Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Полагая л = езс, получим: 1 = 1е' — ц, или .и => 6 Зсм-~З>-„%Г- сг61. ,5 Отсюда находим: 6(пд = -,', д = —, гч = е'6, 62 = е' 6 (рис.45). Строим пробно-линейное отображение, переводящее точку и, в нуль, а точку 6,— в оо: 2+ — — -* 2 + 6ГЗ вЂ” 6 6ГЗ 66 2 2 'Гз 2 2» — 663 — 6 2 Рис, 45 Принимая во внимание, что изз(0) = — 2 + —,', шз(з) =— строим образ луночки Рз в плоскости зиз (рис. 49). Дзьтьнейшие пре- 2 образования очевидны: мз = е * з зи, — поворот на угол — —, и 3 и = мз'. Окончательно получаем; гиЧ '3-6 2) Граничные угловые точки луночки Р, те же, что и у луночз 2 662-6 ки Р,: лз — — е'6, 62 = е' 6 . ВзЯв ФУнкцию изз = — 5 — уГ='-, снова получим на плоскости изз внутренность угла, образованного лучами, выходящими нз начала координат, с углом прн вершине —, (рнс. 50). Рис.
49 Рис. 52 Рис, 56 Рис. 52 Полагаем далее шз — — е ' з мз, 26+ и'3 — 6 3) Функция зи, = '*+ ' ', ОтОбрвкает луночку Р, на внутренность угла (рис. 51). Очевидно, что искомая функция и имеет вид (зи )' (6+ з-~) 4) Клк и в прелыдуших случаях, граничными угловыми точками луночки Р, (см. рис.52) являются 5 62 = Е' 6 62 = Е'6, Гл. 3. Элементарные фуиацви в комплексной плоскости 130 Вспомогательная функция ма — прежняя, Поскольку 1 а /3, 1 аъ/3 аса(2а) = — — —, аса(-а) = -+ —, 2 2 2 2 то функция ма отображает луночку ))а на внутренность угла, изображенно- го на рис. 53. Применив преобразование поворота на угол —, ааа = са а ма, окончательно получим: з /2а Ч- ъ'3 — а 'са ~, 2з — ъа3 — а 5) Найдем граничные угловые точки луночки 2)а (рис.
54). Для этого полагаем з = 2е' и рассматриваем уравнение относительно 0 (2е' — ъ'2! = 2, Рис. 5Э откуда после несложных выкладок получаем: 1 я а / 1 а соаб = —, д = —, за = 2е*с = 21 — + — /( = а/2(!+а). ъ'2 4 аъ ъ'2 ъ'2) Очевидно, аа —— Уа — — ъ'2(1 — а). Полагаем по аиалогиаа с предыдущим — /г(1- ') юа = а — у'2(1+ а) Установим образы точек з = 2 и а = 2ъ'2 на плоскости ма. Имеем 2 — ъ 2(1 — а) ъ/2 — 1+ а (ъ'2 — 1 4 а)' ма(2)— 2 — ъ'2(1+ а) ъ'2 — 1 — а (ъа2 — 1)а+ 1 2 — 2ъ2~-2а(ь2 — 1) а — 1 1 а 4 — 2ъа2 / ъ2 ъ/2 Точка з = 2 переводится в точку, лежащую на биссектрисе второго коор- динатного угла.
Далее, 2ъ/2 — ъ'2(1 — а) 2 — (! — а) 1 + а ва, (2ъа2) — — — — — а, 2ъ'2 — ъ'2(1+ а) 2 — (1+ а) 1 — а т. е. образ точки г = 2ъ'2 принадлежит мнимой оси плоскости ма. Луноч- ка Ра отображается на внутренность угла, образованного положительной мнимой поап осью и биссекгрисой второго координатного угла (рис. 55). Функция ваа = мае * а отобрюкает указанное множество на внутрен- ность угла, образованного положительной действительной полуосью и биссектрисой первого координатного угла в плоскости ааа.
Очевидно, что искомая функция имеет вил ! 4 4 4 .а-,Гг(1 а)~ ('а .2(1-;)) а — ъ/2(1 + а) ) 1 а — ъа2(! + а),/ Рас. 55 ~а+ 1 ='/"" = Ч Ч1-а. 77. Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с размером по отрезку [-1, Ц. М Рассмотрим функцию ма — — —,' а. Тогда а = -1 а-а ша — — О, а = 1 а ааа = со, Поскольку ма(0) = — 1, то становится ясным, что функция ма отображает плоскость с разрезом по отрезку (-1, Ц на плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси. Функция ма = -ма отобрюкает плоскость с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси на плоскость с разрезом вдоль полохсительной дейстюпельной полуоси.
Искомое отобрюкение имеет внд: б 6. Тригонометрические и ншерболические функции 78. Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с разрезом по отрезку [-(, [[. и Полагая ю, = -(х, получим плоскость с разрезом по отрезку [-1, 1[, т, е, сведем задачу к предьгдушей. Таким образом, 79. Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с разрезом по отрезку [эи ээ[.
