1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 16
Текст из файла (страница 16)
в ь4п(х+у) + — сов(х — у) ) 1о(х) =Л 1 Л(~Л) Х(у) у+ Х(х) гЛ(Л) ф О, где гз(Л) = 1 — Лг —; при Л = — уравнение разрешимо, 4 ' и если (г + 1г = О, где У В 5. Интеераеьньье уравнения 2 (С вЂ” произвольная постоянная); при Л = — — уравнение разреши- 2 мо, если (1 — (г — О, и д(х) = Сг(япх — совх) — — (гяпх + Пх) я где Сг — произвольная постоянная; Ля веп (х+ р) + 2 сов (х у) Я(х,у;Л) = 1 4 1 — 3 Л+ р(2х 4Лх — 1) 2) ьо(х) = Л / 3 1(у) е)у+ Дх), если гЛ(Л) ф О, 4 1 1 где ез(Л) = (1 — 2Л) ~1 — — Л); при Л = — уравнение разрешимо, ес- 3 )' 2 пи 1з — — Зуг, где 3) ср(х) = Л)г ( " + совх)(ау+ Ь)ду+ ах+ Ь = + 1 1 + 2пЛЬ сов х + Ь, если Л ф — (а, Ь любые); при Л = — уравнение 2я 2я разрешимо, если а = О, ьо(х) = Ь(совх+1) +Сх, где С вЂ” произвольная постоянная; М(х,у;Л) = " + совх; 1 — 2нЛ гл 1 о при Л = — уравнение разрешимо, если ге ге / ге(у) вшу е1у = ~У(у) в1п2удр = О, зг(х) = Дх)+Сг япх+Сг яп2х, о о где Сг и Сг — произвольные постоянные; вшх в1пу+яп2х яп2у 1 л7Г 5.
26. 1) Ь = О, За + Бс = О; 3 1 2) а= —, Ь=О, сне — —; го* ' Ло' 3 1 а = — —, Ь = О, с ье —„. ./й' ' Ло' 1 1 ес = ~Х(х)™х, Уг = / хХ(х)еЬ, ьг(х) = (х — -) Л+У(х)+Сз — 1 -1 =3 (Сг — произвольная постоянная); при Л = — уравнение разрешимо, 3 4 если 1г = О, ~р(х) = — — 1"г + 1(х) + Сг(х + 1) „где Сг — произвольная 2 постоянная; 1 — — Л+ у(2х — 4Лх — 1) У( 'Л) = ' Ь(л) 86 Гп.
Н. Фуннчипнппьнме ирпстрпнствп и ггнтегупвьнме урггвненил Л р(хмхг) =— гь(Л) где 11 «1 = О«(У1,уг) (Л + 4Л«г) хехг + ЛЛ + «г] + «(хг, хг), 4 г1У? г1Угг «г = О Угуг«(умуг) г1У? г1Уг, -1 — 1 -1 — 1 1б г 3 г1(Л) = 1 — — Лг; при Л = — уравнение разрешимо, если «г + 3 «г = О, '3 и гр(хг хг) = — хг тг «г + «(хы хг ) + С(Зхг хг + 1), где Сг — произволь- 4 3 ная постоянная; при Л = — — уравнение разрешимо, если «г — 3«г = О 4 г 3 и гр(хм хг) = — — хгхг«г + «(хы хг) + Сг(Зхгхг — 1), где Сг — пРоизвольная постоянная. 5.36. 1) Л„= ~ — + ти), грп ги ягп ~ — + ти) х (и = О, 3,2, ); 2) Лп = из?гг, гр„= гбпяих (и =1,2,...); 3) Ли (и = 1,2,...) — положитепьные коРни УРавнениЯ 16 ъ?Л = = — ь«Л, р = ешь?Л х; г 4) Л„= — — рг (и = 1, 2, ...), где д„— положительные корни урав- 1 нения Ц вЂ” — = 2 с18 Д, гРн = зги Дих + Дн созднх; д 5) Ло — — 1, гро = ее; Л„= — иг.гг (и = 1,2, ...), грп = йп них+ + хи соз ?гих; 3) а = О, Ь = --; 4) а = 6; 5) а = О, Ь = — 1„ 6) а,Ь лгсбые; 7) а,Ь,с любые; 8) 7а+5Ь=О.
