1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Найти логарифмический потенциал простого слоя для гжружности радиуса В со следующими плотностями: 1) р=ра=сопзФ; 2) 8=сов гр, В=2. 18.24. Найти логарифмический потенциал двойного слоя для окружности радиуса В со следующими плотностями: 1) гг = сопзФ; 2) гг = вшгр. 18.25. Найти логарифмический потенциал простого слоя для отрезка — а < х < а, у = 0 со следующими плотностями: 1) д= сопев; 2) д= — ро, — а<я<0, и 8=да 0<я<а; 3) р=х. 18.26. Найти логарифмический потенциал двойного слоя для отрезка — а < х < а, у = 0 со следующими плотностями: 1) о = сопзФ; 2) о= — ггаг — а<я<0, и о=ос, 0<я<а; 3) о = х; 4) о = хз.
Пусть р(х) — финитная обобщенная функции. Свертки 1' = — 4яд'*р и 1г = — 4яезе р, где е* гцм — е — гц ! — бз =— 4гг)х)' 4я)х( — фундаментальные решения оператора Гельмгольца гз + йз в Яз, являются аналогами ньютонова потенциала. Потенциалы гг и гг удовлетворяют уравнениго Гельмгольца г."зи + кзи = — 4ггр. Так же определяются аналоги гютенциалов простого и двойного слоев. То жс для оператора г,"з — кз.
Здесь аналогом ньютонова потенциае -ЦЦ ла является 1г, = — 4яР, е р, где Р, = — — — фундаментальное 4кзх) решение оператора гл — й~ в В~. 18.2г. Пусть р — - абсолютно интегрируемая функщгя и р(х) = О, х б Сг = Я~'11 г. Показать: 1) КР н 1г; выряжаются формулами З 1В. Метод погааниггалаа (9) е (у) Ра(Х) = ~ , „, р(р)Ф; с 2) )г, Р и Ъ; С Сг(ггз) г) С' (Сг) удовлетворяют в области Сг однородным уравнениям г)ги+ й~и = О и Ьи — гали = О соответственно; 3) )г и 17 удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда и(х) = С ()х/ ), ~гни(х) = о(!х/ ), ОИ ' (8) Ц вЂ” + оа и Ъ'а(х) — + О, ф — + оо. 18.28.
Лля оператора Ь + хз вычислить потенциал гг для шара ф < В со следующими плотностями: 1) р= р((х~) ЕС(Р ); 2) р= ро = гопзФ; 3) р=е )'~. 18.29. Лля оператора Ь+ яз вычислить потенциал )г для сфери- ческого слоя Лг < (х~ < йз с постояннои плотностью ро. 18.30. 1) Лля оператора гз + газ вычислить потенциал простого слоя Кго), распределенного с постоянной плотностью ро на сфере; 2) для оператора Ь+ ггз вычислить потенциал двойного слоя Ъ'гг), распределенного с постоянной плотностью гго на сфере.
18.31. Лля оператора Ь вЂ” йз вычислить потенциал )г„для шара т < Л со следующими плотностями: 1) р=р(ф) Е С(ОД; 2) р= ро = сопзг; 3) р= е ~*). 18.32. 1) Лля оператора Ь вЂ” )г~ вычислить потенциал простого слоя Ъ'а, распределенного с постоянной плотностью ро на сфере; го) Р) 2) для оператора Ь вЂ” Йз вычислить потенциал двойного слоя К~ ), распределенного с постоянной плотностью ио на сфере. 18.33. 1) Предполагая границу Я области С С Лз поверхностью Ляпунова, доказать„что — 4я, хе С, г'з (х)=/ ' *",Нзя= — 2я, хЕЯ, где угол гр,„определен в начале параграфа; 2) предполагая границу Я области С С ЕР кривой Ляпунова„ доказать, что — 2я, хеС, (х) = / ' *" г)зя —— —.г, х Е Я, (9г) О хб пзгС 18.34.
Локазатгл 1) подстановка и — о + )го~ Где р;()= — ',( г(") ар, *~я', 4гг у (х — у( с 220 Гл. 1т. Краевые задачи для уравнения зллннтаачеенеео тана сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуассона Ьи = = — 1 к соответствующим внутренним краевым задачам для уравнения Лапласа, если 1 Е С~ (С) П С(С); 2) то же справедливо и для внешних задач при дополнительном условии, что 1 — финитноя функция. 18.35. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга. 18.36. Найти стационарное распределение температуры внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса В при условии, что на границе поддерживается следующая температура ио.
