Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Интегрируя по кривой Г, получим Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. окружности радиуса 1 с центром в начале координат и направлением обхода против хода часовой стрелки. При этом получим ! 1=Г= й4" 1 [е' — — — [!1 = 2[г!. / е.! г о После такого полного обхода по кривой Г путь из точки с = 1 в точку с = х состоит из объединения кривых Г и Г, т.
е. кривая Г будет пройдена два раза, и при этом имеем к г д~ г дс — — + ~ — = 2ло+!и г-1- йр. с l с ! г !' Теперь становится ясным, что при обходе начала координат [о раз получим равенство /= еь — =!пг+ир+2л!'ь, й б ло. с ! Пусть ! ф = ! ф. Тогда ~ =ь -ь у ф = -2ло, откуда г, г, к где гк, гас — — — ! — — 2л!' = ! — — 2л! =!пг+1р — 2л!. l~ l~ /~ г- г- !' ! При обходе начала координат Ь раз в направлении хода часовой стрелки получим [!1' — = 1п г+ о[р — 2л !'Ь, й б К ! Объединив полученные результаты, имеем — =!пг+ ил+ 2лол, Ь б у- и е'ь ! ' 15.
Показать, что если пугь не проходит через точки лг, то дс = — +ьл, 1+с! 4 о где Ь вЂ” целое число. м Поскольку — т — — — *, — — *, то ! ыс ти+ ! 2[[- [' ! ! ! о о о Если путь интегрирования не охватыаает точки жо, то интеграл не зависит от его выбора и можно ин[егрировать, например, по отрезку [О, 1). Тогда получим'. ! ! а — = / — = агс[йл! 1+ого / 1+л! ! =а о о $ б. Интеграл типа Каши 191 Пусть Я о я Ь вЂ” — 2Ь* а Ь -« -22Ь* а Ь -* -223* а =/е е ' 2(х=/е е ' 2(х+/е е ' х. После замены х = -! в первом интеграле, получим Интеграл я Ь !нп / е " 2(х = / е 2(х = 32'х и + -лоьо2 .
е " йп 222удуь О при Л-3-ьсо, о (это известный интеграл Эйлера — Пуассона), оа 1 2(х = / е соз 2Ьх2(х. о !пп / е соз 2Ьх и +-1 о Таким образом, перейдя к пределу в (1) при 22 +ос, получим: , ) Ьгк — 2е / е соз 2Ьх 2(х = О о откуда ъга -ь' е * соз 2Ьх ах = — е 2 о ) 2(2 18. Вычислить интеграл / —, Г = (Т, Т,), у — замкнутая гладкая или кусочно-гладкая 22-!-9 г кривая, если: !) точка 3! лежит внутри кривой Т, а точка -32 вне ее; 2) точка -32 лежит внутри кривой 2, а точка 32 вне ее; 3) точки х32 принадлежат внутренности кривой 3. м Поскольку -тт — = -' ( —,',. — —,), то 2 * +о о (*+33 -32 / '+3 6(/ 31~ / — 3) 1) Так как точка -32 принадлежит внешности кривой т, то по теореме Коши 3 2+32 г В интеграле !" 2!З г ! „2 , 1 1= 2е / е * соз2Ьхг(х, / е " 2(х — 22' / е л+" з!п22(у2(у — 2е / е ' соз 2Ьхг(х = О.
192 Гл. 4. Интегрирование в комплексией плоскости. вместо кривой у можно взять окружносгь у, = (з б С: (а — За) = г), принадлежащую внутренности у. Тогда получим, после замены з — За = ге", О ( 1 ( 2к: 7 Г о г 2) По аналогии с предыдущим, имеем ) ' б / а + За 3 ' / аг + 9 3 г г 3) Применим теорему 4, п.5.3, к интегралу по положительно ориентированной полной границе области, состоящей из контуров Г, Г„Г, (см. рис. 82). Получим, принимая во внимание случаи 1) и 2): г г, г, а а(а 19.
Вычислить интеграл /,, Г = (у, у,р), у = (а б С: !а — а| = а), (а > 1). г М функция з г-г аа Ь 1 имеет нули в точках аь = Л = е' г, (а = О, 1, 2, 3. Кривая у окружает лишь точку ар — — 1, Записав подынтегральное выражение в виде з А Ваг -ь Са + Р аа 1 а 1 (а 4 1)(аг -ь 1) легко найдем А а 1 А=йщ -а (а+!)(аг О 1) 4 В силу свойства аддитивности интеграла, имеем .Ва 1 /,~ /'В.г+Са+Р ! /,и аа — 1 4 / г -'1 / (а + 1)(аг + 1) 4 / а + 1 ' так как по теореме Коши Ваг+ Са+ Р а(а = О.