м Рассмотрим целую линейную функцию ы, = аэ Ч- Ь и потребуем, чтобы э, ~ -1, зэ 1. Для определения а и Ь получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: < — 1 = агч + Ь 1 = аээ + 6. Ре решения: а = — Ь = -'э-+-'-т. Задача свелась к отображению плоскости ач с разрезом вдоль отрезка [-1, Ц иа верхнюю полуплоскость. (см. задачу 77).
Следовательно, Ю = и ! — и, 1 — — Ь ! — — '* +'+' у' э,— 80. Отобразить на верхнюю полуплоскосэь плоскость с разрезами по лучам ( — со, -Рь[, [Я, +ос) (В > О). м Функция эа, = — '+"„отображает указанную плоскость с разрезами на плоскость с разрезом вдоль полохснтельной действительной полуоси. Следовательно, — искомое отображение. М 81. Отобразить на верхнюю полугпоскость плоскость с разрезом по расположенному в первом квадранте лучу, выходяшему из точки 1 параллельно прямой у = л. м Функция ич = э — ( отображав~ указанную плоскость с разрезом па плоскость с разрезом вдоль биссектрисы первого координатного угла с вершиной разреза в начале координат, т.е.
в точке э», = О. Функция иэ = е ' Т ач отображает плоскость цч с разрезом вдоль биссектрисы первого координапюго угла на плоскость с разрезом вдоль положительной действительной полуоси. Искомое отображение, очевидно, имеет внд в = чгыэ = е ' э ~/л - ~, ~ 82. Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскости и нолуплоскосгь Р = (э Е С: 1ш э > О) с разрезом по отрезку [О, (Ь[ (Ь > О). м Функция и, = э отображает указанную полуплоскость с разрезом на плоскость с разрезом э вдоль отрезка [-6', О[. Полагая шэ = вь + Ьэ, получим отображение плоскости ю, с разрезом вдоль отрезка [-йэ, О[ на плоскость с разрезом вдоль отрезка [О, Ьэ]. Следовательно„ % = Б2+лэ — искомое отображение.
~ 83. Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскости и полуплоскость Р м [з б С: 1ш х > О) с разрезом от бд до оо влоль положительной мнимой полуоси. Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости 132 ч В плоскости в, = з' образом заданной области будет плоскость с разрезами на действительной оси по лучам (-со, — Ьз) и (О, +оо).
Дробно-линейное отобрюкение шз — †-гт — переводит ее в плоскость с разрезом по положительной действительной полуоси. Окончательно получаем чтзз+у в = зушз = . в 84. Отобразить на верхнюю полуплоскость: 1) круг К = (з 6 С: [а[ < !) с разрезом по радиусу [О, 1[; 2) внешность единичного круга с разреюм по лучу [1, +со). ч 1) Функция в, = з/з отображает заданную область на верхний полукруг (при соответствующем выборе ветви т/з). Тогда в, -~-),гз+ ! — искомое отображение. 2) Функция ш, = чге (при соответствующем выборе ветви з/з) отображает заданную область на верхнюю полуплоскость с выброшенным верхним полукругом радиуса 1 с центром в, = О.
Тоща функция з+1 — искомая. Внешне функции в в 1) и 2) одинаковы, а выбор ветвей зтз в них разный. (ь 85. Найти отобркжение круга К = [а Е С: [з[ < 1) на в-плоскость с разрезом по лучу ( — со, — -„] при условии, что в(0) = О, в (0) > О. ч Пусть а = а(в,) — отображение верхней повуплоскости плоскости в, на круг К. Тогда з = 'я — ':4, й = ев, д Е 3(.
Отсюда находим: -,-л Искомое отображение имеет, очевидно, аид 2 ! а)) )еР в=-ш, — — = — ~ 4 1, а — й ) 4 П) Поскольку в(0) = 0 = — )3~ — „-' и (щ,) > О, то,З = $. Подставив это значение в бюрмулу (1), получим после несложных преобразований: в= — — — 1 Дифференцируя в, имеем (а+ й) в (а) = -й (а ь)з' Из условия в'(0) > 0 следует, что —,', > О. Так как [й[ = 1, то й = е'а > 0 при д = О, т.е. й =!.
Окончательно получаем: в=— )з 86. Найти преобразование полярной сетки [а[ = 22, ага а = а с помощью функции Жуков- 1/ ского в = — ~з+ — 1. а) б б. Тригонометрические и гиперболические функции 133 м Подсшвив в формулу для ш значение з = Ве'", получим. ш = и+(с = — Ве + — е = — В+ — соха+ г  — — япа Таким образом, 1/ и = — В+ — ) сова, в = — ~ — — ) япа. 21 В) ' 2~ В) Из равенств (1) находим: (2) Поскольку ш1(со) = оо, то бшт(оо) агд = ага 2 = О. г(ш, Взяв ш = взе™, получим йш(со) е'" зг х ') 2 ш бш(со) — = — ~1+ ) = -е'", агб — = а.
