Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ро м Применим метод математической индукции. Если и = О, то равенство (4) имеет вид у(л) = а, + е(л) че Е Рг и поэтому функция у непрерывна в точке ло (т. е, 0-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в этой точке) и г'п(го) = У(ло) = а, Пусть теорема справедлива при замене и на и — 1 и вмполняется равенство (4). Так как г(го) = а„то (з зо) о-~ У(г) У(ао) = (а — зо) ~„) аь , + с(зЛг — ао)" ьы Полагаем ь-~ ч — ~ аь (з — ео) уг(л) = з — + е(г)(з — го)" й (й — 1)! ь=1 В силу предположения, функция (о (и — 1)-лифференцируема по Ферма — Лагранжу в точке го и -ьа = (о~~ п(ло) чй = 1, и. по определению функция 2 и-дифференцируема в смысле Ферма— Лагранжа в точке л, и )ч ~(ло) = йры л(ао) = аь 'ой = 1, и.
м Доказанная теорема может применяться для вычисления производных Ферма — Лагранжа. Приведем пример. Пусть К К, где У е" *г, если х б К 1(0), О, если х=О. Вычислить )"оо(0) чп б М. Найдем 1 е т 1пп —, = 1пп о хз" г ьы (применяем и раз правило Лопиталя). Полагаем — =0 ес е О, если х б К'1 (О), х = О. Функция е„непрерывна в точке х = 0 чп б )Ч.
Так как у(х) = хз"е„(х), то, согласно теореме 2, уыо(0) = 0 чй = 1, 2гг. В силу произвольности и угьз(0) = 0 ой б Ж 160 Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. Из теоремы о замене переменной в определенном интеграле следует, что правая часть формулы (6) не зависит от параметрического представления кривой у. Если Г = (у, у„,) — ориентированная гладкая кривая, то по определению пояагаем У( ) )04 = / У( ) !4 !. г 7 Из оценки модуля определенного интеграла следует важное для дальнейшего изложения неравенство (8) г г справедливое для любой непрерывной функции 2. Рассмотрим несколько примеров иа вычисление криволинейных интегралов. Пример 1.
Пусть !' ги!. Тогда, согласно формуле (!), имеем У(з)дг = ~р ОПг(1 = (г(Ь) — р(о). г Пример 2. Пусть 1'(з) = а. Применив формулу (1), получим ь ь 1 (г'(Ь) р'(о) 1(а) г(г = / газ = ~ Зг(1)р'(1) о( = — о(р~(Г)) = — — —. 2/ 2 2 г г Примеры 1 и 2 показывают, что оба интеграла не зависят от выбора гладкой ориентированной кривой Г, а зависят лишь от ее концов р(а) и р(6). Если à — замкнутая ориентированная кривая, то будем называть ее контуром или лельгей, а для обозначения криволинейного интеграла по контуру Г от функции 2 будем пользоваться записью ~(.)а.. г В силу замечания о зависимости интеграла лишь от концов кривой, получим: (9) да= воз=О, Легко также убедиться в справедливости равенства а" оа = — ()г" '(В) — ра м(а)) . и+1 г Пример 3. Доказать, что аа , 1 аа г / а г( гз где Г~ и Гз — соответственно верхняя и нижняя полуокружности радиуса 1 с центром в начале координат.
Начальная точка кривых а =!. Выбор начальной точки кривой определяет ее ориентацию. Параметрические представления ориентированных кривых имеют соответственно вид (г(1) = егг, 0 < 1 < х и гг(1) = е', -я ( (1 < О, р(0) = р(0) = 1. Согласно определению, имеем 1 =~' = ~' =Г'" = Ця Г (ег', Г да Г (еи Г „ы Г Г ,/ е" ',/ л,/ ем г, и гз а Гл, 4. Интегрирование в комплексной плоскости. 162 Овределение 2.