(а 4 1)(аг О П г Произведя в интеграле замену переменной по формуле г — 1 = ге', О ( а ( 2к, находим: г а а(а 1 Г агеи 2ага ага — — Ф= — =— аа — 1 4/ ге' 4 2 г а е* а(а АО. Вычислить интеграл —, / —, Г = (у, у„), если замкнутая кусочно-гладкая кри2ка,/ аз+о ' г вая т окружаеткруг й =(а бС;)а((~а),т.е. К ФР,где Р— область, ВР=Г. М Разлатая функцию а -у'авиа простые дроби, получим: 1 а а аз+аз 2а(а+ао) 2а(а — аа) 193 () б. Интеарал типа Коши Таким образом, 1 / е*а(з 1 / ае* 1 / ае* а(з —— а(з.
2яа Г за+ аа 2аа,! 2а(з -в аа) 2агв ! 2о(г — аа) Применив интегральную формулу Коши (см. п. 5.4), находим; 1 Г е' а а„а„нп а — / — а(з = — (е '" — еа") = —. М 2агв,/ за 4 а' 2а о г 1 Г зе* 21. Вычислить интеграл — / — а(з, Г = (у, у,р), если точка а принадлежит вну2яа / (з — а]' г тренности кусочно-гладкой замкнутой кривой у. м Пусть 1 Г (е у( ) = —, /à — (!. 2.! / —, г Согласно формуле (2), л. 6.1, имеем 2! Г !е' ул(~) = — ~' -2„;/ (! г а по интегральной формуле Коши Г(з) = ае*. Следовательно, 1 Г е'а(а 22. Вычислить интеграл — / а(з, Г = (т, у, ), у — кусочно-гладкая замкнутая 2яа / з(1 — з)з Г кривая, если; 1) точка 0 принадлежит внутренности кривой у, а точка 1 — ее внешности; 2) точка 1 приналлежит внутренности кривой у, а точка 0 — ее внешности; 3) точки 0 и 1 принадлежат внутренности кривой у, м Записав подынтегральную функцию в виде суммы е" е" ( — з + Зз — 3) — + з Пз получим 1 Г е*а(з 1 Г е*(-за+ Зз — 3) ./ ' / з а(~ Г' + !а' 2агв / з 2агв / (з — 1)з г Г 1) По интегральной формуле Коши 1а = е' = 1.
Поскольку подьантегральная функция в интеграле уа аналитическая, то Га — — О и, таким образом, 1 / е а(з ,=1. 2ла Г з(1 — з)' г 2) В рассматриваемом случае Хз = О, поскольку функция з а '— , аналитическая. Пусть 1 Г (-!'+ За — 3)е' У(з) = —. / а(й 2ла / г 194 Гл. 4.Ивтегрироваиие в комплексией плоскости. Применив формулу (2), п. б. 1, получим: 2! Х (-гз+ 31 — 3)е' ее уя( ) = — './Х вЂ” 2„;/ г Поскольку Х(а) = ( — аз -ь За — 3)е', то ((-а~ 4 За — 3)е*) Хз = 2 е з е = — ( — а — а ч-1) 2 2 ш 3) Рассуждая так же, как и при решении примера 1В, 3), и принимая во внимание результаты, полученные прн решении задач в случаях 1) и 2), можем сразу записать: Х г(х = ! — —. ~ 2я( / а(1 — х)з 2 г 23.
Функция Х вЂ” аналитическая в области, ограниченной простым замкнутым контуром 7, окружаюшим начало координат. Доказать, что при любом выборе ветви Вп а 1 — / Х (е) г-папе = У(ао) Х(0), Г = (7 7 г) 2я( / г где зе — начальная точка интегрирования. М Интегрируя по частям, получим; Х Х(.) — / Х'(а) 1.п а г(а = — Х(а) 1.п а) — — / г)а. 2л( / 2я( 2х( / х г г Поскольку 1 из ~„= 2к(, то,— 'Х(а) 1л а)г = Х(ае). По интегральной формуле Коши — / да = Х(О). 1 ХУ() 2к(,/ г Следовательгзо аг / (а — Ы " / (а — а) " еа + г(а, (а — а)" (а — Ь)" 1 (а — а)" ) (а — Ь)" г Г, гь где, например, Г и Гь — положительно ориентированные окружности с центрами в точках а и Ь достаточно малых радиусов.
Применив формулу (2), п. 6.1, получим: (а — Ь) " 2к(' д" ' 2к( „! (2п — 2)! ! еа = — — ((а — Ь) ") = — (-1)" ., (1) (а-о)" (и- ц! да-- (н — 1)! (и — 1)! (о — 6)з" г. (а — а) ™ 2зг( „, (2п — 2)! 1 (а — 6)" (и — 1)! (и — 1)! (Ь вЂ” а)з" ' г(а = (-1)" ' гь Из (1) и (2) следует, что в атом случае Х = О. (2) — / Х (а))паг(а = Х(се) — Х(0).
