1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1 29. Поставить краевую задачу о колебании круглой однородной мембраны, закрепленной по краю, в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости. В момент времени 1 = О к поверхности мембраны приложена внешняя сила плотности У(г, ео, е), действуюгцая перпендикулярно плоскости невозмущенной мембраны. Начальные скорости и отклонения точек мембраны отсутствуют. 1.30. Закрепленная по краям однородная прямоугольная мембрана в начальный момент времени 1 = О получает удар в окрестности центральной точки,так что З д Вывод уравненид и иоегаановки краевых задач 25 1.31.
Пусть электрическая цепь состоит из сопротивления Е, самоиндукции Е и емкости С. В момент времени 1 = 0 в цепь включается э.д.с. Ео. Показать,что сила тока з(е) в цепи удовлетворяет уравнению 1в'(~) + Ег(1) + — / г(т) дг = Е, С > О. о 1.32. Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой среде. Исходя из уравнений Максвелла вывести уравнения, которым удовлетворяют компоненты векторов напряженности электрического и магнитного полей для случаев: а) плотность зарядов р = О, е = сопз1„Л = сопзФ, р = сопзС, .Х = ЛЕ (закон Ома); б) среда — вакуум и токи отсутствуют.
1.33. Поставить задачу о проникновении магнитного поля в правое полупространство, заполненное средой с проводимостью о, если начиная с момента времени г = 0 на поверхности х = 0 поддерживается напряженность магнитного поля Н = Но зш Пх, направленная параллельно поверхности. 1.34. Поставить краевую задачу об определении температуры стержня 0 < х < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью. Рассмотреть случаи: а) концы стержня поддерживаются при заданной температуре; б) на концах стержня поддерживается заданный тепловой поток„.
в) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана. 1.35. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде, предполагая, что поверхностями равной плотности в каждый момент времени е являются плоскости, перпендикулярные к оси х. Написать граничные условия, предполагая, что диффузия происходит в плоском слое 0 < я < й Рассмотреть случаи: а) на граничных плоскостях концентрация диффундирующего вещества поддерживается равной нулю; б) граничные плоскости непроницаемы; в) граничные плоскости полупроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного теплообмена.
1.36. Вывести уравнение диффузии распэдаюшегося газа (количество распавшихся молекул в единицу времени в данной точке пропорционально плотности с коэффициентом пропорциональности а>0). 1.37. Пан тонкий однорсжный стержень длиной 1, начальная температура которого Дх). Поставить краевую задачу об определении температуры стержня, если на конце х = 0 поддерживается постоянная температура ио, а на боковой поверхности и на конце х = ~ про- 26 Гл. 1. Постановки краевмезадаю математической 4изики исходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой нулевой температуры.
1.38. Поставить задачу об определении температуры в бесконечном тонком теплоизолированном стержне, по которому с момента 1 = О в положительном направлении со скоростью иа начинает двигаться точечный тепловой источник, дающий д единиц тепла в единицу времени. 1.39. Поставить краевую задачу об остывании тонкого однородного кольца радиуса Л, на поверхности которою происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, имеюгцей заданную температуру. Неравномерностью распределения температуры по толщине кольца пренебречь. 1.40.
Вывести уравнение диффузии взвешенных частиц с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тяжести, постоянна, а плотность частиц зависит только от высоты е и от времени й Написать ераничное условие, соответствующее непроницаемой перегородке. 1.41. Поставить краевую задачу об остывании равномерно нагретого стержня формы усеченною конуса (искривлением изотермических поверхностей пренебрегаем), если концы стержня теплоиэолированы, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.
1.42. Растворенное вещество с начальной плотностью со = сопз1 диффундирует из раствора, заключенного между плоскостями х = О и х = 6, в растворитель, ограниченный плоскостями х = Ь, х = й Поставить краевую задачу для процесса выравнивания плотности, предполагая, что границы х = О, х = 1 непроницаемы для вещества.
1.43. Внутри однородного шара начиная с момента времени 1 = О действуют источники тепла с равномерно распределеннной постоянной плотностью ед. Поставить краевую задачу о распределении температуры при 1 > О внутри шара, если начальная температура любой точки шара зависит только от расстояния этой точки до центра шара. Рассмотреть случаи: а) на поверхности шара поддерживается нулевая температура; б) на поверхности шара происходит теплосбмен (по закону Ньютона) с окружающей средой нулевой температуры. 1.44. Дан однородный шар радиуса Л с начальной температурой, равной нулю.