1) ио = сопвс; 2) ио = ойле; 3) ио = сов~р; 4) ио — — С = сопв$ при — — < ~~ < —, и ио = О при — < гр < —. 2 2' 2 2 18.37. Найти стационарное распределение температуры внутри неограниченного круглого цилиндра О < т < Н при условии, что в цилиндре выделяется тепло с плотностью 1(т, ~р) и на границе т = В подцеРживаетсЯ темпеРатУРа ио (В, 1о) длЯ следУющих 1 и ио: 1) У=Ус — — сопев, ио — — О; 2) ~ = т, ио = 0; 3) У = ', 4) ~=е ", ио =в1пр1 5) 1 = вшт, и~, —— совЩ 6) 1 = в1п1з, ио — — сйп(~Р+ — ); 7) 1" = сов ~Р, ио —— сов(<Р— — 1.
4/ 18.38. С помощью потенциала простого слоя решить задачу Неймана для уравнения Лапласа внутри и вне круга. 18.39. Найти плотность диффундирующего вещества при стационарном процессе У(т,1а,я) внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса В при условии, что источники вещества отсутствуют и коэффициент диффузии Ю = сопвс, а на границе поддерживается заданный поток диффузии из для следующих и| ..
1) из — — сопев; 2) из — — в1п1р; 3) из =ссе1з. 18.40. Найти стационарное распределение температуры внутри неограниченного круглого цилиндра радиуса В при условии, что в цилиндре выделяется тепло с плотностью 1(т, д) и на границе поддерживается заданный поток тепла и, (В, 1о) для следующих 1 и и,: оц 1оВ. ~з 2) г" = т, и, = — —, коэффициент теплопроводности к = 1; 3) У 1 1(1+Я) й 1 1+с" ' 11 4) ~=в1п1з, и, =тйп1р, к=1; 5) 1 =сов~р, и, =совср, й = 1.
18.41. С помощью потенциалов простого и двойного слоя найти стационарную температуру точек полуплоскости у ) О, если: З 1В. Метод вотиенциаяов 221 1) на границе р = 0 поддерживается заданная температура не(я); 2) на р = 0 поддерживается заданный поток тепла, т.е. ф/,=. (*) Источников тепла нет. 18.42. Найти распределение потенциала электростатического поля внутри двугранного угла при условии, что его граница заряжена до потенциала 7~ = сопзФ для следующих случаев: 1) я ) О, у ) О, -со < я < оо; 2) О < ~Р < р>, де < -, 0 < г < оо.
18.43. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Лирихле для уравнения Лапласа внутри и вне шара ~к~ < Л. 18.44. Найти стационарное распределение температуры в шаре г < Н при условии, что в шаре выделяется тепло с плотностью у и на границе г = Н поддерживается температура ие для следующих у и ио '. 1) у=уе=сопзС, и =0; 2) У=г, по =0! 3) У= з/г, и,, = — Нз~з, я=1. 2 7 18.45. Доказать, что решение внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа для шара г < й определяется формулой У(г,В,д) = — й ( и(Р,В,~Р) 4р о где и — интеграл Пуассона для шара, т.е.
зя я п(Р Вм) по(п Вз Р~) ., я зшВ~'ЙЬзАо~ о а где у — угол между радиусами-векторами точек (р, В, д) и (В„Вз, ~рз) дУ ~ и по =, = п~я=л. дм 1;=н У к аз ание. Доказать, что если и(Р,В,<Р), и(0) = 0 — гармоническая функция в области, содержащей начало координат, то и функция И(г„В, у) = — К ~ и(Р, В, у) — является гармонической.
Далее вос- 4Р пользоваться условием разрешимости задачи, а именно / ие ИЯ = О. г=н 18.46. Локазать, что решение внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа для шара определяется формулой г П(т,В,у) = Н ~и(Р,В,Зз) — Р, Р где и(р, В, у) — решение внешней задачи Дирихле для шара, т. е.