5.27. — < а с 3. 1 3 5.28. 1) Лг = 1, грг = 4(хг + хг) + 1; Лг — — — 1, грг = 4(хг + хг) — 1; 4~/3 — б г, 4Л+6 2) Лг рг 1+ЧГЗ(х, +х). Л, = ъ~З (х~г + хг) — 1; 3 1 3) Лг 'рг — —,гнет — + + г г г 4?г' 1+ е' 5.29.
Уравнение не имеет нещестненных характеристических чисел. 3 3 5.30. Характеристические числа Лг = — и Лг = — —, соответстну- 4 4' южане собственные функции грг = 1 + Зхгхг и грг = Зхгхг — 1. Если Л=х-,то 3 я Б. Интпеерааьные уравнение 0) Лп = (п = 0,1„2, ...), грп = яп ~п+ - ) лх; ля(2п + 1)2+ 4 я, / 11 В(1+ее) ' " ' ' " 1 2! (пл)2 — 1 7) Л„= —,, гр„= я1плих (и = 1,2,..). я!и 1 5.37. 1) Лп = —, гр„=япглпх (и=1,2,...); Л„= — 11 — +лп), 111 ( )' 111 12) 1 гл р 2 = соя 11 — +ли~)х (и = 0,1,2,...); 2) Л„= 1 — (и+ — ), грн =соя(п+-) х (и = 0,1,2,...); 3) Л„= ~п+ -) — 1, гр =яп ~11+-)х (и=0,1,2,...) 5.38, 1) Л01 = ~ — ), гр10 = ап(2и+ 1)х (и = 0,1,2,...); Лп( = — 11 — ), грег = соя(2п+ 1)х (и = 0,1,2,...); Лр —— —, 1 гро = 1' 2) Ло = — „гро = 1; Лп =, у1п = соя(2п+ 1)х (п = = 0,1,2,...); Л~ 1 = — ( ), гр~ 1 = оп(2и+1)х (тг = 0,1,2,...).
5.39. Л„= —, грп = ягппх, грп = сояпх (и = 1,2,...), если ял 1 ал и„= ( аг(й) совий сМ ф 0; Ло = —, уо = 1, если ао = (' а/(с)аг1 ~ О- ае о о 1 5.40. р(х) = Л ( С(х,у)1(у) ду+ Дх), где о яа Г7 х соя 1ГЛ(у — 1) 1ГЛ сея 1ГЛ япъГлу соя1Гл(ж — 1) 1ГЛ соя 1ГЛ х < гу, х) у. Глава 1П ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ $ 6. Основные и обобщенные функции Обозначим через У = У(Л'") совокупность всех бесконечно дифференцируемых финитных функций в В". Последовательность (уь) функций из У называется сходящейся к функции д (из У) если: а) сУществУет такое число Л > О, что виРР 1яь С Уп, б) при каждом о ее п" В ~рь(х)::~ О"р(х), К вЂ” + со*1. При этом пишем рь — + у, к — > со в У.
Совокупность У функций с введенной сходимостью называется пространством основных йЗрикпий У. Обозначим через,х = .5Я(В") совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций в В", убывающих при )х) — ~ оо вместе со всеми производными быстрее любой степени )х) Последоватепьность (уь1 функций из 5еназывается сходяп1ейся к функции ~р (из .~), если для всех о н /3 сеп" Рр Рь(х)::4 хрО Ф(х), Ь вЂ” Ф При этом пишем рь — + д, к — + со в .э': Совокупность .зе функций с введенной схадимостью называется пространством основных функций,х'.
6.1. Пустыр й У. Выяснить, есть ли среди последовательностей: 1) — р(х); 2) — р(кх); 3) — ~о (-); й = 1, 2, ..., сходящиеся в У. 6.2. Пусть и = 1 и 1 при -2е <к <2е, Х(х) = 0 при )х) > 2е. Показать, что функция Ч(х) = / Х(р) .(* — р) Ь Ю По поводу обозначений см. с. б — 8. ~ 6. Осло«яме и обобщеннме иуикцие 89 где м, — «шапочкаэ, является основной из У(Л'), причем О < п(х) < 1, 6(х) = 1 при — с<я<с, Ц(х) =Одри Ц > Зс. 6.3.
