Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Плоскость с разрезами по лучу [ — а, +ос) (о > О) и отрезку [ — с(, с([ (с > О) отобразить на верхнюю полуплоскость. и Функция м~ — — т/хт+ с~ отображает заданную область на всю ел -плоскость с разрезом по тучу [ — ъ/а'+ сз, +х). Требуемое отображение зл получим после применения операции сленга вправо на х/а'+ с~ и извлечения затем квадратного корня: 99. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного круга с разрезами по отрезкам [г, Ьг[, [ — Ь(, — 1[, [1, а[, [-а, — 1] (а > 1, Ь > !). и Функция Жуковского зл~ — — —,' [х+ —,') отображает внешность единичного кру5в с указанными разрезами на внешность креста, состоящего из отрезка [-1 (а+ -), — (а+ -)~ действительной оси и отрезка ~- [Ь вЂ” -') й (Ь вЂ” Ц 1~ мнимой оси.
Получили частный случай задачи 97, 5де а заменено на - (а 6 — ), Ь вЂ” на — (а-~- -), с — на — (Ь вЂ” -). Следовательно, можно вос15 / 1х ! 1( «/' 1( ь/' пользоваться формулой (1) задачи 97, заменив в ней а, Ь и с выражениями, указанными выше. Тогда получим искомое отображение ок Рас. 55 а00. Отобразить на верхнюю полуплоскость внутренность правой ветви гиперболы и' у' , созга зш'а П сть л — вершина правой ветви гиперболы, Р— ее фокус (рис 59).
Проведем разрез по лучу [А, +со). При решении задачи 86 было показано, что функция Жуковского и = о + гв = з [а + ~ ) отображает лучи агах = а на софокусные гиперболы из ез — — — = 1. созз а зшз а $6. Тригонометрические и пшерболические функции 141 осушествляет отобрюкение заданной области на верхнюю полуплоскость. Поскольку ггл Ь) Ь о л — 2а = 2 ~ — — агсгб -) = 2 агссгб — = 2 агсгд —, 2 о) о Ь' то полученную формулу можно записать в виде . е,ухг — от~э ь л ), где а =ашгд-, р= ., с= Хгоз+Ьг.
с ) о ' 2 агсгя — ' ь 2 Для приведения уравнения гиперболы к виду — ', — — ", = 1 взяли сока = -",, япа лг с = лгаТ+ Ь'. Тогда а = агсгд ь . а 103. Выяснить, во что преобразуются при отображении иг = сь гы 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полоса С = (е Е С: 0 < !ш х < л]; 3) полуполоса Р = (з б С: Кез < О, 0 <!гпз < л]. и 1) Пусть е- ! е- е*ьэ ! е-* — т 1 ы = и+ ли — — — — (е (соку+ гяпу) + е (соку — гяп у)) = 2 2 2 ' = сокусьх -'; (яп укь х.
Тогда и = сок усй х, е = яп укь х. Если х = С, то (х — 1)гг ге = -мз — — — сй Ь 105. Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу, ограниченную прямыми у = х и у = х -1-'Ь. м Пусть г( — ширина полосы. Тогда, очевидно, г( = -т. ь е2 (см. рис, 63). Композиция отображений ю, =е*ьз, Рае. 63 ы=е '=е л л юз = -гдг г( решает поставленную задачу. Ы и' и' и = сокусЬС, е = япукЬС, —, +, = 1. сь' С кйг С Получили семейство софокусных эллипсов с фокусами в точках Ке х = х! . Если у = С, то и е и = сокСсьх, в = к!пСкьх, — — —, = 1. сь' С кй' С Прямые у = С преобразуются в семейство софокуспых гипербол с фокусами в точках Ке е = х) 2) При у = 0 и = сЛ х, е = О, а при у = л и = — сь х, е = О. Фуггкция м = сЛ к отображает полосу С на всю плоскость с разрезами по лучам ( — оо, — 1], ]1, +со).
