1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2.11. 1) 1(х+ у) + (х — у) д(хг — уг) (х > — у нли х ( — у); 2) )'(ху) + /]ху] д( — ) (в каждом квадранте); У б 3'4 3) 1(ху) +]ху]з74д~ — ) (в каждом квадранте); У 4) хУ( — ) + д( — ) (в каждом квадранте); У ' У 5) х1(у) — з'(у) + /(х — с) д(с) е~з)гс (У казан не.
Обозначая о ие = в, получить соотношения и = хв — во, ⠄— хв = 0.); б) 2уд(х)+ — д'(х)+( (у — с) Дс) е * Се(( (У к а запив. Обознах о 1 чзя и„= э, получить соотношения и = — эе + ув, вез + 2хув„= 0.); 2х — [зЗ)*)~Г),)~-~)е-з)д)з).-* ее] )у ° . ° . Ог. о значая ио + и = в, получить соотношения и = в + ув„э „+ в + + ув„+ уэ = 0.); 8) ' *'[зЗ) )+П*)+~)з-з)зЫ *'зз] )з . Оо о значая и„+ хи = в, получить соотношения и = в + 2ув, (в, + хв) + + 2У(в„+ хв) = 0.).
Глава П ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИНТЕГРАЛЪНЪ|Е УРАВНЕНИЯ 3 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега 1. Измеримые функции. Множество Е с Ли называется множестлвам (и-мерной) меры нуль, если по любому в ) О можно найти покрывающее его счетное множество открытых (и-мерных) кубов„ сумма объемов которых меныпе с. Пусть Я С В" -- область. Если некоторое свойство выполнено всюду в Я, за исключением, быть может, множества меры нуль, то говорят, что зто свойство выполнено почти всюду в ь,т (п.в. в ьт).
Заданная в области б) функция Дх) называется измеримой в б), если она является пределом и.в. в ь„т сходящейся последовательности функций из С(б)). Если 1'(х) = д(х) и.в. в О, то говорят, что функции зквив лснтпны в Св. 3.1, Установить, что следующие множества являются множествами меры нуль: 1) конечное множество точек; 2) счетное множество точек; 3) пересечение счетного множества множеств меры нуль; 4) объединение счетного множества множеств меры нуль; 5) гладкая (и — 1)-мерная поверхность; 6) гладкая к-мерная поверхность (к < и — 1). В задачах 3.2 — 3.9 доказать утверждения.
3.2. Функция Пирихле 1т(х) (равная 1, если все координаты точки х рациональны, и О в противоположном случае) равна нулю п.в. 1 3.3. Функция 1'(х) = почти всюду непрерывна в Ви. 1 — ~х! 3.4. Последовательность функций уи(х) = Ц" в шаре Ц < 1 сходится к нулю п. в. 3.5. Теорем а. Лат тассо чтлвбы множества Е было множеством меры нуль, необходимо и достаточно, чтвбьь сутисствавало такое егв покрытие с етпнвй системой влжрытых кубов с конечной суммой вбьемвв, при котором каждая иючка Е вказываетсв покрььтвй бесконечным множеством кубов.
40 Гп. 11. >рдиниионааьные пров>пранглпва и инепеерааьные уравнение 3.6. Функция 1' Е С(Я) измерима. 3.7. Коли 1(х) и д(х) эквивалентны и д(х) измерима в 1„1, то 1(х) тоже измерима в 1,). 3.8. Предел почти всюду сходящейся последовательности измери- мых функций является измеримой функцией.
3.9. Функция, непрерывная в Ц за исключением подмножества, составленного из конечного (или счетного) числа гладких Й-мерных поверхностей (Й < п — 1), измерима в 1~. 3.10. Установить измеримость следующих функций, заданных на отрезке [ — 1,1]; а) д = з1Кпх; ( .
1 т. 1ъ ьйп —, хф.О, з1кп ~з1п -) > хфО, ~[0, х=О; О, х=О; 1 >и г) д= — если х, = — при взаимно простых ел, и, и О, если х иррационально. 3.11. Пусть функции Дх) и д(х) измеримы в е). Установить из- меримость следующих функций: а) Дх)д(х); б) — (при условии д(х) ф О, х 6 1„1); Пх) д(х) в) ]1(х)]; г) (1(х))в1*1, если 1(х) > О. 3.12.
Пусть 1(х) 6 С(Я) и в каждой точке х б (~ существует прсжзвод~ая 1" . Доказать, что 1" измеряема Я. 3.13. а) Пусть функции Ях) и д(з:) измеримы в 1„1. Доказать из- меримость в 1,> функций щах (1(х), д(х) ), ппп Щх), д(х)). б) Доказать, что всякая измеримая функция у(х) есть разность двух неотрицательныхизмеримых функций 1'ь(х) = щах Ц(х), О), 1 (х) = пйп (О, -1" (х)). 3.14. Доказать, что неубывающая (невозрастэзощая) на отрезке [о, Ь] функция измерима.
