1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 13
Текст из файла (страница 13)
а) Ра, Рг, Рз, Рз, где Є— многочпены Лежандра (см. 4.21); Б г' 1.6 Г21 б) ~( — (1 — х), ~( — х(1+х), ~( — (2 — 2х — бхз+5хз); 'у' 8 ' г)г 16 'Ч 2 . 2 8г. 2 в) — зш лх, ]г — ~з1п лх — -), созггх; х 1 х х — 1 г) 1,х — 1,1 — 2х+ —; 2' ,"Гйлл' Фглл' Л,"Гйлл' е) —, — х, ) г — (4х — 1) — многочлен Чебьппева второго репа; ж) Tа, Тг 7г, 7н(х) — многочлен Чебышева. 4.54.— з~11™г ггбхз зГ13аз 2з/л' 2~/л ' 2з/л ' 2:/л л(х — а) Ь вЂ” а 4.75. Подпространство с базисными элементами 1 и соз —. 2 з — гззз 66 Гл. П.
Функциональные лроссаранстоа и иитегральньсе уравиессил '+ Ьг 4ьь - ''— '+к"+Ь+ьпь~' ьэ) 2~2 с, к+1 4.81. а ( — 1. 4.83. а (1/2. 4 84 ~,' й (аг + Ь~) ( оо ь=с 4.85. Нет. 2 5. Интегральные уравнения Уравнение сР(х) = Л г~ М (х, У) сР(У) с1У + 1 (х) (1) С относительно неизвестной функции ус(х) в области с*' С В" называется линейным интегральным уравнением срредеольма (второго раца). Известные функции гс (х,у) и Дх) называются ядром и свободным членом интегрального уравнения (1); Л вЂ” комплексный параметр. Интегральное уравнение р(х) = Л1.гд(х,у) р(у)с1у (2) С называется однородным интегральным уравнением, соответствуюшим уравнению (1), а интегральное уравнение (здесь сс *(х,у) = А'(у,х)) сд(х) =Л~Х'(х,у)Яу)с1у (3) — союзньсм к уравнению (2), ядро сс'*(х, у) называется зрмитово сопрянсенньыя каром х ядру -'д (х~ у).
Интегральные уравнения (1)-(3) иногда записывают в операторной форме уг = ЛКср+ У, дс = Лксо, сд = ЛК*сд, где интегральные операторы К и К' определяются ядрами М'(х, у) и М (т,у) соответственно, т.е. Кд = (' М (х,у)д(у) ду, К*д = ( М'"(х,у) д(у) йу. С С Если при некотором значении параметра Л = Ло однородное интегральное уравнение (2) имеет ненулевые решения из Ьг(сс)„то число Ло называется характеристическим числом ядра М'(х, у) (интегрального уравнения (2)), а соответствуюшие решения уравнения (2) — собссавенными усункциями ядра гь"(х, у). Раисом (кратностью) характеристического числа Ло называется максимальное число линейно независимых собственных функций, отвечающих этому числу Ло- З 5. Иноьеераоьньье уравнение Будем предполагать, что в уравнении (1) область С ограничена в К", функция 1 непрерывна на С, а ядро е'(х,у) непрерывно на С х С.
В задачах 5.5-5.7 используются следующие обозначения: М = п1ах ~.зь"(х, у)), ьЕС, рЕС 5.1. Показать, что интегральный оператор К с ядром,а'(х,у) ограничен из Ьз(С) в 1 з(С), если ~.у'(х,у)~ асхад = с < со. СьС 5.2. Показать, что интегральный оператор К с непрерывным каром .а'(х, у) является нулевым в Ьз(С) тогда и только тогда, когда .а'(х, у) = О, х ~ С, у 6 С. 5.3.