Область Р С С называетгв аднасвяэнай, есги любая замкнутая кривая в ней гаматапна точке, т. е. постоянному пути Следовательно, в односвязной области любую замкнутую кривую можно стянуть в точку. $5. Теорема и интеграл Коши 5.1. Сузцествование локальной первообразной аналитической функции. Г(усгь функция /: С С определена в области О. Согласно определению 1, п. 1.1, функция Р 6 А(О) называется первообрюной функции у в области О, если зуг 6 П г (г) = )'(г). С понятием первообразной связано определение интеграла Ньютона — Лейбница. Выясним, при каких условиях функция )", определенная в области О С С, имеет первообразную.
При рассмотрении замкнутых областей их границам приписывают определенную ориентацию. Будем говорить, что граница дб области О обходится в яалаясительнам направлении, если при ее обходе внутренние точки г б О остаются слева. Противоположное направление обхода называется отрицательным. Пусть, например, б — замкнутый треугольник с вершинами в точках а, г, г 4 2тг на плоскости С, 9з, — параметрическое представление отрезка (а, г), 9гз— параметрическое представление отрезка (г 4 й з, г), (вз — параметрическое предстактение отрезка (а, г+ ььг) с соответствуюшнми областями определения.
Обозначим через Г„1'з, Гз их положительные ориентации, соответствуюшие возрастанию параметра (рис. 69, а)). Положительно ориентированной границей треугольника О назовем упорядоченный набор дП= (Гн Г;,Г;) (рис. 69, 6)). Рис. 69 Теорема 2 (достаточные условия сушествовання первообразной в круге).
Пусть функция / непрерывна в крут К = (г Е С: 1г — а~ т. г) и интеграл от нее па ориентированной границе любого треугольника О Сс К равен нулю, т. е. У(а)йг =О. вп Тогда функция К(я) = / У(() АС, (2) иь 1 где интегрирование проводится но прямолинейному отрезку (а, я) С К, является перваабразнай фуняции з в круге К, т. е. Р— аналитическая функция в К и Ег(л) = у(з) тг 6 К. м Пусть Π— треугольник с вершинами в точках а, я, з + йьх, тле з Е К вЂ” любая точка и (я+ гзл) 6 К. Тогда О а К (рис. 69, а)).
Ориентируем границу треугольника в положительном й 5. Теорема н интеграл Ковш !63 направлении (рис. 69, б)), соответствуюшем направлению движения против хода часовой стрелки. Согласно условию теоремы и свойству аддитивности интеграла, имеем Я)46= /'К)д(+ /'Н)д6+/'И)д(=Е() — Е( +й )+ /И)д(=О, ва г, 2 г, г, откуда У(г+Ьг)-Е(г) = / У(()И6. г, Рассмотрим вырюкение Е(г + гьг) — Е(г) 1 à — 1" (г) = — / (Щ) — ) (г)) ь(б. гьг 2,/ г, Поскольку функция 1' непрерывная, то ьс > 0 Эб > 0; (~(6) — 7(г)( < с, если ~г)г! < б и б 6 (г, г + гьг). Принимая во внимание неравенство (6), п.4.1, получаем оценку Г(г + 2аг) — Е(г) 1 ььг ~дьем — у(г) < — с1гаг~ = с, откуда следует, что ег(г) = у(г). м Теорема 2.
Если )' б А()3), то интеграл от г но ориентированной границе до любого тре- угольники 6 С 2) равен нулю. ч Применим метод доказательства от противного. Допустим, что теорема неверна, Тогда существует такой треугольник б* Са Р, что / )'(г) дг =М, М>0. (3) Разобьем треугольник ьг средними линиями на четыре треугольника н орнентируем границу дб н границы составных треугольников так, чтобы их обход совершался в положительном направяении (см.
рнс,70). Пусть дбг (7' = 1, 2, 3, 4) — положительно ориентированные границы составных треугольников. Тогда, очевидно, выполняется равенство 4 г='ос оо. г .та 3 так как интегралы вдоль средних линий берутся дважды в противоположных направлениях и при сложении взаимно уничтожаются. В силу неравенства (3) среди составных треугольников с.) сушествует по меньшей мере один (обозначим его б, ) такой, что 7(г)ь(г > —. 4 М 1'(а) ь(а > —. 42 ао; Треугольник гг; опять разобьем средними линиями на четыре треугольника. Тогда, в силу привеленных выше рассуждений, среди них найдется по меньшей мере один такой треугольник сгг, Гл. 4.
