1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Будем считать, что мембрана не сильно изогнута, так что в рассуждениях будем пренебрегать членами и4,,вв, Кро- ме того, будем считать, что точки мембраны под действием вйешней силы перемещаются только по перпендикулярам к плоскости (хы хз), и, следовательно, координаты (хм хз) произвольной точки мембраны при этом не меняются. Работа внешней силы, вызвавшей перемещение мембраны из пер- воначального положения (и = О, х б С) в положение, задаваемое урав- нением и = и(х), х 6 С, равна ( 1(х) и(х) с1х. С Изменение площади мембраны при этом перемещении равно )(ОЧ+о т.
-~)н С а работа внутренних сил упругости равна -с) ( Д с и -~,:: — 1) а = -с 1 ь* с,Рг ~ » . С С Следовательно, сумма всех работ равна А(и) = / [ — — (и, + и,) + 1 и~ Йт. (1) С Вариация функционала (1) выражается формулой З 1.
Вывод уЬзавнений и нопионовни нтьаевыз задач ~А(-) = ~ Г-Т(в.,~-., -.,б-.,)+Хб.1 д*- О Согласно принципу возможных перемещений в положении равновесия бА(и) = О при всех допустимььх оьь(х). Так как (и,би, +ив,би )еЬ = ~ — диьа' — / ьзидидх, Г ди О Ь где и — вектор внешней нормали к контуру Е, то ььА(и) = — Т ~ — би ей'+ / (Тьзи+ у) би йх = О. (2) дзь Ь О Так как любая непрерывно дифференцируемая в 0 функция, равная нулю на границе, является допустимой функцией, то, предполагая функции и(х) и Дх) достаточно гладкими, из (2) имеем Тьоьь = — Дх), я б С. (3) Краевые условия. а) Закрепленная мембрана.
Если край мембраны жестко закреплен, то отклонения точек мембраны на границе Ь не происходит и, следовательно, и(ь = О. б) Края мембраны свободны, т.е. они могут свободно перемещаться по вертикальной боковой поверхности цилиндра с основанием Ь. В этом случае ои будет произвольной как в С, так и на Ь, и из ди! условия (2) получаем —, ~ = О. дн ь в) Если к краю мембраны приложена сила с линейной плотностью уь „то криволинейный интеграл в формуле (2) в этом случае заменится на 1(-'Й )"-' ь ди и вследствие произвольности би на Ь получим ( — Т вЂ” + уь1ь = О.
г) В случае упругого закрепления края мембраны сила, действующая на краю, имеет плотность — Йи, где й характеризует жесткость закрепления мембраны. Яля получения граничного условия д нужно в граничном условии ( — Т вЂ” + ~ь ьь = О заменить уь на -аи. Тогда получим ( ди 'ьь й — +Ьи~~ =О, где 6= —. да еь ь Т Выведем уравнение движения мембраны.
Пусть и = и(я, в) — уравнение, описывающее положение мембраны в момент времени й Согласно принципу даламбера функция и(т, ь) удовлетворяет дифференциальному уравнению Тгаи = — (у — ьоиьь) (у = у(х, ь) — плотность внешней среды, — р(я) иее —.. плотность силы инерции). Таким образом, уравнение колебаний мембраны имеет вид 16 Гт 1 Постаноеки краевых задач математической я»иэкки а Йи — и», —— г'(х, 4), где аз = Т)р, г' = — »'(х, »)/р.
(4) Из физических соображений ясно, что для однозначного описания процесса колебаний, кроме уравнения (4) и условия на границе»' (одного из условий а) — г)), нужно задать начальное положение (форму мембраны при 1 = О) и начальные скорости точек мембраны. Таким образом, имеем для уравнения (4) задачу: найти дважды непрерывно дифференцируемое решение и(х,»), х 6 С, 1 > О, непрерывно дифференцируемое в С при г > О, удовлетворякяцее и'»~н — »»н = р(х»С), ~4=-е = »р(х), п»И=о = ф(х), где»р(х), »)»(х) — заданные функции. Кроме того, в зависимости от условий на краю мембраны, функция и(х,») должна удовлетворять одному из условий в)-г).
Пример 4. Уравнение неразрывности. Задача обтекания. Уравнение акустики. Рассмотримдвижение идеальной жидкости (газа), т. е. жидкости, в которой отсутствуют силы вязкости*1. Пусть е = (е», из, ез) — вектор скорости движения жидкости, р(х, 1) — ее плотность, Дх,г) — интенсивность источников.
Выделим в жидкости некоторый объем й, ограниченный поверхностью Я. Тогда изменение массы жидкости внутри П в единицу времени равно — / р дх = / — дх. й й С другой стороны, зто изменение должно равняться прирашению количества О» жидкости, выделенной источниками, минус количество СГз жидкости, вытекающее через поверхность Я. Очевидно, 9з -- ~р(е»з) дз = ~б»ч(р ) (х, »д» — — / Дх, ») Нх, й 5 й где»з -- внешняя нормаль.
Таким образом, имеем ~(р»+ йч(р е) — Ддх = О. й Вследствие произвольности»» и непрерывности подынтегрального выражения необходимо »Движение жидкости рассматривается в эйлеровых координатах. у» + Йч (р . и) = » (х, $). Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости. Рассмотрим задачу еб обтекании твердого тела П с границей Я потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имею»цей заданную скорость ее на бесконечности при отсутствии источников. Так как р = со»»зФ и у = О, то зта задача приводится к решению уравнения З В Вывод уравнений и ноонзоновни нроввьлх задач 17 (2) йни= О при условии и„(я=О, где и = (и,гл), гл — внешняя нормаль. Пусть и — потенциал скоростей, т.