бх, (,,Ует: — су) бз 2и 21' 4из 4с' соха =,, япа = + =!. В+а В л (В+в) ( — л) Из (2) следУет, что окРУжностЯм Ул = (з б С: 14 = В) соответствУют софокУсиые эллипсы. В частности, окружности у~ — — (з Е С: ~х~ = 1) соответствует отрезок у = (ш б С: -1 < Кем < 1, !тш = О) (см. б 5). Записав первые два уравнения в (2) в виде и возвела левые и правые части полученных равенств в квадрат, а затем складывая соответственно квадраты левых и правых частей, получим и 2 Ю (3) соз'а з)п а Равенство (3) показывает, что лучам агдз = а соответствуют ветви софокусных гипербод.
В частности, лучу ага з = 0 соответствует луч р, = (ш Е С: Ке в > 1, 1гп в = 0). Действительно, ) при а = 0 из (2) получаем, что с = О, и = — ~'" > ~/ — „= 1. Аналогично устанавливаем, что лучу ага з = я соответствует луч р„= (ш б С: Ке ш < -1, 1т ш = О), а лучам атй = ш —, — ось Ке ш = О. ш 87, Пользуясь функцией Жуковского, отобразитгс 1) внешность отрезка ( — с, с] (с > 0) на внешность единичного круга при условии, что ш(оо) = со, агав (|ю) = а; 2 7 2) внешность эллипса — + — = ! на внешность единичного круга так, чтобы ш(оэ) = со, оз 02 агав'(со) = 0; к у 3) верхнюю полуплоскость с выкинутым полуэллипсом — + — < 1, у > О, на верхнюю з 02 полуплоскость. М 1) Полагаем ш, = =,.
При этом отрезок ( — с, с( перейдет в отрезок ( — 1, Ц. Теперь применим к функции ш, отображение, обратное функции Жуковского: шз™!+Ъ'в! 1. I 2 Дифференцируя функцию шм находим: айвз ш~ — =1+ дш, /Т Гл. 3. Элементарные функции в комплексно» плоскости 134 Таким образом, е (+ /г 2) — искомое отобрагкение. 2) Проведем преобразование подобия точек так, чтобы фокусами эллипса были точки (-1, 0) и (1, 0): 2/а' — Ьт Определим радиус г окружности, в которую функция Жуковского преобразует данный эллипс и Ю 2+ (~/ 2-ь2) (,„Г 2-ь2) Обозначим а = " . Тогда находим г из уравнения а = -, (г+ р) или г — 2аг+! = О, откуда /2-ь' ' г = а+ 2/а' — 1 (берем перед радикалом знак "+", поскольку должно быть г > 1).
Имеем а Ь' а+Ь 2/аг — Ьг Ч аг — Ь' 2/аг — Ь' аз 2/аг — Ьг à — — + — 1 = — ~»+ ' — (аг - Ьг)) а+Ь ~ 2/аг — Ьг а' — Ь' /~ авЬ 2 3) Воспользуемся решением предыдущей задачи. Отобразим данную область на верхнюю полуплоскосп, с выброшенным единичным полукругом: ! в, = — (з+ 22 — (аг — Ьг)). а+Ь Теперь связь между функциями в, и в устанавливается функцией Жуковского 2', ° Р:2 '-2'2 /;Г 2,,: — 2 2 2( — ' -'2'-2'2)) 2 ~ а2 — Ьг ..
- 2,Л: 2 ' - 2'2 а' — Ьг а вЬ 88. Отобразить двусвязную область, ограниченную софокусными эллипсами г х р, а у — + — =1, — + =! (а>Ь), Ьг 2 аг+Ьг Ьг+Ьг на концентрическое круговое кольцо с центром в начале координат и найти модуль данной двусвязной области (каждая двусвязная область, границы которой не вырождаются в точки, может быть конформно отобрахсена на концентрическое кольцо с вполне определенным отношением р радиусов внешней и внугреинсй ОКРУжностей. Число р называется модулем двусвязной обдасти). < Преобразование подобия в, = —,-* —; преобразует заданный эллипс в эллипс с фокусами 2/ '-ьг в точках в! и осями а = =$, Ь = — ~А -Ь ' ьг -и' Теперь с помощью функции, обратной функции Жуковского, отображаем эллиптическое кольцо на круговое: 2/ат ь2 Далее применяем функцию, обратную функции Жуковского, полагая и, = в, + „/в', — 1.
Тогда искомая функция в определяется равенством 135 б 6. Тригонометрические и пзиерболические фуивцив Если совершить преобразование поворота и подобия, то снова получим концентрическое кольцо. Таким образом, в обшем случае искомое отобрюкение ш имеет вил [ ° ( ' †( ' — г1), 5 »вЂ” Модуль области равен отношению радиусов окружностей концентрического кольца. В плоскости ш( большими полуосями э(шипсов являются а )газ+ йз 1/ а( —— , аз = 5(( 2, т.к. а = — [ Г+ — ), Г =Ь~ЗУа' — 1. что( — Ь'' т' о2 — Ь'' ' 2 ( г) ' Следовательно, 1'1 ~,,2 51 2( т-'зт ах 6 а — Ь 2 ,[ т + 62 ь(Ь2 + Ьт Г2 / 1121 Г 1 21 5/Е2 Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