Пусть Сг - = ( ) Н(х; 2с) — 2с-окрестность ограниченной обяео ласти С и г(х) — характеристическая функция области Сз„ т.е. Ях) = 11 х Е Сз~ и Х(х) = О, х Е Сзя. Показать, что функция 1(х) = ~ Х(р) ы,(х — р) йр основная из У(Л"), причем О < 6(х) < 1, О(х) = 1 при х Е С,; п(х) = О при хЕСз,. 6.4.
Пусть функция 6(х) удовлетворяет условиям задачи 6.2, Н(х) = ) о(х — си), с(х) = —. о(х) Н(х) Показать, что Н Е С '(Л'), Н(х) > 1; е Е У(Л1), О < е(х) < 1; е(х) = 1 при )х~ < с и е(х) = О при ~х! > Зс; ~ е(х — си): — 1. и=.— со 6.5. Показать, что существуют такие функции грз Е У(Л'), б > 1, что уз(х) = 1 при )х~ < б — 1, уз(х) = О при ~х~ > б и )~рз (х)) < С, где постоянная С не зависит от б. 6.6. Пусть непрерывная функция Дх) финитна: 1(х) = О, ~х( > Л.
Показать, что функция ~~(х) = / Щ) м~(х — р) пр (е < Л) основная из У(Л"), причем у, (х) = О при ~х! > Л+ с. Показать, что хсл" Д,(х) ::ф Дх), с — + О. 6.7. 1) Показать, что функция р ~(О) иа-1 ф(х) = — гр(х) — О(х) ~~~ , х гп=1,2, основная из У(Л1), где р Е У(Л1) и и Е У(Л1), и = 1 в окрестности х = О; 2) доказать, что функция ф( ) р(х) — Л(х) р(О) а(х) основная из У(Л'), где Зз Е У(Л1), п(х) — функция из задачи 6.7, 1) и а Е С '(Л1), имеет единственный нуль порядка 1 в точке х = О. 6.8. 1) Показать, что функция Ззз из У(Л") может быть представлена как производная от некоторой другой функции уз из У(Лз) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию Гл.
Ш. Обобо4енные функции / рз(х)дх = О; 2) показать, что всякая функция у(х) из У(Л~) может быть представлена в вике ~р(х) = уо(х) / ~р(х ) дх + у'(х), где ~р~ 6 У(Л'), а ро(х) — любая основная функция из У(Лз), удовлетворяющая условию / <ро(х) с(х = 1. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 6.8, 1). 6.0. Показать, что У С .К и из сходимости в У следует схоцимость в .Ж 6.10. Пусть <р е .К Выяснить, есть ли среди последовательностей: 1) 1 р(х); 2) 1 р(кх). 8) 1 р©; к = 1,2,..., сходящиеся в,К 6.11.
Пусть д 6 Я'и Р— полинам. Показать, что ~рР Е 9'. 6.12. Пусть функция ф Е С '(Лз), ф(х) = О при х < а и ограничена вместе со всеми производными. Показать, что функция ф(х) е "* основная из .9'(Л~), если а > О. Обозначим через У' = У'(Л") совокупность всех линейных непрерывных функционалов на пространстве основных функций У. Всякий функционал у 6 У' назовем обобиценной функцией (из пространства Р'). Обозначим через Я" = Я" (Лн) соеокупность всех линейных непрерывных функционалов на пространстве основных функций .К Всякий функционал у 6 .9' назонем обоби4енной функцией медленноео роста (из пространства .9"). Значение функционала у на основной функции р обозначим через Ц, ~о). Чтобы указать аргумент оснонных функций, иногда вместо у и Ц,1о) будем писать у(х) и Ц(х), у(х)). Последонательность (уь) обобщенных функций из У называется сходящейся к обобщенной функции ( (из У'), если Цю у) — + Ц, р) й — + со для любой у из У.
В частности, ряд из обобщенных функций из +из+ ... + из+... называется сходзпцимся в У к обоби1енной функции у, если для любой д Е У числовой ряд 2 (ими) сходится к Ц,у). й..=1 Сходимость последовательности и ряда в .х'определяется аналогично. Говорят, что обобщенная функция у равна нулю в области С, если Ц, ~р) = О для всех д из У с носителем а С. Обобщенные функции ~, и ~з называются равными в области С, если их разность ~з —,(з равна б б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
