Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 42
Текст из файла (страница 42)
98 99 = — (1 — г) — — (! — г) — — (1 — 8) Š— (1 — 8) 98 99 98 99 98 7 1 ! 8 ! 98 — 77 1 99 (1 — г) — — — (1 — г) — — (ъ72) е ' ' + — (7772) в * 9 1 98 99 ) 98 99 98 89 = (1 — г) 1 — — — (1 — г)! + — 8 — 2 1 98 99 ) 49 ~ 99 г) Д77я вычисления интеграла 28 применим формулу интегрирования по частям: , *=9 27=(г — 8)е '! .+/ е 'дг= — 8+е ')* =-8+1 — е а = -8+! — (соз! — 85!и 1) = 1 — со51 Е(йп! — 1)8.
5 2. Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков 7У(гбС, и61%. Пусть область определения функции у есть линейно-связное множество, содержащее более одной точки и пусть и б Рг, назовем функцию у )-интегрируемой, если 7уг б Рг существует 2 з(1)дй Отобралсение г ь 2 у(8)й87 г б Рг, называется 1-интегралом функции у с низкним ПРЕдЕЛОМ иптвгуиуаеапиЯ О б Рг . ПО ИНДУКЦИИ ОПРЕДЕЛИМ ИНтЕГРаЛ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКа функции у с нижним пределом интегрирования о б Ру. 2.1. Определение и -производной н зг-интеграла. Пусть область определения функции /: С - С не имеет изолированных точек. Назовем ее 1-ди44еренцируемои, если чг б Рз она имеет производную Г(г).
Функция г ° у'(г) называется 1-производной функции г и обозначаешься через уц7. По индукции определим производную фУнкции 7 любого порядка. Определение 1. Пусть и б 79!. Если функция гю7 ди44еренцнрувма, то ее производная (у'"7) называется и + 1-й производной функции У' и обозначается через 7'"~о. При этом функция з называется (и и 1)-дифференцируемой. Лля упрощения записи считаем ) и7 = у.
Приведем примеры. Пример 1. Пусть 1(г) = е 7гг б С. Тогда 7"(г) = е', 7~ 7(г) = в*, ...,1~ ~(г) = е' 8((г б с, и 6 Щ. Пример 2. Пусть г(г) = 5!и г ьуг б С. Тогда у (г) = со5г = 5\п(г + — ), у (г) = — 51п г = йп( г + 2-), 154 Гл. 4. Ии)егрировагее в комплексиой плоскости. Определеиие 2. Если (дункяил 1' ннтегрирусяа, и ) 2, то налагаем 2 Я)дт = / / у(г)дг дт 'Гз б РГ. Рассмотрим примеры Г( ) Пример 3. Вычислить / 41 )Г(а б С, е б С). Последовательно интегрируя, получим 41=2 — а, / йт= /(Г-а)д(= 2 (2 — а)" йе т и! (' (à — а)' (з — а) 1"'=~~ ™= 2 3! Г (") Пример 4. Вычислить / е' дг, з б С. Имеем (и Г(2) е' 42 = е* — 1, / е' 41 = з/(е' — 1) 41 = е' — 1 — з, о о (2) 2 е й( = / (е — 1 — Г) 42 = е' — 1 — я —— 2 2! ' ( ) 2 -) е 4( = е* - 1 — 2 - — - ".
— —. 2! (и — 1)! о (2) Пример 5. Вычислить -/ з(п( йт, 2 б С. о Последовательно интегрируя четыре раза, получим (и ГР) о!паде = — созе+1, / япгйг= з/(-соя(+1)йг = — япз ~ьз, о о и) ( 2 Г(4) ,г 22 2 о)пейг=/ (-в!пе+1)де=сове — 1+ —, / о!леде=/ ~аоот — 1+ — / 4(=япя-я+ —. 2,/,/ 1, 2,~ 3! у(г) йг = Р(е) — ~~) рч )(а) ь=о О о о о о 2.2. Формула Ньоотоиа — Лейбиииа. Производиые по пределам иитегрироваиии. Теорема 1 (формула Ньютона — Лейбница для и-иитеграла).
Пусть у; С вЂ” С, Рг — линейно-связное мнвлсество, свдерлсащее более одной точки, и и б 1)(. Если существует Р: че б Рг Е(")(з) = Г(я), а б РГ то Ре б РГ существует $2. Провзводяые и интегралы Ньютова — Лейбница любых порядков 155 М Применим метод математической индукции. Для и = 1 утверждение доказано в п.1.2. Предположим, что формула (1) справедлива после замены в ней и иа п — 1. Так как (Г')'" " = Г "' = Т, то по предположению Согласно определению 2 из и.
