо ориентированная граница области Р, состояигая из одной или конечного числа кусочно- гладких кривых. Тогда чг Е Р вынолняется равенство у()= —.
) — ( 1 Г У(() 21п' )' ( — х и Пусть л ŠР— любая точка, К, = (х' е Р: |з' — г! ( р) с Р. Рассмотрим множество Р, = Р (К (рис.75). Поскольку функция с", где Р(Г) = ~~~.', аналитическая в замыкании Ре, то по теореме Коши 4, п.5.3, имеем г(()а( = О, оп, откуда Р(()ас — д~ РК) а( = О, еп вк, где дК, — положительно ориентированная граница круга К,. Получаем, что (2) Рне. 75 вк, В равенстве (2) перейдем к пределу при р О, приняв во внимание, что его левая часть не зависит от р, Правую часть равенства (2) запишем в виде оке вк, После замены переменной ( — л = ре', О ( Г ( 2я, получим: 2 з / У(() Т;рог' Ш Т 1(У(ое'ь -1- г) — У(х)) Ре" — а(=У(Я)у) ей) ь 41=2ЯЕУ( )+1~(У(Рви+ ) — У( )) Ш, / реи $5. Теорема и ивтеграл Коши 173 Поскольку аналитическая функция У является непрерывной, то сгг > О Зб > О: Ьз») < б =: !У(»+ бь») — У(»)~ < е.
Взяв р < б, получим оценку 2 г с й/ (У(Ре +») — У(»)) д! < г/ (У(Рес +») — У(») ( д! < 2нг. о о В силу произвольности г > О / '' о У ( — » вк, Окончательно имеем — д( =!пп / — д( = 2ггсУ(»), У(() . Т И) (-. ва откуда следует формула (1). м Следствие (теорема о среднем). Пусть У вЂ” анаситическол функция в жикнутом круге Кн —— (» б С: !» — »4 < )с), Тогда снраведлило равенство г г сс У( о) = — / У( + Лес ) д(, (3) 2сг / а т.
е. значение функции У в цгннсре круга ровно среднему арифметическому ее значений на окружности. м Согласно формуле (1) имеем У(»о) = —. / У У(() 2кс / ( — » вкн Произведя замену переменной по формуле б = »о + )! ес', О < ! < 2к, получим 2 1 У с Не*со сЫ 1 У У(»а)= —. / У(го+Ве"), = — / У(»о-ьВен)д!. и 2кс / Де*с 2сг / У(( -1Н" +П) ' д»+ »4-1 / »+1 г г, + ((» — П(» — с)) д»+ »+с Г( +!)( 211)) д»+ » — 1 г, ((» — 1)(» -Ь с)) / 1 1 1 1 чг д = 2кс ~ — -+ -+ — — —,~ = О. М » — с 4 4 4с 4с) г, гс Интеграл в правой части равенства (1) называется интегралом Касаи. Считаем полезным напомнить читателю, по пояохсительная ориентация контура при его обходе соответствует направлению движения против хода часовой стрелки.
При положительной ориентации границы области, состоящей из нескольких контуров, внешний контур обходится в направлении против хода часовой стрелки, а внугренние обходятся в направлении по ходу часовой стрелки. Это принято во внимание при доказательстве теоремы 4, гс.5.3, и теоремы Коши этого пункта. Рассмотрим задачи. У д» 1. Доказать, что / = О, где Г = (7, 7„), 7 = (» б С: (»( = 2). / »4 1 г м пУсп, Г; = (Ом ~~) — положительно оРиентиРованные гРаницы окРУжностей РадиУса р с центрами в точках ' — 1, 1, — с, с, не пересекающиеся друг с другом. Применив формулу (1), получим: Гл.
4. Ивтегрироваияе в комплексной плоскости. 174 2. Пусть 7 = (х О С: ~х( = г) и )а! и' г. Доказать равенство ~ Поскольку на окружности у выполняется равенство х = гег", О < р < 2а, то ( г(х (гйг йх = ( е '"4)г, — — = д)г, Щ = гг()г = — —, е х то интеграл 1 сводится к интегралу второго рода по ориентированному в положительном напра- аленин (протнв хода часовой стрелки) контуру Г = (7, .(.,): 1= — и =- ' — ==- l дх /' йх / г(х = — и' = — (г х/х — а)з 1 х(х — а)(~ — о) ( з(г — о)(х — о) Так как у= г'г ', то (г / с(х 1=— д ./ (е — а)(х — — ') г Если контур Г окружает точку о, то по формуле Коши (1) получим: г )-' 2гг г" г ') 2 з ~ з 3 1 = — — а — — = -2яг(~а~ — г ) = 2яг(г — /а! ) а ~, б) Если ~о~ > г, то контур Г окружает точку —" и в силу формулы (!) имеем: г г 2яг г' г 1 = — ~ — — а) = 2яг((о~ — г ) а 1 о Обьединив обе формуды в одну, получаем; 1 = 2яг !Па) — г ! 3.
Вычислить интеграл 1 = / х йп з Аг, Г = (7, )ър), 7 = (х б С: |4 = —, )ш х > О). г М Поскольку 1 б А(С), где 1'(х) = е йп х, то в любой односвязной области, содержашей кривую 7, функция 1 имеет первообразную Р(х) = -хсоз х+ йп х. Применив формулу Ньютона— Лейбница, получим: 1(х)ех = О (Ь = 1, пз — 1), Г» = (7», 'у» ). м Необходимость. Пусть функция 1 имеет в области Р первообразную. Тогда Т(а) х=о, Г=(7,~,), г где у С Р вЂ” любая замкнутая кусочно-глаакая кривая. (2) Р 1=(-хсоз х+з!и х)) =2 Параметрическое представление кривой имеет вид )г = — е*~, -я < ( < О. Тогда а = —,е ' = — —, — начальная точка кривой Г, Ь= -;е" = —, — ее конечная точка, ° .
