1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 15
Текст из файла (страница 15)
5.40. Решить интегральное уравнение 1 ь7(х) — Л / Х (х,у) ьо(у) ау + Дх), 78 Ел. 11 Функциональные пространства и интегральные уравнение 5.41. Показать, что коэффициенты А„определителя Фредгольма удовлетворяют неравенствам ~А„( < и"1~Ма(6 — а)". Вывести отсюда, что Р(Л) — - целая функция от Л. У к а з а н и е. Использовать неравенство Адамара (см. (2)). Минпром Фредгольма называется функция В(,у; Л) = Л..л (,у) + ~~~ ( — Ц" ~"(,'У) Л"+, где ь ь Ва(х,у) = ~...~.Ж дЕг дьг---сЕЕ . (10) а а 5.42.
Показать, что если,Ж'(х, у) — непрерывная в квадрате Е: (а < х, у < о) функция, то Р(х, у; Л) — непрерывная функция переменных х, у, Л в Е х С и В(х„у; Л) (при фиксированных х и у) является целой функцией от Л. 5.43. Показать, что коэффициенты А„, функции .В„(х, у) и ядро .Ж (х, у) (см. (7) — (10)) связаны равенствами: ь 1) В„(х,у) =А„,гЕ'(х,у) — п~В„г(х,~),гЕлЯ,у)сК; ь 2) В„(х,у) = А„,Ж (х,у) — п /,Ж'(х,~) Вн,(~,у) д~.
а У к а з а н и е. Разложить определитель, входящий в подынтег- ральное выражение для В„(х, у), по элементам первого столбца. 5.44. Показать первое и вторсе фундаментальные соотношения Фредгольма: В(х, у; Л) — Л.гс'(х, у) Р(Л) = Л / .гс (х, 4) Р(с, у; Л) с(с, а ь В(х, у; Л) — Л,Дл(г:, у) В(Л) = Л 1 ЖЯ у) В(х, Р; Л) К.
а У к а з а н и е. Воспользоваться разложением (9), сравнить ксоф- фициенты при одинаковых степенях Л в левой и правой частях дока- зываемых равенств и применить результат предыдущей задачи. 5.45. Показать формулы ь ь А„= ( В„(х,:)дх, а Э оц Ишаеероаонме рраанения в'(л) 5.46. Доказать формулу = — ~ сен Л" (коэффициенты Он .О(Л) определены на с. 75). 5.47.
Пусть определитель Фредгольма В(Л) интегрального уравнения (6) не равен нулю. Доказать, что в этом случае интегральное уравнение для лк.бой 1'(х) с С([а, 6]) имеет решение и при том только одно и что это решение дается формулой ь 'в(л) '~(у)"' а 5.48. Используя представление решения интегрального уравнения 1 при )Л) < через резольвенту М(х,р;Л) (см.
задачу 5.6) и М(Ь вЂ” а) результат предыдущей задачи, доказать формулу 1З(х,аз Л) ЛВ(Л) (эта формула определяет аналитическое продолжение резольвенты, 1 заданной при (Л) < в виде ряда (см. задачу 5.6)). М(6 — а) 5.49 Доказать, что характеристические числа интегрального уравнения с непрерывным ядром совпадают с нулями определителя Фредгольма В(Л) этого уравнения. 5.50.
Доказать, что ранг т характеристического числа Ла интегрального уравнения с непрерь|вным ядром зе'(х,у) конечен и имеет место неравенство ЬЬ гл < ~Л Д ~~~616 (х,рУ (хе)у. на 5.51. Доказать, что определители Фредгольма непрерывного ядра .16'(х, р) и союзного с ним ядра Л (х, у) совпадают и„следовательно, данное и союзное уравнения имеют одни и те же характеристические числа (см. задачу 5.49). 5.52. Показать, что ранг характеристического числа для данного непрерывного ядра и союзного с ним ядра один и тот же. 5.53.
Доказать, что при ~Л~ < 1 интегральное уравнение Милна со/ Оо ~(*>= —,1 ( 1 — ', а)ема о ~е-о(=о имеет единственное решение аз = 0 в классе ограниченных функций на (О,оо). 5.54. Для интегрального уравнения Пайерлса Л е Ы (*)= —,~',, ь), О доказать оценку 80 Гв. 11. Функиионавьнме пространства и интееравьнме уравнения Лг(1 — е а ))се, где Ю - — диаметр области С С Л~, Лг — наименьшее по модулю характеристическое число ядра. 5.55.
