Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 51
Текст из файла (страница 51)
3 ь= +ь Выберем Л > 0 из условия Кь С О, где К„= [х б С: )а — хо! < Л), рассмотрим чгх б Кь разность д(л) — $(ло) = д(л)-д . (*)+д,(л)-й . (ло)+$,(ло) — й(ло) = ~~ь уь+б . (л)-д . (го)+ 2 уь(ло) ь= .+ь Ьт +ь та ряд 2 )„(о равномерна сходится. м Полагаем чп б !и д = ~ (оь Так как ьир ((дь!! зцр ((гь — г„(! = О(!)а(!) = а(1) и ь=ь ь> ь> )гп > 2 д„-д„, = Чь„, то, согласно теореме 3, ряд 2,'д„(у„.„ь — у„) сходится равномерно.
КРоме того, (!У д !! гч (!г.(!(!д !! = а(1)0(!) = а(1). По теореме 2 ряд 2 У„(о„сходится равномерно, и ь Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость ряд 2,' ф„, если ф„(х) = ь ь„у(п б Я, х б (О, +со)). Воспользуемся признаком дирихле, обозначив ьг(п б Ы, х б (О, +оо)) 2„(х) = „—, (а„(х) = (-1)". Последовательность (/„(х)) является монотоьгиой чх б (О, +оо) и тем самым бимонотонной. Далее, !(1 (! = -„' = а(1), !2, уьь = 0(1).
Следовательно, выполнены все условия признака Дирихле, т. е. Ряд сходится равномерно. Пример 2, Доказать, что ряд 2 — ' сходится равномерно в интервале (-1, 0), а ряд 2 „! — * в этом же интервале сходится, но не равномерно. На рассматриваемом множестве ряд имеет вид 2 '( — 1)" — *„. Числовой ряд 2,' -':„) — сходится, а поскольку его члены не зависят от х, то эта сходимость равномерная. При каждом х б ( — 1, 0) последовательность ((х!") монотонная и ограниченная.
По признаку Абеля ряд 2 — '„сходится равномерно на интервале (-1, 0). Исследование ряда 2 ~ — *~ на равномерную сходимость на интервале ( — 1, О) равносильно исследованию ряда 2 — „на равномерную сходимость на интервале (О, !). Сумма ею п-остатка ь — 0 при п оо. Оценим ((г„— О(! = ((г„(!. Поскольку точка х„= ! — — приналлежнт интервалу (О, 1) ььп > 1 и ь„(х„) = (! — ь ) е ', то ((г„(! ь' 0 при п оо и ряд схолится неравномерно. Гл. 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки и оценим ее. Получим !Йг) — б(гьН < ~~' Уь(х) + ~~', Уь(хь) + Ф,(х) — 8 .(гьН < ь= ы ь= ч! 2 ) Уь + !э *(х) э,(хь)1< — е-Ь !о,(х) а,(гь)1.
3 ь = .!- ! Поскольку члены ряда являются непрерывными функциями в точке г,, то и их конечная сумма 5„, непрерывна в этой точке. Поэтому по заданному е > О найдется такое б > О, что из условия )! < б ггх 6 Кь выполняется неравенство !о„, (х) — Я„, (гь)! < -',. Объединяя полученные оценки, имеем: гге > О Вб > О такое, что )ь < б ~ 'чг 6 Кь !Я(г) — 6(гь)! < е, т.е.
сумма Я равномерно сходящегося функпиона!!ьно!о ряда является непрерывной функцией в точке гь. М Следствие. Если члены ряда 2, У„непрерывны в области !л и ряд сходится равномерно в !л, то его сумма б является непрерывной функцией в этой области. Теорема 2 (о почленном интегрировании равномерно сходящегося функциои ал он ого ряда) .
Пусть члены ряда 2, („ являются непрерывными функциями в области б С С, у С 6 — гладкая или кусочно-гладкая жордояово крива» и ряд сходится равномерно в О. Тогда его можно интегрировать почленно вдоль кривой Г = (т, Эьр) и при этом !<|о-г=)гг„(!!. г "=' г м Поскольку и — остаток равномерно сходящегося ряда равномерно сходится к нулю, то !уе > О Бп, 6 (!(: (гп > и, !!г„(! = !!Я вЂ” о„!! < е. По теореме 1 сумма ряда Я является непрерывной функцией в каждой точке кривой у, поэтому интеграл ~ 6(г) дх существует. Из оценки г се!.!-!.!*век )г!е!.!-!.!.г!ь!л )г!!.!!!! ! где 1 — длина кривой у, следует, что Я(г)дг — ~Я„(х)дх = / Я(г)дг — ~ / Уь(х)дх О при и оэ! т.е.
г г г ь=! г справедлива формула (1), В Теорема 3 (Вейерштрасса). Пусть (Уь) — последовательность функций, аналолшческих в некоторой области Р С С и ряд ~ У равномерно сходится но любом компактном подмножеапве этой области. Тогда: 1) сумма ряда У аналитическая в Р; 2) ряд можно почленно дифференцировать в колодой точке области Р сколько угодно раз; 3) все продифференцировпнные ряды равномерно сходятся на любом компактном подмножестве области Р М 1) Пусть хь 6 Р— любая точка.
Рассмотрим круг КГ т (х 6 С: !г — ль! < г) Са Р. Согласно условию теоремы ряд 2 , 'У„равномерно сходится в круге К„и по теореме 1 его сумма У являегся непрерывной функцией !ух 6 К,. Пусть дсе — положительно ориентированная граница треугольника С С К„. Поскольку рял 2 у„равномерно сходится на дб, то согласно теореме 2 его можно почленно юпегрировать: Т()д =~:/Т.()д.