Пусть ядро,Ж'(х, у) интегрального уравнения (1) принадлежит Ьз(С х С). Доказать сходимость метала последовательных приближений для любой функции У е Ез(С), если ~Л! < 1/(с! (постоянная с взята из задачи 5.1). 5.4. Пусть К вЂ” интегральный оператор с непрерывным ядром. Доказать, что операторы К" = К(КЯ ~), р = 2, 3, ..., являются интегральными операторами с непрерывными ядрами,Х„(х, у) и зги ядра удовлетворяют соотношениям М„(х,д) = ( -З1 (х,е)м'- (С,д)аб 5.5. Показать, что ялра .Ж„(х, у), введенные в задаче 5.4 (они называются поольориььии (итерированными) ядрами ядра,Ж (х,у)), удовлетворяют неравенствам: !М„(х, у)! < Мои" ~, р = 1, 2, ... 5.6.
Показать, что ряд ) Л М,з.з(х,у), х Е С, у Е С, сходится т=е в круге (Л~ < —, а его сумма Я(х,у; Л) (реэооьоентаа ядра а (х, у)) 1 Ми' 1 непРеРывна в С х С х ЕУ1Дмь1 и аналитична по Л в кРУге )Л( < —. Мо 1 Показать также, что при )Л~ < — решение интегрального уравМи пения (1) единственно в классе С(С) и для любой ~ б С(С) представляется через резольвенту ое'(х, у; Л) формулой 1о(х) = Х(х) + Л / яе(х, у; Л) У(у) ду.
68 Гл. П. Функииональнме пространства и интееральнгае уравнение 5.7. Показать, что резольвента М(х, д; Л) (см. задачу 5.6) непре- 1 рывного ядра .Ж'(х, д) удовлетворяет при ~Л~ < — каждому из уравМо некий: а) М(х, д; Л) = Л /,Ж (х, ~) М(Я, д; Л) д~е + .Ж (х, д); б) М(х,д; Л) = Л~.ЖЯ,У)М(х,с; Л) аС+1е (х,д); ) ~~( 'У'Л) = ~М(хД„Л)М(К,у;Л)<. В задачах 5.8-5.13 рассматриваются интегральные уравнения вида / Х(х, У) ~Р(д) дд = 1(х), (4) о уг(х) = Л ~ -к (х д) 'Р(у) егу + У(х) (5) е которые называются инглееравьными уравнениями Вольтлерра первого и второго родов соответственно.
5.8. Пусть выполнены следующие условия: а) функции л'*(х, у) и ге', (х, д) непрерывны на множестве О<х<д<п; б) М'(х, х) ,—Š0 для всех х; в) 1"' Е С (10, а11) и ДО) = О. Показать, что при этих условиях уравнение (4) равносильно уравнению У'(х) Г .ж;(х,у) 'Р(х) =,~.( ) — ( ~.( ' ) 'Р(у) бу.
о 5.9. Показать, что дифференциальное уравнение У1~1 + аг(х) у1" 0 + ... + а„(х) д = Е(х) с непрерывными коэффициентами а;(х) (е' = 1,2,...,и) при начальных условиях у(0) = Се, д'(0) = Сы ..., у1" г1(0) = Са г равносильно интегральному уравнению (5), где ,М'(х,д) = ~ ~а (х) т=г 1(х) = Е(х) — С„-гог(х) — (С„гх+ С -г) аг(х) — ... -1 — Со г, + ... + Сгх + Со п„(х).
З 3. Ингнеероаьнме ураеиеггня 5.10. Пусть ге'е С (х > О), гь'(х) = О при х < 0 Показать, что обобщенная функция гГ*)=гГСгеьг н=~.гг.е ...*я; есть фундаментальное решение оператора Вольтерра второго рода с ядром .ге'(хгу) (см. (5)), т.е. е' †.ге ь е'= о. Показать, что при этом ряд для М(х) сходится равномерно в каждом конечном промежутке и удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра Я(х) = / М"(х — у),У(у)г~у + .Ж'(х), х > О о (функция ее (х — у) является резольвентой ядра М'(х — у) при Л = 1). 5.11. Найти резольвснту интегрального уравнения Вольтерра (5) с ядром .Ж'(х, у): 1) .Ж (х, у) = 1; 2) М (х, у) = х — у.