1(оказать,что при Л ( 1/2 решение интегрального уравнения д(х) = Л / е ~* "(р(у)с(у + /(х) единственно в классе ограниченных функций в В и выражается формулой Зг(х) =/(х)+ / е ~ ~* "~/(у)с(у. Л Л 2Л/ Ответы к 35 5.11. 1) е"(в в1; 2) — ай|/Л(х — у). ~Гл 5.12. 1) з1пх; 2) сЬ(з/Лх); 3) — (сЬз/Лх — 1). 5.14.
1) Если Л = — 2„то решений нет; если Л ф — 2, то ~р(х) = 2х(Л+ 1) — Л Л+2 1 е* 2) если Л ф Лм где Лг =, то; при Л = Лг уравег — 1' 1 — Л(ег — 1) ' ненне не имеет решений; 3) если Лф2и Лф — б, то; при Л=2 и 12Лгх — 24Лх — Лг + 42Л Л = — 6 уравнение не имеет решений. 5.15. 1) Если Л ф — и Л ф —, то хг + т4; если Л = —, 3 5 5(7+2Л) г 4.
3 2 2' 7(5 — 2Л) ' 2' то Сх+ — х + х где С вЂ” произвольная постоянная при Л =— 25 5 7 2 уравнение не имеет решений; 2) (бзв/х + 6Л) + 1 — бх, если Л 74 ~~( —; при Л = +~(— 2Л г 12Лг — 5 '7' 12' 7' 12 уравнение не имеет решений; 3) 'х4+ха, если Л зе — и Л ф; Схз+ха — — хв при 5(2Л вЂ” 3) 4 5 1 з г 5 3(5 — 2Л) 2 2' 6 1 5 Л = —, С вЂ” произвольная постоянная; при Л = — уравнение не имеет 2' 2 решений; 4) — х +7х +З,еслиЛф — иЛф —; 7х +3 — — х +Сх, 20Л г 4 5 1 4 50 1 — 2Л 2 2' 3 5 1 где С вЂ” произвольная постоянная если Л = —; при Л = — урав- 4' 2 пение не имеет решений; 3 5.
Инагееравьнме уравнения 5) + х, если Л ф х-; — х + хз + Схз, где С вЂ” произ- 3(5 — 2Л) х з 3 1 5(3+ 2Л) 2' б 3 3 вольная постоянная если Л = —; при Л = — — решений нет г 2' 2 6) если Л = Лд —— —, то Сг + — х; если Л = Лз = —, то Сз(Зх — 1)— 1 3 б 3 8' 2 8' 3 3 — -х (Сг и Сз — произвольные постоянные); при Л = Лз — — — урав- 2 8 пение не имеет решений; если Л ф Л; (г' = 1,2,3), то гр(х) = Зх 3 — ЗЛ 5.16. 1) яп2х+л — 2х, если Л ~ — и Л ф — —; л — 2х— 12Л 3 3 3 — 4Л 4 2 3 — 2з1п2х+ Ссоз2х, где С вЂ” произвольная постоянная, если Л = — —; 3 при Л = — уравнение не имеет решений; 4 ЗггЛ 3 3.
Згг 2) 2(2Л+3) яп х+ соя 2х, если Л ф — — и Л ~ — —; сов 2х — — зш х+ 2 4' 4 3 +Ссовх, где С вЂ” произвольная постоянная, если Л = — —; при 3 4' Л = — — уравнение не имеет решений. 2 3) япх+, ~2Лсоз2х+ — з1п2х), если Л ф х —; при Л = ЗггЛ г' 3 3 8Ле — 9 1 2 )' 2гг'2 3 = х — уравнение не имеет решений; 2~Г2 Лл 4) — яп Зх+ сов х при всех значениях Л 2 \ 2х Лла 1 4 2х 2 5) 1 — — — созх, если Л ф*-; — — — +(8+л созх)С, л б(1 + 2Л) 2'3 гг 1 1 где С вЂ” произвольная постоянная, если Л = — при Л = — —, урав- 2' 2 пение не имеет решений; Лл 2 4 6) — + 1+ сов 4х, если Л ф — и Л ф —; сов 4х — 1+ Сг сов 2х+ 2 — Лгг л гг 4 +Сгяп2х, где Сг и Сз — произвольные постоянные, если Л = —; 2 л' при Л = — уравнение не имеет решений. 5.17.