2.1, имеем / У(1)д( =- / / г(т)дт Из = / Г'(1) — ~~~ Г( ы'(а) Ж = ь=а = Г(я) — Г(а) — ) Г~ +п(а) = Г(г) — ~~ь Г '(а) ь=ь ь=о с ! гьо 1 гы-л / Т(1)д( = / Т(1)Ж чай РР ь ь < гю> гю-л ~ Т(1)Ф = -)'(л) г( Ж тЬ б РГ (2) (3) м Равенство (2) очевидно. Докажем справедливость формулы (3). Пусть Г : С вЂ” С и Уя е Рг Г'"'(л) = /(л). Тогда, согласно формуле (1), получим ~ ~ ~ и ~ ~ ! ~ ~ ! < ~ ~ ! ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ы > С ~ ~ ~ ~ | > ~ !~ ь 1 ь /~~ ~ ~ы ( ь=о (см, пример 3 из и. 2.!).» Теорема 3 (Дирихле). пусть Т": С ь С, Рг — линейно-связное мноясество, содержащее более одной точки, и а е РР Ь 6 РР Если функция г интегрируема, то ь ь Т (Ь вЂ” 1)'"-и ((1) де = ~1 г(1),, дк (4) М Согласно формуле (1) и теореме 2, имеем =ь г[ ) =/ т(1)де.
» т. е. справедлива формула (1). » Теорема 2. (о производной п-интеграла по пределам интегрирования), Пусть У: С ь С, Рг — линейно-связное льножество, содержащее более одной точки Если функция Т интегрируема, то справедлива равенства !56 Гл. 4. Интегрирование в комплекспов плоскости. 2.3. Формула Тейлора.
Пусть выполнены все условия теоремы 1, п. 2.2. Тогда из формулы (1) того же пункта следует равенство Г(з) = ~~ ~~Г~ '(а), + / Гаи(!)д! о(а б РР з б Р '), (1) ь=о которое называется формулой Тейлора для функции Г с астаточньнп човназь записанным посредствам и -интеграла. Функция з ~-~ ~ Г' '(а) !ы (з — а)ь называется мнаючлгном Тейлора. Частные случаи формулы (1) встречаются в элементарной физике. Пусть материальная точка движется прямояинейно по оси Оу с постоянной скоростью о = Г'(а).
Если известно ее начальное патожение Г(а), то положение Г(х) в момент времени х можно найти по формуле (х — а) Г(х) = Г(а) + и(х — а) = Г(а) .т- Г (а) являющейся частным случаем равенства (1) прн и = 2, а также при и = 1. Пусть снова материальная точка движется прямолинейно по оси Оу с изменяющейся скорое гью, но с постоянным ускорением Гн(а), т. е. равноускоренно или равнозамедленно.
Если известны ее начальное положение Г(а) и начальная скорость ио = Г'(а), то положение точки Г(х) в момент времени х можно определить по формуле )г (х — а) „ (х — а) Г(х) = Г(а) + ио(х — а) Ч- Гн(а) = Г(а) Е Г'(а) Ч- Г'(а) 2 2! являющейся частным случаем равенства (!) при и = 3, а также при и = 2. Таким образом, равенство (1) является дальнейшим обобщением этих важных формул элементарной физики. Из форлзулы (1) следует, что функция Г является многочленом тогда и только тогда, когда ее п-производная всюду равна нулю при некотором значении и б М Формула бинома Ньютона является частным случаем формулы Тейлора. Применив к п-интегралу формулу Дирихле (см.
п. 2.2), получим форлгулу Тгйюра с остаточным членам в интггралыюй форме: (2) й! / (и — 1)! ь=о 5 3. Производная Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано ЗЛ. Производная Ферма — Лагранжа. Производная, определенная в п. 4.1, гл. 2, допускает следующее обобщение по индукпии. Определение. Луста у: С вЂ” ° С, зо б РО п б )4. Функция г называетсп и-диффврвнциругмай в смысле Ферма — Лагранжа в точке зо, если существует такая (и — !)- диффвренцируемая в смысле Ферма — Лагранжа в точке зо функция )г, чта тз Е РГ У(х) — У(хо) = (х — зоМ(з) Если дополнительно зо является предельной точкаймнажества РР та числа трш П(го) называется и-праизвпднай Ферма — Лагранжи функции з в точке ло и айазначаетсн Уои(зо).
