1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320)
Текст из файла
УДК 517 ББК 22.16 С23 Авторы: В. С. ВЛАДИМИРОВ, А. А. ВАШАРИН, Х. Х. КАРИМОВА, В. П. МИХАЙЛОВ, Ю. В. СИДОРОВ, М. И. ШАБУНИН Сборник задач по уравнениям математической физики. / Под ред. В. С. Владимирова. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТПИТ„2001.— 288 с. — 18ВН 5-9221-0072-6. Сборник задач, составленный коллективом преподавателей Московского физико-технического института, базируется на обновленных курсах уравнений математической физики, читаемых в МФТИ в течение многих лет.
В отличие от имеющихся задачниксе по уравнениям математической физики, в данном сборнике широко представлены задачи, в которых используется теория обобщенных функций и методы функционального анализа. В настоящее издание внесены уточнения и исправления. Второе издание . — 1982 г. Для студентов физико-математических и инженерно-физичесяих специальностей вузов. Ил. 4. Виблиогр.
8 назв. 1ВВХ 5-9221-0072-6 Ос ФИЗМАТПИТ, 2001 СОЛЕРЖАНИЕ Предисловие к третьему изданиго Из предисловия к первому иэделию .. Основные определения и обозначения. Г л а в а 1. Постановки краевых задач матемнтичесюзй физики . 3 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач ............ 3 2.
Классификация уравнений второго порядка................ Г л а в а П. Функциональные пространства н интегральные уравнения.. 53. Измеримые функции, интеграл Лебега..................... 3 4. Функциональные пространства............................. 'з 5.
Интегральные уравнения. Г л а в а 1П. Обобгпенные функции 3 6. Основные и обобщенные функции.......................... 5 7. Лифференцирование обобгценных функций................. 58. Прямое произведение и свертка обобщенных функций..... 59. Преобразование Фурье обобщенных функпий медленного роста . 3 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций ............ 511.
Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов . Глав а 1Ъ'. Задача Коши 512. Задача Коши для уравнения второго порядка гиперболического типа . 5 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности............ 5 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса ......
Глава Ъ'. Краевые задачи для уравнений эллиптического тигса . '3 15. Задача Штурма — Лиувипля. 3 16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона. 3 17. Функция Грина оператора Лапласа......................... 3 18. Метод потенциалов. 3 19. Вариационные методы Г л а в а Ч1. Смешанная задача. 5 20.
Метод разделения переменных............................. 3 21. Лругие методы . Л о п о л н е н и е. Примеры решений некоторых типовых задач. Список литературы. 9 9 33 39 39 46 66 89 89 95 104 114 122 126 134 134 159 170 183 184 193 207 213 232 241 241 271 279 287 пркдисловик к т1 ктькму издлнию Третье издание сборника задач по уравнениям математической физики не отличается от второго (1982 г.) по содержанию. Авторы лишь исправили отдельные неточности в формулировках задач и устранили опечатки. Во втором издании было добавлено неболыпое число задач (в основном в главу Н1) к первому изданию сборника (1974 г.).
Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики Московского физико-технического института за конструктивную критику, за предложения и замечания, которые способствовалн улучшению сборника н позволили устранить неточности и ошибки в ответах. В первую очередь, авторы признательны Т.Ф. Волкову, Ю.Н. Лрожжинову, А.Л. Кутасову, В.В. Лидскому, А. Ф. Никифорову, В.И. Чехлову. Авторы Январь 2001 г. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Широкое проникновение современных математических методов в теоретическую и математическую физику потребовало пересмотра традиционного курса «Уравнения математической физики».
Это в первую очередь относится к такому фундаментальному понятию, как решение краевой задачи математической физики. Концепция обобщенного решения значительно расширяет круг рассматриваемых задач, позволяет изучать с единой точки зрения наиболее интересные задачи, не поддающиеся решению классическими методами. С этой целью на кафедре лыс~лей математики Московского физико-технического института были созданы новые курсы: «Уравнения математической физики» В.С. Владимирова и «Уравнения в частных произнодныхз В.
П. Михайлова. Настоящий «Сборник задач по уравнениям математической физики» основан на этих курсах и существенно дополняет их. Помимо классических краевых задач в сборник включено большое число краевых задач, имеющих только обобщенные решения. Исследование таких задач требует привлечения методов и результатов из различных областей современного анализа.
Поэтому в сборник включены задачи по теории интегрирования по Лебегу, по функциональным пространствам, в особенности пространствам обобщенно дифференцируемых функций, по обобщенным функциям, включая преобразования Фурье и Лапласа, и по интегральным уравнениям. Этот сборник рассчитан на студентов вузов -- математиков, физиков и инженерон с повьппенной математической подготовкой. 1974 г.
Аашоры ОСНОВНЫКОВОЗНЛЧКНИЯИ ОПРКДКЛКНИЯ 1. х = (хыхз,...,х„), р = (И,рз,...,р„) — точки п-мерного вещественного евклидова пространства Л". 2. ~Ь = дх,дхз...с1х„, ~ 1(х) дх = ~ Дхы хг -,х ) с1хм ..с1х„. Я 3. а = (ам оз,..., а„) — мультииндекс (ау > 0 целые); а'=а~о' а' х =х'х' х" 4. (х, р) = х1р1 + хзрз + ... + хпдл,' ° =и= %4 =-~Я+*~+- ~*.'. 5.