3.15. Доказать, что если 1 (х) измерима в Ц, то существует после- довательность многочленов, сходящихся к 1 (х) и. в. в Ц. 2. Интеграл Лебега. Заданную в области Я функцию 1'(х) будем считать принадлежащей классу е >(Я), если существует неубывающая последовательность непрерывных в 0 финитных функций уп(х), и = 1,2, ..., сходящаяся к 1'(х) и.в.
в Я и такая, что последовательность интегралов (Римана) / 1п(х) Их ограничена сверху. При ('„> з а. Измеримые функции. Интеграл Лебееа 41 этом интеграл Лебега от функции 1(х) Е Е, е Я) определяется равенством (А) / Хдх = вцр / 1н дх = 1пп / 1н дх. (2 Функция 1(х) называется ингпегрируемой по Лебегу по области с1, если ее можно представить в вице разности Х(х) = 1з(х) 1г(х) двух функций 1~(х) и 1г(х) из А~Я). При этом интеграл Лебега от функции Дх) определяется равенством (Ь) /' Х дх = (Ь) /' Д дх — (А) ~,~ дх.
о о Комплекснозначную функцию 1(х) = Ке 1(х) + 11ш 1(х) будем называть интегрируемой по Лебегу по области 9, если функции Пеу(х), 1ш 1(х) интегрируемы по Лебегу. При этом по определению полагаем (Л) (11"ах = (Л) /Пе 1 дх + 1(1.) / 1т (дх. (2 о о Множество интегрируемых по Лебегу по области Я комплекснозначных функций, отождествляемых в случае их эквивалентности, обозначается 11 Я).
Функции из 11Я) конечны п. в. в ся. Если функция интегрируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. Поэтому в дальнейшем будем опускать (1,) перед знаком интеграла; всегда под интегралом подразумевается интеграл Лебега, а под интегрируемой функцией - - функция, интегрируемая по Лебегу. Ба|же того, если функция абсолютно несобственно интегрируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу и се интегралы Римана и Лебсга совпадают. Следующие теоремы играют важную роль в теории лебеговского интегрирования. а) Если функция 1(х) измерима в С1 и ~,1(х)~ < д(х), где д(х) б б 11Я), то 1 б 11Я).
В частности, измеримая ограниченная функция в ограниченной области Я принадлежит 1,1Я). б) Т е о р е и а Л е б е г а Если последовательность измеримых в 9 функций 1з(х), ..., 1„(х),... сходится к функции 1(х) п. в. в Я и (1(х)~ (д(х), еде д б Ь1((~), то 1 б 11Я) и /1~(х)дх — + /1дх при и — в ОО. о 0 в) Теорема Фубини. Если 1(х,у) 611ЯхР), х=(хы... " х ) б Ю, у = (ум ", ум) б Р, где бя и Р— некоторые области из Лп и Лт соответственно, то / Х(х, у) дх б Ь1 (Р), / 1(х, у) с1у б Ь1 (Я) и Ц Р 42 Гл.
П. Фдннииональньье ироетпранеелеа и инеаееральньае урааненин / /(х,д) дхдд = ~Их~/(х,д) ду = ~йу / /(х,д) ь1Х. ОнР О Р Р О Бели /(х, д) изльерилза о О х Р, для и. о. х 6 Я Фднкиия Щх, д)( 6 6 Х з (Р) и /' Щх д) ~ сад 6 Х дЯ), озо Дх д) 6 Ьз Я х Р). Р В задачах 3.16-3.20 доказать утверждения.
3.16. Если /(х) > 0 и ( /(х) Нх = О, то /(х) = 0 и. в. в Я. 3.17. Если /(х) = 0 и. в. в Я, то / /Их = О. Я 3.18. Если /,д е Ь|Я), то о/+/1д 6 Хз®) при любых постоян- ных о и )з. 3.19. Если У 6 А~ ф), то </< 6 Аз (ь/) и У/1 < У<лд . 3.20. Если / 6 Аз Я), то для любого е > 0 найдется такая финит- Ндя ФУНКЦИЯ д» б С(Я), Что / <Д вЂ” де) ЕЬ ( Е. о 3.21. Проверить, что функция Лирихле 1, если х рациональное, /()ьь О, если х иррациональное, интегрируемапо Лебегу на (О, 1), но не интегрируема по Риману. Чему равен ее интеграл Лебега? 3.22.