5.12. Решить следующие интегральные уравнения: 1) гр(х) = х+ / (у — х)гр(у) г1у; о 2) ог(х) = 1 + Л ~ (х — у) гр(у) е(у; о 3) гр(х) = Л ~(х — у)гр(у)г1у + х'. о 5.13. Показать„что если д Е С~ (х > О), д(О) = О, 0 < а < 1, то функция ею он Г д (у) н,г' (х — у)' '" о удовлетворяет интегральному уравнению Абеля Йх = д(х). (х — у)ь о В задачах 5.14-5.30 ядро М (х,у) интегрального уравнения является вырожденным, т. е. И .~е (х, У) = ~~г 1 (х) д (У), ге=1 где функции у (х) и д„,(у) (т = 1,2, ...,Аг) нспрерывны в квадрате а < т, у < 5 и линейно независимы между собой. В этом случае интегральное уравнение (1) можно записать в виде 70 Гв.
11 Фднниионавьнмв тьространегпва и интежавьнььв уравнения <р(х) =У(х)+Л~ с ( (х), т=1 где неизвестные с,„определяются из системы алгебраических уравнений. 5.14. Решить интегральное уравнение 1 ьр(х) = Л / .Ж (х, у)~р(у) г(у+1(х) е в следующих случаях: 1) Ж (х, у) = х — 1, Х(х) = и; 2) Ж (х,у) = 2е*+", Х(х) = е*; 3) Ж'(х,д) =х+у — 2ху, ~(х) =х+хг. 5,15.
Решить интегральное уравнение 1 р(х) = Л~,Ж~(х,у) р(у) ау+ 1(х) -з в следующих случаях: 1) Ж'(х,у) = ху+хгуг, Дх) = хг+х~; 2) .Ж(х„у) =х'~в+у'~з, Дх) =1 — бхг; 3) М'(х,у) =х~+5х~у, 1'(х) =хе — хз; 4) Ж'(х,д) =2хуз+5хгуг 1(х) =7х4+3. 5),Х'(х, у) = хг — ху, Х(х) = хг + х; 6) .Ж'(х,у) = 5+4ху — Зхг — Зуг+дхгуг, Дх) = х.
5.16. Решить интегральное уравнение ог(х) = Л ~,Ж (х, у) <р(у) Ну + 1(х) в следующих случаях: 1) Ж'(х,у) = зш(2х+ у), 1'(х) = я — 2х; 2) Ж'(х,д) = зш(х — 2у), Дх) = соз2х; 3) Ж~(х,д) =сов(2х+у), Дх) =з1пх; 4) .Ж'(х,у) =вп(Зх+у), Дх) =созх; 2х 5) .Ж'(х,д) = зшу+усозх, Дх) = 1 — —; 6) Ж'(х,у) = созг(х — у), 1(х) = 1+ соя 4х. 5.17. Решить интегральное уравнение гн ~р(х) = Л / ,Ж'(х,д)ьр(у)ф + Дх) в следующих случаях: 2 О. Интеервяьные уравнения 1) М (х,у) = совх сову+ сов22 сов2у, /'(х) = совЗх; 2),Ж(х,у) =совх сову+2сйп2х в1п2у, Дх) = совх; 3),Ж (х,у) = вшх в1пу+Зсов2х сов2у, /(х) = в1пх. 5.18. Найти все характеристические числа и соответствующие собственные функции следующих интегральных уравнений: зв 1 1) 22(х) = Л /е [в1п(х+ у)+ — ~ ев(у)е11/; о зв 11 2) 22(х) = Л ~ [совз (х + у) + -~ р(1/) еЬ; о 3) 1в(х) = Л / (х у — †) 12(1/)е(у; о 1 О е ~в = ~/ [(-'„) '+ (;") "] еи)вв; о 5) 12(х) = Л /(вшт сйп4у+сйп2х вшЗу+ + вшЗх сйп2у+ в1п4х сйпу) 1в(у) бу.
5.19. При каких значениях параметров а и Ь разрешимо интегральное уравнение 1 ев(х) = 12 ( (ху — — + — ~ ев(у)Ну+ах +Ьх — 2? х+у 11 2 з/ о Найти решения при этих значениях а и 6. 5.20. При каких зна юниях параметра а разрешимо интегральное уравнение 1 22(х) = ъ/152~[у(422 — Зх) + х(4уз — Зу)] 1в(у) ду + ах + — ? 1 о Найти решения при этих значениях а. 5.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
