1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 12
Текст из файла (страница 12)
в Ц' С Я, то бган у = 0 п. в. в С„г. 4.87. Если у 6 Н2Я) и ~8гаг1 Д = 0 и.в. в Я, то Дх) = сопзс п.в. в Я. 4.88. Если 2" 6 Н2 Я), д 6 Й2Я), то для всех 2 = 1, 2, ..., и справедлива формула ) )днн ах = — (' ду,, схх (формула интегрирования по частям). 0 60 Гл. рй Фувквивнальаьье пространства и антевральнив уравнения 4.89. Если у 6 Нь(Я) и д б Н' Я), то для всех ь = 1,2,..., и ~ уд, дх = — ~ ду, бх + / уд соз (вьхв) сЬ, 0 г где под знаком интеграла по Г стоят следы функций 1 и д на Г.
4 90. Нь Я) есть псдпространство пространства Н~ (Я). Пусть функция 1 б Азф) продолжена, например, нулем вне Я. Коне ьнарпзнастнььи атнааьениель Дх) по переменному х;, ь = 1, 2, ... ..., п, будем называть при Ь ф 0 функцию ~(хи ..., х; + Ь, ..., х ) — ~(х) Ь 1 также принадлежащую пространству АзЯ). В задачах 4.91 — 4.96 доказать утверждения. 4.91. Для любой финитной на (а, 6) функции 1 из 1,з(а, 6) и любой функции д 6 1 з(а,6) при достаточно малых )Ь! имеет место формула «интегрирования по частямв (б"~„д) = — ((,б "д), ь = 1,2,...,п. 4.92.
Для достаточно малых )Ь~ ЗЕ 0 для произвольной фннитной в (;) функции у 6 1,зЯ) и произвольной функции д 6 АзЯ) имеет место формула «интегрирования по частям» (бь~ ) (( б.— л 4.93. Если финитнвя на (а,6) функция у принадлежит Н'(а,6), то при Ь вЂ” + 0 бьу(х) — в У'(х) в норме йз(а,6). 4.94. Если для финнтной на (а,6) функции у е Аз(а,6) при Ь в 0 бау — + Цх) в норме Хз(а,6), то Дх) принадлежит Н~(а,6) и Дх) является о.и. функции Дх). 4.95. Если финитная в Я функция у б Азф) имеет о.и. ~~ь б б ьз(а,6) при некотором ь = 1,2,...п, то при Ь вЂ” + 0 б,"у — + ~,. в норме Аз(Я), 4.96. Если финитная в Я функция у принадлежит 1з(Я) и при Ь вЂ” + 0 ба~ — э Ях) в норме Х,зф) при некотором ь = 1,2,...,п, то Дх) имеет в Я о.
п. по х;, совпадающую с Ях). 4.97. С помощью результата задачи 4.71 показать, что скалярные произведения в и О',д)~ = / (И+ Гд') «х, И,д)п = / Гд' 1х а а в пространстве Н' (О, я) эквивалентны. э" 4. Фднкчианааьнме прастпранстаа 61 4.98. Доказать с помощью задачи 4.74, что скалярные произведе ния 2л 2л /2л З/2л ал =/а+рр)а, ось=/ггь+(/и)(/а~*) е о о о в пространстве Н (О, 2к) эквивалентны. 4.99.
Множество Й2(0,2я) функций / Е Н" (0,2я), для которых г. /(х) 42 = О, есть подпространство пространства Н (0,2я). Пока- а зать, что в Нз(О, 2я) скалярное произведение можно определить ссютг; Нощением (/д)Й (0,2 ) ( Х д пх. о 4.100. Пусть р(х) Е СЯ) и р(х) > рэ > О. Показать, что формулой (У д)2 = Х/р/дух Лд Е Хз(Я), определяется скалярное произвсС2 ление в Х2(Я), эквивалентное скалярному произведению ( /дух. Я 4.101. Пусть р 6 СЯ), р(х) > 0 в Д~хе и р(хе) = О, где хе— некоторая точка из Я. Тогда формулой для ( /, д)2 задачи 4.100 определяется скалярное произведение в Х 2 Я), не эквивалентное скалярному произведению ( /д сХх Я вЂ” ограниченная область). 4.102. Пусть р б СЯ~хе), где хе — некоторая точка из Ц и р(х) > 0 для х б Я~х~, р(х) — Ф оо при х — > хэ, х е с/.
Показать, что в Х,2рЯ) можно ввести скалярное произведение ( /дскб, не эквивалентное скалярному произведению ( р/д пх. 4.103. Пусть / б Н ((х| < 1), х = (хыхз) и /(х)(~л~ — 2 = Ь(З2), х2 — — Ц соя ~р, хз = !х( з!и ~р. Доказать, что существует такая не зависящая от функции /(х) постоянная с > О, что 2л / рал ~/ь'рлрал.~ / ~ларЧ~. ~4<2 о )2~<2 4.104. Доказать существование такой постоянной с > О, что для любой / Е Н'Я) имеет место неравенство Стеклова / /2 дх < с Х/ (ьгаб /~злх о 62 Гл. 11. Функциональные нрвстпринстпви и интпееральные уравнение 4.105.
Показать, что выражение ~(бган ~, ягвс)д) дх задает скалярное произведение в Й г (ь1) „эквивалентное скалярному произведению [ [19+ (ЯгЫ),ЯГЫ9)] дх. 4.106. Пусть р, д 6 С(О), р(х) > рв > О, 9(х) > О. Доказать, что скалярные произведения в Н (т,т) (1, д)г = / [919+ р(бган 1, кгас19)] дх эквивалентны.