1) созЗх, если Л ф —; созЗх+ Сг созх+Сзсоз2х, где Сг и 1 1 Сз — произвольные постоянные, если Л = —; л' сов х 1 1 2) если Л ф — и Л ф —; 2созх+ Сяп2х, где С вЂ” — про- 1 — Лл л 2л' 1 1 извольная постоянная, если Л = —; при Л = — уравнение не имеет 2гг гг решений; 82 Го. 11. 4ьгггнционоленые пространство н ннгоеерооьные вроененне зшх 1 1 3 3) — если Л ф — и Л ф.
—; — япх+ С сов 2х, где С вЂ” про- 1 — ггЛ гг Згг 2 1 1 извольная постоянная, если Л = †; при Л = — уравнение не имеет Зл гг решений. 1 1 5.18. 1) Лг — — —, зшх+ созх, 1; Лз — — — —, созх — вшх; 1 2 2 2) Лг = —, 1; Лг = —, сов2х, "Лз — — — —, вш2х; 2л' ' л' л 45 3) Лг — — — 45, Зхз — 2; Лз = — 15хз — 1; 8' 4) Лг = —, Зхз1з + х з1з; Лз = — —, Зхз1в — х 3 8' 2— 2.... 2 5) Лг — — — —, зшх — яп4х, вш2х — япЗх; Лз = —, яп2х+ япЗх, яп х + вш 4х.
5.19. а = — 12, Ь = 12, — 12хз + Сгх + Сз„где Сг и Сз — произ- вольные постоянные. 5.20. а = «/15 — 3, С(4«г15х + 3(1 — «гг15)х~ + — — Зх, где С— 1 произвольная постоянная. х 5.21. Уравнение разрешимо при любом Л, зе гр(х) = Л / сов(2х — р) 1(р) г11г+ 1'(х). о 5.22. 1) вшх+ + ах+ Ь, если Л ф — (а,Ь люЛоггз . 2ЛЬ 2 1 бые); при Л = — уравнение разрешимо в том и только в том случае 2 когда а = Ь = О, гр(х) = Сг япх+ Сз, где Сг и Сз — произвольные постоянные; 2(о — 2ЛЬ) 2 2 2) вгпх+6, если Л ф х — (а, Ь любые); при Л =— 2+ Лгг л гг ол — 4Ь уравнение разрешимо при любых а и Ь и гр(х) = вгпх+ Ь+ 2гг + Сг сов х, где Сг — произвольная постоянная; если Л = — —, то уравнение разрешимо в том и только в том случае, когда ал + 4Ь = О и гр(х) = Ь+ Сз в1пх, где Сз — произвольная постоянная; 2Ло+ Зс 36 2 1 3 3) + — х + ах, если Л ф — и Л ф г (а,Ь,с лю- З(1 — 2Л) 3 — 2Л 2 г 1 бые); при Л = — уравнение разрешимо, если а+ Зс = О, гр(х) = 3 2 3 = — Ьх + ахз + См где Сг — произвольная постоянная; при Л =— 2 г уравнение разрешимо, если Ь = О и гр(х) = ах — — (а + с) + Сгх, где Сз — произвольная постоянная; 3 5.
