1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 39
Текст из файла (страница 39)
уен4<а> ( „,, о (1<1-1<г /х4=г 19.31. Пусть Я вЂ” квадрат (О < х1 < 1, О < хг < 1). Найти функцию, дающую минимум функционалу 4 (/гв 4 4'444 *,л,ы 44* 4/ „,4„,,44.,~ чЕЛ4 (./ е/ о в классе Функций н Е Н'Я), и/е;о = и)е;о = и)„=~ = О. 19.32. Пусть Ц вЂ” круг Ох! < 1), х = (х1, хг). Доказать, что для любой функции и е ЙЯ) справедливо неравенство йв~ф < — ЙбгадиОь . 19.33. Доказать, что для всех функций и Е С'(О < х1 < 1, О < < хг < 1), удовлетворяющих граничным условиям иЬе,=о = и!ее=о = О, и/е4=-1 — — хг, 14еэ=1 = х1, справедливо неравенство 11 о(8габ и) дх1 дхг );. оо Имеет ли место равенство для какой-нибудь из этих функцийу 19.34.
Доказать, что для всех функций н Е С1(~х~ < 1), х = = (х/, хг) имеет место неравенство 2 / хгхгн(х) д « — '+ (' (81 б,)г,Ь, И<1 ~е4<1 19.35. Доказатгч что для всех Функций и Е С1(~х~ < 1), х = = (хы хг, хз) имеет место неравенство ((8гЫ и) + и~ /Ь > — —,. !в~<1 Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций / В 19 Вариаиионные мегаоды 239 19.36. Показать, что для всех функций в е Сг((х~ < 1), хг = ф сов~р, хг = )х! вгпог„удовлетворягоших условию е(~е~ з — — вгпгг, где х = (хг, хг), справедливо неравенство [2(х) в + (бгабе) ] дх > — з.
~4<г Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций? 19.37. Доказать, что для всех функций и 6 С~(О < хз < 1, О < < хг < 1, О с хз < 1), х = (хз, хг, хз), удовлетворяющих граничным условиям и~и~=о — хгхз и!о~=о — хгхз и~же=о — хъхг ~4е,=з =хг+хз+хгхз> и~ее=г =хз+хз+хгхз, Ч з=г — хз + хг + хзхг, справедливо неравенство зш Щ~бг би('Вх,д„д з > '.
ооо Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функций? 19,38. Показать, что для всех функций в Е Сг((х~ < 1), х = = (хмхг,хз), хг = )х) сов~р вшВ, хг — — 1х( вгпог вшВ, хз = (х! совВ, удовлетворяющих условию еО ~ д — — совВ, справедливо неравенство / (2е+ (бгае1в)~] дх ) —. )е)<г Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций? 19.39.
Пусть Я вЂ” квадрат (О < хг < 1, 0 С хг < Ц. Доказать, что для любой функции в Е Н'(Я), удовлетворяющей условию в?ггяхг в1пя.хгв(х) г?х = О, справедливо неравенство аг с 1 о ~ ог 19.40. Пусть Я вЂ” куб (О < хг < 1, О < хг < 1, 0 < хо < Ц.
Дока- зать, что для любой функции в Е Нз Я), удовлетворяющей условию вшяхз вшяхг вгп яхве(х) г(х = О, Я спРаведливо неРавенство ((в((?„< —, ((Зги вПа. 19 41. Пусть С вЂ” куб (О < хг < я, О < хг < я, 0 < хз < т). Среди функций и б Н'Я), принимающих граничные значения 240 Гл. 1с. Краевые задачи длв уравнений эллиптичесноео саина и~х,=о = и~хе=о = и!хх=е = Чх.=л = Мхе=в = 0~ найти ту, которая дает минимум функционалу хо Е(и) = ~(йгас)и) с1х+ О вшхс в1пхги(хмхг,я) с1х1 йхг. Я ао 19,42.
Пусть сд -- шаровой слой 11 < Ц < 2), х = (хмхг,хз). Среди функций и 6 Н (Ц), принимаюших граничные значения и) ~,~ г —— О, найти ту, которая дает минимум функционалу Е(гс) = ~ [(8гас1и)г+ 2и~ сх+ / ивсе сз )х) — — с Ответы к 819 19.20. — 1+ — сЬ ~х — -). 2гУе С 11 в+1 2 19.21. Да, для — — — (х+ 1). 6 9 19.22. — х. + —. в+1 г 2 19.23. — —. 8 19.24. — —.
64 19.26. 144т~й з. 1 19.26. 16з ~, Й з. 1 19.2с. а) Нет; б) нет; в) да. 19.30. (51 — 94 1и 2). 2(1+ 1п4) в1п хс сЬ хг 19.31. — вшхг в1пхг — 2 19.33. Да. ~х~ — 1 19.35. Да„для функции 12 г — 1 19.36. Да, для гв1п у+ —. 16 19.3Т. Да, лля хгхг + хг хз + хгхз. — 1 г 19.38. Да, для г сов 0 + —. 19.41. — вспхг вшхгвЬ (Лхз). чГ2сЬ ~~!2х) 19.42. — + — — —. ~а~~ 5 17 6 9!х! 18 Глава Ъ1 СМЕШАННАЯ ЗАПАЧА З 20. Метод разделения переменных при начальных условиях оп=о = ио(х), — = иг(х) до! д1 ю=о (2) и граничных условиях и! — о=О, и) -~=0. (8) Будем сначала искать частные решения уравнения (1), не равные тождественно нулю и удовлетворяющие условиям (3), в виде и(х, 1) = Х(х) Т(1).