4.107. Пусть всгцественные функции рчп р0(х) = Рт;(х), т,у = = 1,2, ...,и, и д принадлежат СЯ), д > О„и для всех х й Я и всех вешественных вектоРов С = ф, ..., Си) 6 Ни имеет место неРавенство р6 (х) Я' > тв ~~ аз=1 т=1 где постоянная ув > О. Доказать, что в Н' Я) можно определить скалярное произведение и,.ь=) [т;,т..~,+ т)~, 1 ат=г эквивалентное скалярному произведению У,д) =~09+(6 ~У К 19)]дх. 4.108. Пусть р,д 6 С(с„т), р(х) > рв > О, 9(х) > дв > О. Тогда скалярные произведения в Н'(с„т) (1,9) =[уд+(6г ~ 1,6' ~9)]ах, (Х,д)г = /[9Уд+р(ага41,6гас19)]Их эквивалентны.
При репгснии задач 4.109„4.113, 4.114, 4.116 полезна следуюцтвя Теорема. Дпе тпвгв чтпвбы лснввкесзпвв М с Нт(Я) была квлтпактпнььи в Ьз(се), двсгпатпвчно, чтпвбы М было вераниченнылт в нврлте Нг(ст), тп. е. чтпвбы сутпестпвввала тпакая пвстпавнная с > О, 63 Фднкнионольные пространства что ][и]]п ~О~ < с для всех и 6 М. (Компактность М в ьэ означает, что из любой оесконечной последовательности элементов из М мохсно вь~брать 4дндоментольную в Аз подпоследовательность.) 4.109. Пусть х — произвольная точка из 9, а У = ьс П П (]х — хв] < г) при некотором г > О.
Доказать, что существует такая постоянная с > О, что для всех р' 6 Н'Я) имеет место неравенство /~ч. [~~.юео+/еь'] е со и 4.110. С помощью результата задачи 4.108 показать, что скалярные произведения в Н'(Ч) У,д)! =1Уд+(КайУ,а бд)]дх, гг (1, 9) и = / [91 9 + р(йгад ~, угад 9)] й эквивалентны, если непрерывные в Ц функции р(х) и 9(х) удовлетворяют условиям: р > рэ > О, 9(х) > 0 и 9(х) ф О в ь„. 4.111.
Если в условиях задачи 4.107 9(х) > дэ > О, то выражение ~ (:С.г....".)- о 1 с1=1 можно принять за скалярное произведение в Н'Я), причем оно будет эквивалентным скалярному произведению ( [(бган 1, йгао 9) + Хд] пх. о 4.112. Если в условиях задачи 4.107 9(х) > О в Я и 9(х) У': О, то выражение ~(й -." )- о йсд=г можно принять за скалярное произведение в Н' (Ч), причем оно будет эквивалентным скалярному произведению ( [)'д -г (ягад 1', ягад д)] дх. 4 113.
Показать, что существует такая постоянная с > О, что для любой р 6 Н Я) имеет место неравенство (Ую*< [)Ь 1Э ьб ~го]. во 4.114. Пусть хэ --- произвольная точка границы дЯ, а У = д(~ П П(]х — хе[ < 1) при некотором г > О, Доказать существование такой постоянной с > О, что для всех у е Н ((~) справедливо неравенство 64 Гл. П. Функциональные нроесаранесава и инглееральньсе уравнения (с'с*с..[~~с.ысес*+(с'с]. 4.115. Доказать, что если о е С(дсг) и о(х) > О, то выражение (,.) =1( ° ~, ) *+1- с'с дсс задает в Н'(с„с) скалярное произведение, причем оно будет эквива- лентным скалярному произведению (у,д) = ~(уд+ (8гапу,8гайд)) сЬ.
4.116. Доказать, что если сс Е С(дЯ), о(х) > О, сг(х) ф О, то в Н'(с',с) можно задать скалярное произведение (у,д)с = ~(8гапу,йгас1д) сЬ+ ~сс(джаз, сг ео эквивалентное скалярному произведению У,д) = /Уд+(8 абЛ8 ~д))~ . ч 4.117. Пусть р 6 СЯ), 9 Е С(ьг), сс Е С(д9), р(х) > ре > О, 9(х) > О в ьг', о(х) > О на дсьс, причем или 9(х) р'- О, или сг(х) и:- О. Тогда скалярные произведения в Н'(с' с) (Х,д),=~(р(а ~1,К «д)+9Ыйх+~п1ддя о еч (Лд) = /Уд+(8гапЛКгапд))пх 0 эквивалентны.
4.118. Показать, что существует постоянная с > О такая, что для любой функции У е Н'(ц) (д(,) е С ) имеет место неравенство (не- равенство Пуанкаре) г (с'и с Ч((с «,) ь ~ ~с,ысес,]. о ~е о 4.119. С помощью результата задачи 4.118 показать эквивалент- ность скалярных произведений ((',д) =/(~д+(8 1У,8 1д))дх, в пространстве Н'(с с). з 4. Фднкцаанааьние нггаалггганслгаа 4.120. Показать, что множество Йг(ч) функций з 6 Н~(я, для которых / 1 г1х = О, образует псдпространство Н'Я). Я 4.121.
Показать, что в подпространстве Й' Щ) можно определить скалярное произведение (у,д)г = /(8гаг)~,бгаг(д)дх, эквивалентное скалярному произведению г;> И,д) = ~Дд+ (бгаг1Х, кгаг1д)] г1х. г2 Ответы к 34 4.9. шах]х;]. 4.10. шах]1(х)!. 1.40. а) — х; б) — х~ 3 3 15хз 3 б гг 16 16 гг 4 8 4.41. а) — — — созх; б) — зшх. 2 л Зл 4.42. а) 0; б) хг — хз. -1 Зг — 2 еа(уг, еа) 4.51. е„= ]]уг — С еа(уг„,еа)]! 4.52.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