в 2я( / г ае 24. Вычислить интеграл Х = / , Г = (7~ 7м) 7 = (а б С: !4 = 1), в Х ( — )-( -6)-' г зависимости от того, будет ли 1) !а( < !Ь! < 1; 2) !а) < 1 < ~6|; 3) 1 < (а) < !6), М !) Точки а и Ь принадлежат внутренности окружности у, в силу чего можно применить теорему 4, п.5.3; Упражнения для самостоятельной работы 2) Пусть |а| < 1 < |Ь|, т.е.
внутренности кривой у принадлежит лишь точка а. Тогда 195 (х — а) " г(а =О (х — Ь)" (х — Ь) " „, 2я г(2п — 2)! Хм Ыа =(-1)" ' (г — а)" !)~)~(о Ь)з -~ ' г. гг гь г Поскольку справедлива оценка шах |1(а)| 1(х)пх ! 1=а ~( . 2яй, (г — а)(а — Ь) (22 — |а|)()2 — |Ь|) !'и где шах |1"(г)| < М, М = сопя, то 1-"1= а 1(а) Их (1(Ь) — 1(а) !!и = 0 =2к! н ь / (» — а)(х — Ь) З Ь вЂ” а !'л откуда у(а Е С, Ь Е С) 1(а) = ((Ь), т. е, та Е С 1 (а) = сола!. Ы Унражнення для самостоятельной работы 1. Вычислить интегралы: а) | |х| пх, Г=(7,7р),7=(хЕСДг|= !); г б) | Ке х Иа, Г = (7, у ), 7 = (г Е С:|г — 1| = 1).
2. Вычислить интеграл 1 ег г(а, где г а) Г = (7, 7,р), 7 — ломаная, соединяющая точки О, 1 и ! + г; б) 7 — ломаная, соединяющая точки О, ( и 1+ г. ! 3. Вычислить 1 |а|йа„если путями интегрирования служат: а) прямолинейный отрезок; -! б) верхняя половина единичной окружности; в) нижняя половина единичной окружности. 4. Вычислить интегралы вдоль отрезка Г прямой с началом в точке х, = О и концом аз = 1 .~з г 3 а+г —, отследующих функций; а) а е!'! Кеа; б) а г е' Кех; в) аь;( —;,'Г 5.
Вычислить 1 !ах г(а, Г = (у, у„), где у — дуга параболы у = а~, соединяющая точки г а~ = О и аз 1 + г. а Г,",г=ь,ьх =( а:~ ~=а, ьтхггл ь ьх гьх +3 3) При ! < |а| < |Ь! подынтегральная функция является аналитической в замыкании Л, тле Х = (х е с: |г| < 1). тогда по интегральной теореме коши 1 = О, а 25, Согласно теореме Лнувилля, функция 1, аналитическая и ограниченная во всей плосг'( ) г(х кости, является постоянной. Доказать эту теорему, вычислив интеграл 11 , Гл = / (х — а)(г — Ь) гл (7л Тл), гле тн = (г Е С: |г| = Л) (|а| < 22, |Ь! < 22) и произведя его оценку при 22 сю.
М Пусть Г„и Г, — положительно ориентированные окружности с центрами в точках а и Ь достаточно малых радиусов. Применив интегральную формулу Коши (см. и, 5.4), получим: !96 Гл. 4. Интегрирование в комплексией плоскости. 7. Пусть функция У непрерывная при ~» — ло! > го и г шах )У(»)! — О при г — +со. !»- р!= Доказать, что 1!гп ) У(л)»(л = О, Г = (у, у„), у = (л Е С:!л — »о! = г). + г 8. Пусть функция У непрерывна при О < )л — »о( < Л и г шах !У(»)! О при г — О.
! -*ОН Доказать, что !цп ) У(л)»(л = О, Г = ('у, 'у р), 'у = (» б С; ~л — ло~ = г) . -от 9. Пусть функция У непрерывна на окружности у = (л б С: ~л~ = !). Доказать равенство / У(л) 4» = — ) ~~() 4», Г = (у, у ) г г !О. Пусть а Е С, а функция У вЂ” аналитическая в круге К = (» б С (л~ < !).
Доказать, что / 2»г»У(О), если ~а~ < 1, — 2лр (У(О) — У(-.')), если ~а! > 1. 11. Путем вычисления интеграла —,', / —; — — т-, Г = (7,7„), 7 = (л б С: Ф = 1) г доказать, что при О < а < ! У ш г Г» Р-з а» о 12. Вычислить интегРал ) — г-"! — *~ 4», Г = ('У, 'У„р), 7 = (л б С: (л! = 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