Интегрирование в комплексной плоскости. 164 Продолжая этот процесс разбиения на составные треугольники, получим последовательность вложенных друг в друга треугольников (б„), для которых выполняются неравенства М У(*)йг > —. 4" (4) Согласно теореме Кантора (см. В4, гл, 1) существует точка г,, принадлежащая всем треугольникам. Поскольку г» 6 б, то гг 6 22. Так как функция у аналитическая, то тг 6 2) выполняется равенство У(г) = У(го) + У'(»0)(г — го) + а(г)(г — гг), (5) где а О при г ~ го т.е.
тг > О Лб(г) > О: !г — га! < 6 ==о !а(г)! < г. Пусть К» — — (г 6 С: !г — ге! < б). При достаточно больших и 6 г( б„С К». Принимая во внимание примеры 1 и 2 из п.4.1, получим: У(з)"г / 1(го)аг+ / У(го)(а е)ог+ / п(гйг го)ог / п(г)(г го)аг~ ос„' вс„ ос„ откуда следует оценка У(г) аг < г!дб„!, ос;, где !дб"„! — перилгетр треугольника б„, т.к. !г — гг! < !дб"„!. Согласно построению имеем !дб„'! = —, !дб'! 2" следовательно, выполняется оценка !дб*!' У(~)й~ < (6) ос„ Сопоставляя неравенства (4) и (6), получаем оценку М |дб !з 4" 4" откуда следует неравенство М < г!дб'!'.
В силу произвольного выбора г > О М = О. Получили противоречие, источник которого в предположении, что У(г) аг ~ О. и ос Из теорем 1 и 2 получаем следствие, которое сформулируем как теорему. Теорема 3. Если У 6 А(2)), то в людом круге Х„= (г 6 С: !г — гг! < г) С 2) она имеет нервообразную 1*». М где интеграл берется но нрямолинейному отрезку (ге, г! С Х„. Теперь покажем, как из локальных первообразных аналитической функции можно склеить первообразную, действующую вдоль заданной кривой (пути). 1б5 б 5. Теорема и интеграл Коши 5.2. Первообразявя вдоль кривой (вдоль пути). Пусть функция 1' определена в области Р С С, у С Р вЂ” простая непрерывная кривая, зг — ее параметрическое представление, Ри = [а, Ь[ = 1.
Тогда 1 определена в каждой точке г=!г(1)Е у,(Е1. е Определение. Функции 1 — л С иизыеается аервоабразиой функции 1 вдоль кривой (аута) у, если аылолияются следующиеуслоеия: 1) Ф непрерывная иа сегменте 1; 2) для каждой точки (е Е 1 существует окрестность О„точки ге —— ю(1е), и которой фуикция 1 имеет пгреоМразиую Е, лричем Р((а(1)) = Ф(1) Чг Е Ом С 1, где Он — некоторая акрестиость точки ге в топологии 1. Нримечаиае 1. Если У имеет первообразную Р во всей области Р, то функция Г Р(Р(Г)) будет, очевилно, первообразиой функции 1 вдоль кривой 7.
Вообще говоря, в олределеиии лервообразной влоль кривой ие требуется существование иераообразной во всей области Р, злишь в окрестности каждой точки ло = Р(гз) Е 7. ,) — (1 ), 1, р 1, то лервообразнме функиии 1, одна из котоРых соотттетвует О,, „тля — окрестности О, могут ие совпадать. две первюбразные олной И Юй функции 1 в окрестности одной и той же точки Р(1~) = Р(гз) могут отличаться лишь иа постоянное слагаемое. Это является свидетельством того, что первообразная вдаль пути, яшяясь функцией параметра 1, может ие быть функцией' точки г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