4. Пусть функция 1 аналитическая в конечной ш-связной области Р, ограниченной замкнутыми кусочно-гладкими кривыми 7„1„..., 7 . Локазать, что для сушествования первообразной функции 1 в области Р необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства б 6. Ивтеграл тапа Коши Для данного 1 < а < пг — 1 выберем кусочно-гладкую замкнутую кривую Г так, чтобы функция 1 была аналитической в двусвязной области с положительно ориентированной границей Г гз Г» (или Г»з Г).
Тогда по теореме Коши для неодносвязной области имеем 1(з)дг = О. Достаточность. Равенство (2) для любой замкнутой ориентированной кривой Г = (7, 7.,), 7 С Р следует из равенств (1) и применения теоремы Коши шш односвязной или неодносвязной области. В. 5. Пусть 1 6 А(Р), Р = (г б С: ~1з~ < Л) и 1 непрерывна в замыкании Р. Вычислить интеграл 1 = 1(з) дк ду. свми м Применив теорему о среднем, получим и з 11» „з 1 = / рбр / 1(реги) др = 2яу(0) = лу(0)(Я вЂ” г ).
о 2 ь ф 6. Интеграл типа Коши В теории функций комплексного переменного значительное место занимает интеграл типа Коши, являющийся обобщением интеграла Коши. 6.1. Определение н основное свойство интеграла типа Коан. Интегралои типа Коши называют интеграл вида ~ ж)д( 2яз,г' ( — г ' г где Г = (7 7 р) — ориентированная гладкая или кусочно-гладкая кривая, 1 — непрерывная функция чг б 7. Если 7 — спрямляемая кривая, то требуем, чтобы 1 была суммируемой на 7 (кривая Г называется спрямляемой, если ее параметрическое представление Гз является функцией ограниченной вариации на отрезке Р = [а, Ь)).
В случае, когда путь .Г замкнут, а à — аналитическая функция в замкнутой области, ограниченной контуром .г, то интеграл типа Коши совпадает с интегралом Коши, т.е. Р(г) = У(з). Ф" ( ) = — ' у о( 1 1(ГЩ (и б Щ 2 (,/ (à — ) + ' г (2) (т, е, ик получают формоаьиьгм дифференцированием под знаком интеграла (1)). Следовательно, интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши. Основное свойство интеграла типа Коши сформулируем в виде теоремы. Теорема. Интеграл типа Коши ииеет производную любого порядка в любой точке з Е С, ие принадлезкащей кривой 7, и эти производные определяютсв следующими равенопвами 176 Гл.
4, Интегрирование в комплексной плоскости. М Применим метод математической индукции. Пусть з б С вЂ” произвольная точка и е К 7. Покажем, что Р'(з) существует и вычисляется по формуле (2) при и = 1. Рассмотрим выражение Р(+Д)-Р() ! 1 / ( — — У(() — — 4( = Дз 2ага Да,( ), à — з — Дз ( — з/ г .У(()Д 4( 1 / И>4С 2ла Дз / (( — л — Дз)(( — а) 2ага / (( — л)(( — з — Дз) Оценим модуль разности Р( +Д )-Р() 1 //(()4( Дз 2л» / (ь' — л)! !' /' ( 1 а~ Да /' 7'(() а(( — У(() ,~4( = — / 2ла' 7 ~(( — з~(С вЂ” а — дз) (( — г)! ! 2ла 7 (à — з)а(( — з — дз) Выберем /Д4 настолько малым, чтобы (а + Да) К 7.
Очевидно, существуют такие числа ро > О и М > О, что апГ !( ! «> Ра Р(7, + Дз) = ап( /( — з — Да/ > ре )~(()( < М )а( б ге'! ге! Тогда ауе > О справедлива оценка Е(з+ Да) - Г(з) ! Г У(Г) М(Да~В а(( « е, Да г.а./ (Г- )' 2лр! г а,' если !Да) < мсз, где Ь вЂ” длина кРивой У. Таким обРазом, Р (а) = — / 1 / У(0 2ла / (( — а)' г Предположим, что утверждение справедливо для и = й и покюкем, что из этого предположения следует справедливость утверждения для и = й + 1, Имеем Р!"а( + Де) — Г!'а( ) й! / /' 1 Дз 2агаДз,/ ( (( — з — Дз)а ы (( — г)ьы / — / У(() ~ — 4( г )а! / (à — а) +' — (( — з — дз)вы = — /У(() 4(= 2агадз 7 (ь — л — да)"+'(( — з)! ы г (à — з)~~' — ~ (-1)аС~ь,а(à — з)ь+а 'Дзз й! /' !=а 2ладз 7 У(0 (( з Дз) ч (( — л) г ьа! Е( — 1)а+'С„ы(à — л)ь+! адгз ' Е(-1)аса+,'(à — а) здза й1 /' а=! )а! / ус — '., У(0, кГ= —,, Ы) 2ла' у (à — з — дз)"+'(( — л)»ы 2ла,у (à — з)ьаа(à — е — дл)ь+! Оценим выражение еб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