Интеерельные уреенения 83 2Л(5е+ ЗЬ) з 4Л~(5а+ 36) з ~ зг)5 ~/155 любые); при Л = — уравнение разрешимо, если За + ЗЬ = О, и 2 г(г= ( — — )гс, 7- г*), Р15 где Сг — - произвольная постоянная. при Л = — — уравнение разре2 шимо, если 5а + ЗЬ = О и гр(х) = а(х — — х ) + Сз х — ы — х где Сз — произвольная постоянная; 5) х+ За 5ЛЬ 3 — Л 3(5 — Л) хз+Ь, если ЛфЗ и Лфб (а,Ь любые); при Л = 3 уравнение разрешимо, если а= О, игр(х) = 6|-х + 1)+Сг, Л где Сг — произвольная постоянная; при Л = 5 уравнение разрешимо, 3 если Ь = О, и гр(х) = Сзхз — — ах, где Сз — произвольнал постоянная; 2 б) я~7~ + ах, если Л ф — (а, Ь любые); при Л =— ЗОЛа+ 7Ь 1 1 7(1 — 6Л) ' 6 6 7 уравнение разрешимо, если 5а+ 76= О, и гр(х) = — -Ьх+Сгхг7з+ 5 + Сваг ~, где Сг и Сг — произвольные постоянные; 7) + 2а + ЛЬ(4 — л) 2 х + Ьх, если Л ф — и Л ф— 2 2 2 2 — Ле.
2 — Л(4 — л) гг 4 — л 2 (а,Ь любые); при Л = — уравнение разрешимо, если ал + Ь(4 — л) = л = О, и гр(х) =, х+ Ьхз + С, где С вЂ” произвольная постоянная; 2(гг — 2) 2 при Л = — уравнение не имеет решений; 4 — л 5Л(14а + 36ЛЬ+ 42с) газ 23Л е -~- ЗОЛЬ+ 35 2Ц5 — 12Ле) 7(5 — 12Лз) 1 (5 (5 Л ~ х — ~( — (а, Ь, с любые); при Л = -~( — уравнение разрешимо, если 15ЯЬ+ 7ьг5(а+Зс) = О, и гр(х) = ахз+ Ьх+ с+ Сг х~7~+ 1 Б где Сг — произвольная постоянная.при Л = --зуг — уравнение раз27'3 решимо, если 15зг'36 — 7ъг5 (а+ Зс) = О, и 84 Гв.
11. Фуннционавьные пространства и интегроеьные уравнения го(х) = ахг + Ьх+с+ Сг и'1з — Г1, у' 5(' где Сг — — произвольная постоянная; ~У(у) у 1у У / У(у) у у о о гр(х) = Сг(з1пх+ созх) + — 1г в1лх+ 1(х) 2 30(Ь вЂ” 1) Л г ЗаЛ 36Л (Ь вЂ” 1) Л 15 15+8Л 3 — 2Л (15+ 8Л)(3 — 2Л)' 8 3 15 Л 71 — (а,Ь любые); при Л = — — уравнение разрешимо, если Ь = 1, и 2 8 17 г гр(х) = — ах+ 1 — 20а+ С(х + 1), где С . — произвольная постоянная; 3 при Л = — уравнение разрешимо, если а = Ь = О, и р(х) = Сгх+ Сг, где Сг и Сг — произвольные постоянные.
5.23. 1) Лг = -„грг = х; Лг = — —, грг = Зх — 4х „'гр(х) 3 1 Зах 3 1 3 3 — 2Л' , если Л ф —, и Л ф — — (а любое); при Л = — уравне- 2 2 2 ние разрешимо, если а = О, и 1о(х) = Сгх (Сг — произвольная 1 постоянная); при Л = — — уравнение разрешимо при любом а и уг(х) = — ах+ Сг(Зх — 4х ), где Сг — произвольная постоянная; вхг+ Ьх 1 2) Лг = —, гр~~ = х, грг = х, гр(х) =, если Л ф —; при 1 Л = — уравнение разрешимо, если а = Ь = О и гр(х) = Сгх + + Сгх, где Сг и Сг -- произвольные постоянные. 5.24. 1) Лг — — —, гог = з1п х; р(х) = а+ Ь соз х + ЛЬпх+ зш х, 1 2,пгЛгЬ и' 1 — Лгг 1 1 если Л ф — (а, Ь любые); при Л = — уравнение разрешимо, если Ь = О, и уг(х) = а + С с4п х, где С вЂ” произвольная постоянная; 1 ох 2) Лг = —, грг = х; го(х) = 2п' 1 — 2е.Л + Ь+ 2пЬЛсозх, если Л ф 1 1 ф — (а, Ь любые); при Л = — уравнение разрешимо, если а = О 2п и гр(х) = Ь(1 + сов х) + Сх, где С вЂ” произвольная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