3) Поскольку ге(0) = 1, ш(лл) = — 1, то отрезок ]О, ггг] переходит в отрезок ]-1, 1] и направлению движения от точки 0 к точке гл соответствует движение по направлению от точки 1 к точке — 1. При этом точки плоскости ш по правилу обхода находятся слева, т. е. приналлежат нижней полуплоскости. При к = х, х ь — гю луч ( — оо, 0] переходит в луч ]1, +ос), а при з = х+ (л, х ь -оо функция ы(з) = — сьх имеет предел -оо и луч у = (е б С: Кех < О, !шх = гл] перейдет. в луч ( — оо, — 1].
В соответствии с правилом обхода полуполоса Р отображается функцией ге = сь х на нижнюю полуплоскость. я 104. Отобразить на верхнюю иолуплоскость полуполосу С = (х б С: Ке - < 1, 0 <!гпе < Ь]. м Композиция отобрюкений ич = е — 1, ы, = -гег переводит полосу С на полосу Р из прилгера 103, 3). ](оэтому функция мз = сь гез отображает заданную область на нижнюю полуплоскость. Следовательно, Гл.
3. Элементарные фувкции в комплексной плоскости 142 106. Отобразить на верхнюю полуплоскость круговую луночку, ограниченную окружностями Г = (х Е С: )з) = 2) и Т = (з Е С:)з — Ц = 1), и Функция ю, = —,*, отображает круговую луночку на вертикальную полосу С = (цч Е С: 0 < Кем, < -,'), а функция зез — — 2кни, отображает полосу С на горизонтальную полосу Р =- (мз б Г: 0 < 1гпиз < а) (см.
рис. 64) Тогда функция зе = е ' = ез"' ' = е *-' отображает луночку на верхнюю полуплоскость (см. свойства показательной функ- ции). и 107. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, огра- ниченную окружностями Г = (з Е С: )з~ = 2), у = (з 6 С: ~з — 3) = 1) (плоскость с выброшенными кругами).
м Искомое отобрюкение ю является композицией ю = е* ', где ю, = -'ти„ю, = '~ (см. рнс.б5) Таким образом, В .44 ез зе=е Т' — з Рее. 65 108. 1)тобразить на верхнюю цолуплоскость область, определенную неравенствами 1з — 1) > 1, )з Ч- 1) > 1, !гпз > О (верхняя нолуплоскость с выкинутыми полукругами). и Функция и, = — ',+' отображает заданную область на полуполосу С = (ю, б С: 0< Кем, <2, 1тм~ < 0), а функций мз = з и, переводит С в полунолосу Р = (мз б С: О < Кемь < к, 56. Тригонометрические и пюерболические функции !43 !юшз < О). Из свойств функции 6 ~ соз6 следует, что функция ш = созш, = соз-Щ)— искомая.
(см. рис. 66) ш 109. Отобразить на верхнюю полуплоскость полуполосу С = (г б С: О < Ке з < +со, — ! < !ю а < Ц с разрезами по отрезку (О, Ц и лучу (2, +со). и Требуемое отображение ш определим с помешаю композиции элементарных преобразований; ш, = лз, ш, = е"', ш, = (шз+ „— '), ш, = -"-' —,,„-; —, ш = lш,. Послеловательные преобразования отражены на рис.67. ш Рве. 67 110. Найти функцию ш(л), отображаюшую область, ограниченную окружностью Г = (з 6 С; (з! = Ц и прямой 7 = (з Е С: !те = Ц (полугпюскость ш = (з Е С: !пз !з! < Ц с выброзпеыным кругом К = (а б С: (з! < Ц) на круг К = (ш Е С: (ш! < Ц с нормировкой ш( — 31) = О, агам~(-3!) = з.
м Функция ш, = *+', отображает множество С на вертикальную полосу 27 = (ш~ Е С: О < Кем~ < Ц, а функция шз = зщ — †, переводит .Р на полосу 27' = (шз Е С; — к < Кеша < к З . Гл. 3. Элемевтариые функции в комплексной плоскости 144 Полагая получим отображение полосы 2)' иа единичный круг с центром в начале координат (см. рис.