Поставить краевую задачу о распределении температуры при 1 > О внутри шара, если: а) шар нагревается равномерно по всей поверхности постоянным тепловым потоком о; б) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой зависит только от времени. 1.45. Начальная температура неограниченной пластины толщины 2л равна нулю. Поставить краевую задачу о распределении температуры при 1 > О по толщине пластины, если: З д Вывод уравнений и постановки краевых задан 27 а) пластина нагревается с обеих сторон равными постоянными тепловыми потоками д; б) в пластине начиная с момента времени ~ = 0 действует источник тепла с постоянной плотностью Я, а ее основания поддерживаются при температуре, равной нулю. 1.46. Неограниченный цилиндр радиуса В имеет начальную температуру Дг). Поставить краевую задачу о радиальном распространении тепла, если: а) боковая поверхность поддерживается при постоянной температуре; б) с боковой поверхности происходит лучеиспускание в окружаюшую среду нулевой температуры.
1.47. Лала тонкая прямоугольная пластина со сторонами 1, пх, для которой известно начальное распределение температуры. Поставить краевую задачу о распространении тепла в пластине, если боковые стороны поддерживаются при температуре '4у=а = 'Р1(х), Му=юи = 'Рз(х) и(х=о = Ф1(Я), (х=1 = Ф2(*). 1.48. Начальное распределение температуры в однородном шаре задано функцией Дг, 6, у1). Поставить краевую задачу о распределении тепла в шаре, если поверхность шара поддерживается при постоянной температуре ио. 1.49. Два полуограниченных стержня, сделанных иэ разных материалов, в начальный момент времени приведены в соприкосновение своими концами.
Поставить краевую задачу о распределении тепла в бесконечном стержне, если известны начальные температуры каждого из двух полуограниченных стержней. 1.50. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры в тонкой прямоугольной пластине ОАСВ со сторонами ОА=а, ОВ=Ь,если1 а) на боковых сторонах пластины поддерживаются заданные температуры; б) на сторонах ОА и ОВ заданы тепловые потоки, а стороны ВС и АС теплоизолированы.
1.51. На плоскую мембрану, ограниченную кривой Х, действует стационарная поперечная нагрузка с плотностью Дх,у). Поставить краевую зада гу об отклонении точек мембраны от плоскости, если: а) мембрана закреплена на краю; б) край мембраны свободен; в) край мембраны закреплен упруго. 1.52. Пан цилиндр с радиусом основания В и высотой л. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры внутри цилиндра, если температура верхнего и нижнего оснований есть заданная функция от г, а боковая поверхность: 28 Ги.
й Постановки ираеомх эадач математической Эгиэитг а) теплоизолирована; б) имеет температуру, зависящую только от э; в) свободно охлаждается в среде нужной температуры. 1.53. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры внутренних точек полусферы, если сферическая поверхность подлерживается при заданной температуре 1(~о, о), а основание полусферы — при нулевой температуре. 1.54. Шар радиуса Л нагревается плоскопараллельным потоком тепла плотности о, падающим на его поверхность, и отдает тепло в окружюощую среду в соответствии с законом Ньютона.
Поставить краевую задачу о распределении температуры внутренних точек шара. 1.55. Пусть п(х,в,1) — плотность частиц в точке х, летящих с постоянной скоростью и в направлении в = (зг,ээ,эз) в момент времени $; обозначим через п(х) коэффициент поглощения и гг(х) — . коэффициент умножения в точке х. Предполагал рассеяние в каждой точке х изотропным, показать, что п(х, я,с) удовлетворяет интегродифФеренциальному уравнению переноса — — +(э,бгаг)п)+ее(х)п= — ( п(х,в,1)г4э +Е, 1 ди гу(х) г и д3 4э,/ Ге'(=1 где р'(х, э,с) — плотность источников, Дх) = ег(х) 6(х).
1.56. Поставить краевую задачу для уравнения задачи 1.55, считая, что задано начальное распределение плотности и задан падающий поток частиц на границу Я области С. 1.57. Показать, что для решения еэ(х,э) стационарной краевой задачи (э,бгагэтэ) + ее(х)ээ = 1 п(х,э )гЬ + Е(х), 4гг Ге'Г=1 п(э = О, если (е,п) с О, где п — внешняя нормаль к Я, средняя плотность (*) = — ~ (,э) Ь 1 4я,/ Ге)=1 удовлетворяет интегральному уравнению Пайерлса 1 е / 1 "г*г=с(' ., ((.гг*+гг-ггегег)Гегег г*'ггег*'г~м'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