е. и = лгал) и. Тогда уравнение (2) принимает вид йнкгаг1 и = ди ~ = лаи = О, а граничным условием становится — = О, так как дл ~н и„= (и„гг) = (йгаг1и,гг) = —. дгг Из физических соображений япго, что и(х) должна стремиться к ио при (х( — > оо, где ио — скорость потока на бесконечности.
Таким образом, указанная задача свелась к решению задачи Ьгл=О, хкй, ди ~ — = О, 11ш кгЫи = гло. дгг!5 щ — лоо У р а в пения акустики. Предположим, что нахоцяшийся в некотором объеме идеальный газ под действием внешних сил с плотностью Р(х, 1) совершает малые колебания около положения равновесия и что движение газа адиабатическое, т,е. давление р(х,г) и плотность р(х,г) связаны соотношением (уравнением состояния) Б = (-') (4) где ро, ро — начальные давления и плотность, а постоянная "у > О. Обозначим через и(х,с) = (ил(х 1),из(х 1),из(х,с)) вектор смещения газа относительно положения равновесия, а через и(х,г) = (ил (х, 1), из (х, 1), из(х, 1)) — вектор скорости: — = и. ди дл (5) В наших предположениях (р — ро, и, и и их производные малы) уравнение (4) можно переписать в виде (1+ '„") (6) а уравнение неразрывности (1) — в виде (7) рл+ райн и = О (считаем, что интенсивность источников равна нулю).
В соответствии с законом Ньютона полный баланс сил, действующих на малый объем газа ла1л, равен нулю, т.е. р — Ь1л + йгайрдл1л =- Глз1; откуда после замены р на ро (в рамках нашего приближения) получаем 18 Гм ! Постановки куаеемя задач математической физики ди Ро г 8г'и1 Р.
дг (8) Дифференцируя (8) по 1 и пользуясь соотношениями (6) и (7), находим уравнение для вектора скорости и дги г . 1 дР— = о 8гап'о1чи+ — —, дгг Ра дг' (9) где аг = РУУ/Ро. Если предположить, что в начальный момент времени имеет место равенство с11ч и = — 1, то из (7) и (5) получим, что для всех последующих моментов времени имеет место равенство р+ Ро 61ч и = О. Отсюда и из (5), (6) и (8) вытекает уравнение для вектора смещения дг дгг д" = огйг абйчм+ — 'К Ро (10) Наконец, дифференцируя уравнение (7) по 1 и используя (6) и (8), получим уравнения для плотности р и давления Р Рм — — о Ьр — <11чР, рн — — а др — о МчЕ (11) Уравнения (9)-(11) называются уравнениями акустики.
Пример 5. Задачи о распространении тепла. Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящее за время Ь1 через малую площадку ЬЯ, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой д 1 а [ Р'(х,1) Дх. где гг — нормаль к площадке, направленная в сторону передачи тепла, к(х,и) — коэффициент внутренней теплопроводности, и(х,с)— температура тела в точке х = (хг, яг, хз) в момент времени й Предположим, что тию изотропно в отношении теплопроводности.
Тогда к(х, и) не зависит от направления площадки. Яля вывода уравнения, которому удовлетворяет температура и(х,1), выделим внутри тела объем Й, ограниченный поверхнсстыо Я. Согласно закону Фурье количество тепла, втекагощее в Й через поверхность Я за промежуток времени [гы гг), раино гг гг / ~й / й — ~Ь = / Ш / Йч (й 8габи) г(т.
з и и Если Р(х, 1) — плотность тепловых источников, то количество тепла, образованное за их счет в Й за указанный промежуток времени, равно и э д Вььвод рравиеииа и постановки краеввьх задач Общее количество притекшего в Й за время от ьь до ьз тепла можно подсчитать также и через приращение температуры: / ср(и(х, ьз) — и(х, йь )] ьЬ = / ьй / с р —, дх, ои й й где с(х) и р(х) — теплоемкость и плотность вещества.
Следовательно, ьь /' ьй'/ (ср — — ь)ьи(ккгаби) — г'(х,~)) Нх = 0 (2) Ьь й (при этом предполагаем, что подыптегральная функция непрерывна). В силу произвольности ь) и промежутка времени (сь, ~з] из (2) вытекает равенство сриь — бгв (йбгаь1 и) = Р(х, ь), (3) называемое урав не ниевь теььаогьро в иди асти. Если коэффициент теплопроводности й не зависит от температу- ры и, к(х,и) = к(х), то уравнение (3) становится линейным. Если тело однородно, то с(х) = сопев, р = сопев, й = соььз1 и уравнение принимает вид и, = а ьзи + /(х, ь), (4) где аз = й/(ср), /(х,ь) = Р(х,ь)/(ср).
Из физических соображений следует, что для олнозначного описания процесса распространения тепла необходимо, кроме уравнения (3) или (4), задать начальную температуру,т.е.и]ь=а = ьр(х), и температурный режим на грани- це. Для случая когда на границе Г тела ьь' поддерживается заданная температура, граничное условие выглядит так: и]г = ь/ь. Для случая когда на границе задан тепловой поток ьз, граничное условие выглядит так: где л = ц/й, ьз — внешняя нормаль. В частности, если тело 0 тепло- изолировано на гравице, то В случае если окружыошее тело 6' пространство имеет заданную температуру, считаем, что на границе происходит теплообмен по закону Ньютона, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