во "='вс б 1. Ряд Тейлора 205 й! й! — — < ч-сю. 2я((з — г,)ьы 2ятью (2) Из равномерной сходимостн ряда,> У„ и условия (2) следует равномерная сходимость ряда й( ть У„(з) 2яо ~-~ (з — зо)ью Пусть У вЂ” равномерная сумма ряда 2 , 'У„. Так как ряд (3) можно гючленно интегрировать по кривой дК, и его сумма равна,о —,-~Я-;т, то У» .у-'~ У() 2т( У (т — зо)аю ~-~ 2ло / (о — зо)ью ак. ак„ (4) Принимая во внимание формулы для производных от интеграла Коши, имеем У (зо) = ~ У (зо). ю (5) Поскольку зо б Р— произвольная точка, то формула (5) справедлива Хгз Е Р, 3) Пусть К вЂ” произвольное компактное подмножество области Р и зо Е К вЂ” любая точка. Выберем число Ы > 0 так, чтобы выполнялось включение Кы = (з Е С: ~з — зо) < 2г() С Р.
Ряд У„сходится равномерно на окружности дКы = (з Е С: )х — зо~ = 2о(), т.е. ое > 0 Вп„б г'М: хг(п ) п„з б дКы) ~~' У (з) < о (6) (и-остаток ряда 2 , 'У„ равномерно сходится к нулю). Имеем Рз Е Км. Е У-(() Л. У- ( ) = 2,1 У ((,), (. ак и Пусть з б Ка = (з б С:!з — зо~ < г() и 6 Е дКы.
Сшеним и-остаток ряла 2 У'~'. Приняв во внимание, что ~( — з~ > д, а также неравенство (6), получим У(п ) п„б б дКы) оценку ,';У»< — ', гол й!4лг(е 2ййе 2то(ь г(ь ' (8) не зависяшую от з Е Ка. Следовательно, ряд 2, Уы' сходится равномерно в круге Ка, т. е. в некоторой окрестности точки яо. Поскольку любое компактное подмножеспю области Р согласно теореые Бореля — Лебега может быль покрыто конечным семейством окреспюстей, в каждой из которых по доказанному ряд 2; Угол сходится равномерно, то он сходится равномерно на таком множеспю.
м ч ~ яппх Пример. Показать, по ряд ~ — удовлетворяет условиям теоремы Вейерштрасса в обла- 2- 3- сти Р = (я б С: ) (та а) < 1п 3) и найти У'(0). По теореме Коши )гп б 2( ~ У„(з) г(х = О, вследствие чего ( У(з) Ых = О. Функция У удовлеас ас творяет условиям теоремы Морера (см. п.6.3, гл. 2), поэтому является аналитической в круге К„. В силу произвольности К„С Р приходим к выводу, что У Е А(Р). 2) Пусть зо ŠР— произвольная точка и К. = (з Е С: 1а — зо) < г) С Р.
Для кюкдой точки з б дК, и й Е (4 выполняется условие Гл. 5. Ряды аналитических фуикиий. Изолированные особые точки Очевидно, что згп б м У„6 А(2)), где Т„(х) = — "",."'. принимая во внимание равенство ! йп г~р = йп х+ зЬ у, при 1у( < Е!и 3, О < д < 1, получаем оценку 1У„(х)! < 3 "+ 3 "О " из которой по мажорантному признаку Вейершграсса следует равномерная сходимость ряда 2,' У„ в области 2). Сумма ряда у является аналитической функцией в области )3 и по доказанной теореме его можно почленно дифференцировать, т. е. ч ч~ пспзпа у(') =хь 3- и 3 У'(О) = ~~ Применим теперь теорему Вейерштрасса к рядам определенного вила. 1.6.
Степенные ряды. Рял 2 у„, где у„(х) = а„(г — хо)", и б Бо, а„б С, а„= сопзо, го б С, х б С, называешься степенным. Частичные суммы этого ряда являются гшгебраическими многочленами, и поэтому его сумму 2 а„(г — х,)" можно рассматривать как дальнейшее обобшение понятия много пена. =о Члены степенного ряда являются аналитическими функциями во всей плоскости С. При опрелеленни степенного ряда возникает вопрос, в какой области он сходится равномерно и, следовательно, по теореме Вейерштрасса определяет аналитическую функцию.
Каждый степенной ряд 2, а„(г — го)" облалает замечательным свойством: с ним связано число О < К < Еоо, называемое его радиусом гходимости. Зная это число, можно ответить на вопросы о поточечной, равномерной и нормальной сходимости, указать свойство его шенов (ограниченность, стремление к нулю). Наиболее простой задачей является наследование членов ряда а„(г — хо) Е- на ограниченность. Ее решение служит основой определения радиуса сходимости степенного ряда. Определение 1.
Радиусом сходимости степенного ряда (1) называетсл число Л = шр(г > О ~ а„г" = О(1)). (2) Поскольку (г > О ~ а„г" = 0(1)) ~т, то точная верхняя грань этого множества в Ж существует. Теорема К Пусть К > О и О < г < К. Тогда ряд (1) сходится нормально в круге К„= (х б С: ~г — о~ < г) ° м По определению точной верхней грани сушествует такое г,, что г < г1 Л а„г", = О(1). Пусть тг(г б К„, и б г() 1„(г) = а (з — хо)".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