как и прежде, считаем функцию У О-дифференциевуемой в смысле Ферма — лагранлса в точке хо, если она непрерывна в этой точке. При этом г' (хо) = Т(хо). $3. Провзводиав Ферма — Лаграюка. Формула Тейлора — Пеаио 157 Пример 1. Пусть и Е М и /„: К ч К где / (х) = 1 х" йп —, если х Е К'1(0), х О, если х = О. Доказать, по функция /„(и — 1)-дифференцируема в смысле Ферма — Лаграюка в точке * = 0 отЕХ Воспользуемся методом математической индукции. Если и = 1, то 1 !пп Л(х) = 1пп хйп — = 0 = /,(0), -о о х т.е. функция /, 0-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке х = 0 чт Е р(.
Допустим, что функция /„(и — 1)-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке х = 0 'оги Е р(. Согласно предположению, имеем /„ы(х) — /„ы(0) = х/„(х) жх Е К. По определению функция /„, и-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке х = 0 'о'ги Е Р(. Пример 2. Указать в примере 1 значение гл Е Я, при котором функция / не имеет 2-производной в точке х = 0 в классическом смысле. Если х ф О, то 1 „, 1 /„(х) = их" Вп — — гх" ~ соо —. х х Полагая т = п — 1, получаем, что функция /„' разрывна в точке х = О, вследствие чего /„не п-дифференцируема в классическом смысле в этой точке при и ) 2. Из примеров 1 и 2 видим, что Уи ) 2 существуют функции, и-дифференцируемые в смысле Ферма — Лагранжа в фиксированной точке и не имеющие в ней второй классической производной.
3.2. Теорема Тейлора — Пеаио и ее обращение. Понятия и-дифференцируемости и и-производной Ферма — Лагранжа используютсв при изучении локальных свойств функций. Очевидно, что если функция / и-дифференцируема в смысле ФЕРМа — ЛаГРаНжа В ТОЧКЕ Хо Е РР ЛапаЮШЕйеа ПРЕДЕЛЬНОЙ ДЛВ МНОжсетаа Рг, тО Ут = О, И существуют т-производные Ферма — Лыранжа /' '(г,). Теорема 1 (формула Тейлора — Пеано). Пусть /: С -ч С, го — предельная тачка множества РГ и хо Е РР Если фУнкциЯ / и-диффвРенцнРУгма в смысле Фауна — Лагданжа в точке го, та справедлива формула Тейлора — Леона ь /(г) = ~ / (го) + г (х)(х — го) уг Е РГ, ьы (х го) ь=о где г„— непрерывная в точке го функция и с„(го) = О.
м Применим метод математической индукции. Если и = О, то утверждение очевидно при ео(г) = /(г)-/(г,), Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены и на и-1 и что функции / и-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке го. Согласно определению, существует такая и — 1-дифференцируемал в смысле Ферма — Лагранжа в точке хо функция зо, что Ух Е Рг /(х) — /(го) = (х — хоМ(х). (2) По предполохсению ь ч от (х — хо) — ! в"(г) = ~Е (хо) +в„~(х)(х — хо) й! (3) Гл.
4 Интегрирование в комплексной плоскости. 158 где е„, — непрерывнац в точке зо функция и е„,(л,) = О. Из равенств (2) и (3) получаем / ь Из) = У(ло) + (е — зо) у (о (го) ,, + с„ ,(з)(е — зо)" о! (с ао) ь=о У1ь П(зо) ( — о) " = У(зо)+ . +е. ~(г)(а — ло)", йч. ! й! что равносильно формуле (1) при с„= е„,. > Следуюшее утверждение является обрашением теоремы 1 и объясняет важность понятия и- производной Ферма — Лагранжа. Теорема 2 (об обрашении формулы Тейлора — Пеано). Лусть у: С вЂ” С, ло пдедельнал точка множества РГ и зо б РР Если ь (а — ео) /(з) = ~ аь + е(з)(л — ло) та Е РР й! (4) гдв аь 6 С чй = О, и, е(ло) = 0 и е — непрерывная в точке зо функция, та функция г и-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке зо и аь = У (ео) ч(й = О, и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