У(хе,.Л) = (х:)х — хе! < Л) - открытый шар с центром в точ- ке хе радиуса Л; Я(хе, .Л) = (х: )х — хо! = Л1 — сфера Вн = У(О; Л) Ял = Я(0, Л). 6. Множество А будем называть слцюго лехсаелси в области С С Л" и писать А С С, если А ограничено и А С С. 7. Функция Дх) называется локально ннтеерируемей в области С, если она абсолютно интегрируема по каждой подобласти С' с С. Функции, локально интегрируемые в Л", будем называть локально интлегрирремыми функциями.
Вау( ) д 1(хохм...,х ) ! ! дх1'дх ' .дх„"" 9. Сг(С) клаас функций (, непрерывных вместе с производными Р'"у", (а( < р (О < р < оа), в области С с Л". Функции )' Е С"(С), у которых все производные В 1, Ц < р, допускают непрерывное продолжение на замыкание С, образуют класс С" (С); С(С) = С" (С), С(С) = Се(С); функции ~ Е Ся(С) при всех р образуют класс С~(С).
10. Равномерная сходимость последовательности функций (Д) к функции ( на множестве А обозначается хея ,(ь(х)::1 ~(х), й — з со. 11. А 0 В -- объединение множеств А и В; А й  — пересече- ние А и В; А и  — прямое произведение А и В (множество пар (и, Ь) (а Е А, Ь Е В)); А~ — дополнение В до А. Основные обовначенив и определение 12. Носителем непрерывной функции >" (х) называется замыкание множества тех точек х, в которых у"(х) ф О. Носитель функции 1 обозначается вирру.
Если измеримая на области С функция Дх) об- ращается в нуль почти всюду в С/С', где 6" Со С, то 1 называется финитной в С функцией; функция, финитная в Л", называется фи- нитной. дз дв дг д 13. ез = — + †, +...+ — — оператор Лапласа; П„= — — азе1— дх', дхе~ " дхв, дР д волновой оператор; П1 = П; — — а Ь вЂ” — оператор теплопроводности. 14. Г+ = (х, Ф: аФ > >х>) — конус будущего. 4 15. Ф(~) = — / е "~~еЬ. еС,е 'Д' ~*>>, >х~<с, 10.
ео,(х) = ~ где С, = е "", О, ~4>е 1 = / е 'Н' в >ах; ш, — ядро усреднения, «щапочкаэ. о 17. С вЂ” плоскость комплексного переменного. (1, х>0, 13. д(х) — функция Хевисайда: д(х) = ~ (О, х<0, 2в.чт 19. он = / еЬ = — площадь поверхности единичной сфеЬт ры Яз в Я". 20. В С"(6) введена норма ~л..,;,= Е ° . ~ л*)~- ~й ход 21.
Совокупность (измеримых) функций Дх), для которых >ЯР интегрируема на С, обозначается через Ьр(С). Норма в Хр(С) вво- дится так: >г/Р ии,,в = ~> й'ь~, ~ в р >~Де <о> = ига> вор>у(х)/, р= со. В Ьз(С) вводится скалярное произведение (Л р) = ( .>'У йх, Л у б Лз(С). 22. Нусть р(х) — непрерывная положительная функция в облас- ти С. Совокупность (измеримых) функций Дх), для которых функция Освоение о6означения и определения 23. Цилиндрические функции: а) функции Бесселя 1)» 7, гь+ ° ' "(х) = Е Г(й+ + Ц Г(й+ Ц ~~г 7' я=о б) функции Неймана №(х) =, (7„(х) совки —,7,(х)], и ~ н, 1 ~ (а.ц ) „ау „(х)1 в) функции Ханкеля НР~(х) =,7„(х) + з№(х), Н<~~(х) =.7„(х) — з№(х); г) функции мнимого аргумента 7„(х) = е "7~,7„(зх), -оо < х < со; 2 р(х)17(х)~з интегрируема на С, обозначим через Ез,р(С); 7з,р(С)— гильбертово пространство со скалярным лроизведенйем Д, р) ь. (с ) = / Идах.
Глава 1 ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ й 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач Условимся в следующих обозначениях: р(х) = р — плотность (линейная, поверхностная, объемная); Те — натяжение струны, мембраны; Š— модуль Юнга; й — — коэффициент упругости упругого закрепления концов струны, стержня или края мембраны; Я вЂ” площадь поперечного сечения стержня, вала и т.д.; у = с„/ся — показатель едиабаты; р,ре - давление газа, жидкости; пз, гло — масса; д — ускорение силы тяжести; ю — угловая скорость; к,й(и),к(т,,и) — коэффициент внутренней теплопроводности; н — коэффициент внешней теплопроводности (коэффициент теплообмена); П вЂ” коэффициент диффузии.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