6В). Рес. 68 Подставив в юз г = -Зз, получим юз(-Зз) = О, Дифференцируя вз(з), находим: 3;г л к юз(а) = —,, ю,(-3з) = з —, ащюз(-Зз) = —. (а-з)зсозз 4 (-~~ ) 16 2 Далее полагаем ю = ю(вз) и требуем выполнения условия нормировки агйю (-Зз) = -. Дифференцируя ю по переменной з,имеем йзи лю люз г(ю(а) Ию(юз) ) дюз(а) — — — агй— =ащ — ~ +ага— з(вз йа йа з лзиз или л, л л я — = ащю'(0) -з- —, откуда ащю'(0) = — — — = — —. 3 2' 3 2 6 Функция ю = ю(юз) долхгна удовлетворять условиям ю(0) = О, агй ю'(0) = — —.
Слеловательно, ю=е 'тюз=е ззщ — = щ— принимая во внимание равенство щи = -з 1)з зз, можно представить ш(х) в виде 1+ зи3 згз(а+ 3!) ш = — — з)з 2 4(а — з) 111. Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу 6 = (а б С: 0 < Ке а < 1) с разрезом вдоль отрезка у = (л Е С; 0 < Кеи < Л, !газ = 0) ()з < 1).
м Функция ю, = ла отобрюкает полосу О на полосу 2) = (ю, Е С: 0 < Кею, < к), а функция ш, = сов за, отображает полосу В на всю плоскость с разрезами по лучам ( — со, — 1] и (совий, 4.со). Тогда шз — соакй совки — спаяй зиз+ 1 1+ соила — требуемое отображение. и 112. Отобразить на верхнюю полуплоскость полуполосу С = (з б С: 0 < Кеа < л, !пза ) 0) с разрезом вдоль луча т = (а Е С: Кеа = — ",, й < !та < +со) (Л > 0).
и Полагая ю, = сов 2а, получим отображение множества 6 на всю плоскость с разрезами по лучам (-оо, — ей 26! и (-1, +ос). Функция в, = лзгЯ- отобрюкает плоскость с указанными Упражнения для самостоятельной работы 145 разрезами на всю плоскость с разрезом по лучу )О, +ос). Слеловательно, со525 + сп 26 с0525+ 1 — искомое отображение.
М 113, Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную мнимой осью и окружностью Г = )5 Е С: !з — 1~ = 1), с разрезами вдоль отрезка Ъ = 15 Е С: 2 ( Ке5 ( а, !пэ 5 = 0) и вдоль луча 72 — — 15 е с: ь < кез < +ж, 1205 = О) (а < ь). М Полагая в2 — — -', получим отображение указанной области на вертикальную полосу Р = )в2 Е С: 0 < Кеэи2 < 1) с разрезами по отрезкам !О, -'1 и 1-', -,'1. функция вэ — — 2лэи, 2 г отображает множество О на вертикальную полосу Р = (вэ Е С: 0 < Кевэ < л) с разрезами по отрезкам )О, 2 ) и ~ — ', и], а функция в2 — — сох вэ отобразит полосу Р на всю плоскость с разрезами по лучам (- ю, со52, 1 и )005 2в ', +со) Полагая 2 С05 В2 — С05— ь в4 2 С05 Вэ — С05— получим всю плоскость с разрезом по положительной действительной полуоси. Таким образом, 2 2 СО5 — — С05— = 2ГВ4 = С05 — — С05— — требуемое отображение. в Упражнения для самостоятельной работы 1.
С помощью отображения эи = 52 Найти образ круга К = 15 Е С; !5 — 1, '< 2). 2. Доказать, что если точка г описывает окружность 7 = 15 Е С: !4 = 2), то точка эи = 5 — 22'+— описывает эллипс с главными осями, равными 5 и 3. 3. Найти образ первого квадранта 5-плоскости прн отображении 4. Доказать, что функция в = ( —,* ) взаимно однозначно и конформно отображает область г О = 15 Е С: !4 < 1, 1гп г > О) на область Р = 1в Е С: 120 в > 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