(4) Подставляя (4) в (1), приходим к уравнениям Т" (1) + а ЛТ(1) = О, (8) Х"(х) + ЛХ(х) = О, (6) где Л = сопз1, причем для получения нетривиальных (не ровнь1х тождественно нулю) решений вида (4) необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие условиям Х(0)=0, Х(1) =О. (7) Мы приходим к задаче Штурма — Лиувилля (6), (7) (см. с. 184). Собственными значениями этой задачи являются числа Л,= ф (й=12,...) (и только они), этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции Г2 .
яях Хь(х) = ~( — э1п —. Ч1 1 При Л = Ль уравнение (5) имеет общее решение 1. Ъ равнения гиперболического типа. Изложим кратко существо метода Фурье или метода разделения переменных, рассматривая задачу о колебаниях струны, закрепленной на концах. Эта задача сводится к решению уравнения ди здко — =а— д1з дхз (1) Гл.
И. Смеиганиал задача благ . благ Ть Я = аь сов — + 6в яп —, поэтому функция /слег . плавт . 6лх иь(х,г) =Хе(х)Ть(1) = (овсов — + Ьг,в1п — ) вш Ю 1 .г удовлетворяет уравненюо (1) и граничным условиям (3) при любых ав и Ьы Решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), ищем в виде ряда благ, Йггазх .
злх и(х,г) = ~~г (аьсси — +6ьяп — ) вгп —. 1) (8) в=г Если этот ряд сходится равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать, то сумма ряда будет удовлетворять уравнению (1) и граничным условиям (3). Определяя постоянные ав и 6ь так, чтобы сумма ряда (8) удовле- творяла и начальным условиям (2), приходим к равенствам йлх ио(х) = ~ азвш э=1 иг(х) = ~~г — 6ьяп —; йла . Йлх 1 (10) в=г формулы (9), (10) дают разложение функпий ис(х) и иг(х) в ряд Фурье по синусам в интервале (0,1). Коэффициенты этих разгюжений вычисляются по известным формулам 2 Г . Йах аь = — ( ис(х) вгп — г(х, -1.( (9) В задачах 20.1, 20.2 нужно найти с помощью метена Фурье колебания струны, предполагая, что внешние силы отсутствуют.
20.1. Решить задачу о колебании струны 0 < х < 1 с закрепленными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение иа имеет форму: лих 1) синусоиды иа(х) = Аяп — (и целое); 2) параболы, осью симметрии которой служит прямая х = —, а 2' вершиной — точка М ~-, Ь); 3) ломаной ОАВ, где 0(0, 0), А(с, Ь), В(1, 0), 0 < с < й Рассмотреть случай с = —.
2 20.2. Решить задачу о колебании струны 0 < х < 1 с закрепленными концами, если в начальном положении струна находится в покое (ио = О), а начальная скорость иг задается формулой: 243 З 20. Метод разделение переменных Задача о нахождении вынужденных колебаний однородной струны 0 < х < (, жестко закрепленной на концах, под действием внешней силы с плотностью р приводится к решению уравнения — = а — +д(х,е) нги гби дгг дхг (11) (д = р/р, где р - линейная плотность струны) при граничных условиях (3) и начальных условиях (2).
Решение задачи (11), (2), (3) ишут в виде суммы и=и+%, где о — решение неоднородного уравнения (11), удовлетворяющее граничным условиям (3) и нулевым начальным условия ф =о, о[г=о — — О, 1) иг(х) = ио = сопз1, х й [О, 1]; (оо, если х б [а,(3], 2) иг(х) = ( где О<а<(1<1; ( О, если х е [а,(3], л(х — хо) ( Ассе, если х Е [хо — а, хо + а], 3) иг(х) = 2а О, если х 6 [хо — а,хо+а], где 0 < хо — а < хо+а <1. Уравнение (1) описывает свободные продольные колебания стерж- ня. В задачах 20.3, 20А требуется найти продольные колебания стержня, применяя метод разделения переменных.
20.3. Решить задачу о продольных колебаниях однородного стержня при произвольных начальных данных в каждом из сле- дующих случаев: 1) один конец стержня (х = 0) жестко закреплен, а другой конец (х = 1) свободен; 2) оба конца стержня свободны; 3) спин конец стержня (х = 1) закреплен упруго, а другой конец (х = 0) свободен. 20.4. Найти продольные колебания стержня, если один его конец (х = 0) жестко закреплен, а к другому концу (х = 1) приложена сила Р (в момент времени 1 = 0 сила перестает действовать). 20.5.
Найти силу тока г(х, 1) в проводе длины (, по которому течет переменный ток, если утечка тока отсутствует и омическим сопро- тивлением можно пренебречь. Предполагается, что начальный ток в проводе (при Ф = 0) равен нулю, а начальное напряжение задается пх формулой и[е=-о = Ео зш —. Левый конец провода (х = 0) изолирован, а правый конец (х = 1) заземлен. 244 Гж Ъ'й Сететаамаая задача а зо есть решение однородного уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (3) и начальным условиям (2). Решение е представляет вынужденные колебания струны (эти колебания совершаются под действием внешней возмущающей силы при отсутствии начальных возмущений), а решение та представляет свободные колебания струны (они обусловлены начальными возмущениями) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