Найти интегралы по отрезку <О, 1) от следующих функций (предварительно доказав их интегрируемость): х, если х иррационально, а) /(х) = О, если х рационально; если х иррационально и больше 1/3, б) /(х) = хз, если х иррационально и меньше 1/3, О, если х рационально; ззпих, если х иррационально и меньше 1/2, в) /(х) = хз, если х иррационально и больше 1/2, О, если х рационально; ы 1/и, если х = пз/и, где т,и взаимно просты, г) /(х) = О, если т иррационально; З 8. Измеримые фрикции. Ииеаеераа Лебези 43 х ч~, если х иррационально, з хз, если х рационально; е) Дх) = з13п ~ип 4. хз 3.23.
При каких значениях о интегрируемы по шару (х~ < 1 следующие функции: а) Дх) = —; б) У(х) =; в) Дх) = г г'" "? 3,24. Пусть д(х) — измеримая и ограниченная функция в ограниченной области Я. Показать, что функция Дх) = 1 ~ е1б при- -'Ь-6- надлежит Сз(1? ) при?е < и — и. Я 3.25. Пусть у б?оЩ). Показать, что функция У(х), если в точке х ~1(х)( < Ж, Ул(х) = 1?, если в точке х у(х)( > Л, интегрируема по Я и справедливо соотношение !пл / ~~д(х) дх = / ~(х) «Ь. о 3.26. Пусть Я = (О < хз < 1, 0 < хг < 1), а функция У(х) задана в Я следующим образом: — е при (хг,хг) г= (0,0), ) У(х) = И4 О при хе =хг — — 0; при (хе,хг) ф (0,0), ~ 0 при хе =хг=О; 1 — при 0 < хг < хг < 1, хг — при 0<хг <хе <1, х 1 0 в остальных точках.
1) Принадлежат ли эти функции пространству 1ч Я)? 1 1 2) Принадлежат ли Л~(0, 1) функции /Дхыхг) е?хы /Дхг,хг) еЬг? о о 3) Выполняется ли равенство 1 1 1 1 / еЬ1 / з (хы хг) Йхг = / Йхг / Пх1 ~ хг) ахг? о о о о 44 Гл. 11 Фуикииоиольиме пространство и иитеерольиме дравиетее Множество измеримых в Я функций, квадрат модуля которых принадлежит Х1(1ь1), называется пространством Хг(ььг) (при этом, как и в случае Х1Я); эквивалентные функции считаются отождествленными). В задачах 3.28 — 3.33 доказать утверждения.
3.28. Если Х1, Хг й Хг®), то сеХ1 +РХг й ХгЯ) при любых постоянных а и р. 3.29. Если Х й Хг(0) и 1„1 — ограниченная область (или область с ограниченным объемом), то Х Е Х1(ь)). 3.30. Ни Одно из Вялю 1ений Х1(В") С Хг(йп) Хг(Л") С Х1(Л") места не имеет. 3.31. Если Х,д й Хг(ье), то Х д е ХчЯ). 3.32. Если Х, д Е Х2Я), то имеет место неравенство Буняковского 3.33. Если Х, д б Ь2Я), то имеет место неравенство Минковского 3.34. Установить принадлежность к Х2 Я) следуюших функций: а) д = х 'Уз, 9 = [О, Ц; б) д = — ',, а = (0,1); х 1/З сов х в) д = х-1!з О, з)п (хгхг) Г) д = х1+л2 О, х иррационально, Яво[ — 1,Ц; х рационально, х зЕ О, х= О, [х) фО, С) = ([х) < 1); [х[= О, 3.27.
На отрезке [О, Ц задана последовательность ступенчатых функций Х„(х), и = 1, 2,... 1 1+ 1 Л (х) = 1 при — <х < —, 21 2" 0 для остальных х е [О, Ц> где целые числа и, Й, 2 связаны соотношениями п = 2" + 1, О < г < 2~ — 1. 1 Показать, что 1пп (' Х„сЬ = 0 и что Х„(х) -+> 0 при и — ь оо для х 6 [О,Ц. г" Х Измеримые фуияддии.
Лнтеерие Ле6ееи Ответы к 3 3 3.21. О. 3.22. а) —; б) —; 1 38 3' 108' 3.23. а) а<п; б) а 3.26. а) 1) Нет; 2) б) 1) нет; 2) да; в) 1) нет; 2) да; 3.35. а > О, ?? > О, 3.36. а) а<1; б) а 1 7 3 в) — + —; г) О; д) —; е) 1 — 21п2. я. 24' ' 2' <1; в) а<2п. нет; 3) нет; 3) нет; 3) нет. 1 1 — + — < 1. 2а 2Д > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