222 Гл. л'. Краевые задачи длл уравнение эллипепичеенозо шопа Краевые задачи для уравнений Гельмгольца Ьи + йзо = — 1(х) и Гхо — йзо = — Дх) в пространстве ставятся так же, как и для уравнения Пуассона. При этом решения внешних задач на бесконечности должны удовлетворять условию излучения (см. формулу (8)) для уравнения Гло+ 142О = — у И Обращаться в нуль для 2ли — йзо = — у. 18.50. Решить задачу Лирихле для уравнения Ьо + лзо внутри и вне сферы Ц = А при условии о)),) — н — — а. 18.51.
Решить задачу Неймана для уравнения 1ло + йхо до ~ внутри и вне сферы )т~ = В при условии — ~ = а. дп ц ~=н 18.52. Решить задачу Ьо+ Ь о = —,)(х), о)~ ) — н = о (к) внутри сферы )х( = В для следующих Х и о,,: 1) 1'= уо — — сопзг, ое, — — О, й = Ге лл 1; 2) у 1 — /Д 51 — л/4) 1 1 ) гэ 18.53. Решить задачу Лирихле для уравнения Ьо — 142и внутри и вне сферы )х) = гс при условии о(ц л = а. 18.54. Решить задачу Лирихле для уравнения Ьо — кзо внутри и вне сферы )х! = В при условии о)) .) н = о соя О, О < 0 18-55.
Решить задачу Неймана для уравнения Ьо — йзи до ~ внутри и вне сферы (х) = В при условии — ~ = и. дп1)л)=я = О < к. зл л о(Р,0,1р) = — ое (41,01,)а1) 2 Вп101о01ееуэ1, о о оо = ~ ='4о-н. ои) М Указание. См. указание к задаче 18.45. 18.47. Решить внутреннюю и внешнюю задачи Неймана для г < В для и1, — — ие —— а = сопзе. + 18.48. С помощью поверхностных потенциалов решить задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа для полупространства хз >О. 18.49. Найти и(х1,кз,хз) — плотность диффундирующего вещест- ва при стационарном процессе при условии, что источники вещест- ва отсутствуют и коэффициент диффузии В = сопее для следующих областей С и граничных условий о(з1 1) хз > О, и)„=о — оо — сопзС, 1 — 1, х1<О, 2) *, > О, (+1, хг >О; 3) хз, хз > О, — оо < х1 < со, о)я = оо = солей Г 1В. 7и7евиод вотпелчиолоо 223 18.56.
Решить задачу 1н — й'и = -Х(х), нЬ~=н = н,-(х) внутри сферы Ц = В для следующих у и иг, . 1) у=ус — — сопзс, по =О, 7г = В = 1; 2) 7=1, по — — 1 — 2е зй1, Й= й=1. 18.57. Найти стационарное распределение концентрации неустойчивого газа внутри бесконечного цилиндра радиуса В, если на поверхности цилиндра поддерживается постоянная концентрация по.
Ответы к 318 18.3. Р е ш е н и е. В силу формулы (7) из 3 8 и определения простого слоя из 3 б (ти ',и) = (и, иииии Ги) иГиииииии~) = ,(рЫ зЬ)лЫ р(с р)) =Г';и,(~иииииГи-';и)ии)ии=)() ~,"" ~ии)иь)и' ни 5 ли я 18.5. 1) В силу формулы (5): 4кй, Ц < В; 4яВз/)х), )х( > 71; 2) — 2л1пй, Ц < В; — 2к1п)х(, )х! > Я. 18.6. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (3) и ввести сферические координаты. Д И Я 1) — 1р(т)тзг)т, Ц>Й; — / р(т)тзг)т+4я/ р(т)тг1т, Ц>В; 2) ', (х) > В; 2яВзро — — ящере, )х) < й; 4я71з з 2 3)х) ' ' 3 774 3) ™, )х) > В; — (4Вз — )х)з)> )х) < В; 4) 4™, Ц>В; х~тге — — )и Я<В; 3 77и7з 5) 3™ , Ц > Я; — (7Вз7з — 2(х)з7з) (х( < В; 7Ц ' ' 35 б) — 12 — е л(2+2В+Яз)|и /х/ > В; Й )х! 7) — (Л вЂ” агссб В) и 1х) > Й; 4я 1 — ' + 1п,, Ц < В; ф ' ' 1 !х/ 7 1+/х!з/' 224 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
