1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 18
Текст из файла (страница 18)
7.14. Вычислить 7" »»»»» для функций: 1) д(а — ~х!), а > О; 2) [х); 3) в1кп в1пх; 4) в»кп совх; Здесь [х) означает целую часть х, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее х. 7.15. Пусть 1(х) — 2в=пориоднческая функция, причем 1(х) = 1 х = — — —, О < х < 2в. Найти 1 .
2 2к' 7.16. Пусть 1(х) = х, — 1 < х < 1, — перисщическая с периодом 2 функция. Найти 1»», та > 1. 7.17. Показать, что — е'"* = ~~» 6(х — 2кк). 7.18. Показать, что — ~сов(2й+ 1) х = ~ ( — 1)"б(х — йя). 4 — ! звз Ге. 1И. Юбебщенкьге фуякчаа 7.19. Пусть 1(х) 6 С" (х < хе) П С' (х > хе). Доказать, что в У'(Нг) ~ф'"1(х) = (~О"~(х)) + <у)„б~ 0(х — хе) + + Щ, бг з1(х — хе)+" + [1'ф ц< б(х — хе), где Й =0,1,...,аг — 1, хз, — 1<х<1, 3) у= О, )х) > 1; у ~~ г ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! 4) у= О, х< — 1, 5) у= (х+1)з, — 1<х<0, хз+1, х >О; в1пх, — я < х < гг, Г <вшх)„ 7) .= О, <х< >к; [О, 7.21. Доказать: 1) )вшх)гг+ <вгпх! = 2 ~, 'б(х — Ьг); 2) )созх<а+)совх! =2 ) б(х — я), У к а з а н и е.
Воспользоваться задачей 7.14, 3) и 4). Пусть ггг аз(х) уг г = у я=о — линейное дифференциальное уравнение порядка га с коэффициен- тами аь(х) б С (Я") и г е У'(Лг). Его обобщенным решением на- зывается всякая обобщенная функция у б У (Й~)„удовлетворяющая уравнению (*) в обобщенном смысле, т. е. ~ аьурб Зз = у,У ( — 1)'(аьйгрб = У З) я=о l з, ь=е '(1( г1 = 1®(х~+ 0) — г"РО(х — 0), — скачок Й-й производной в точке хе. 7.20. Найти все производные функций: Гвшх, х>0, 1) у=~ (О, х<О; 2) у= < совх, х>0, О, х< 0; С 1, х< О„ х+1, 0<х<1, г+1 >1 О, х<0, хз, 0<х<1, (х — 2)з, 1 < х < 2, О, х>2; — я < х < з., Ц >гг.
З 7. Явфферевввроеавве обебшеввьи фуввчвй 99 для любой ее 6 У(В~) *1. Всякое решение уравнения (*) можно представить в виде суммы его частного решения и общего решения ссютветствующего однородного уравнения. 7.22. Найти общие решения в У'(В~) следующих уравнений: 1) ху=О; 2) о(х) у = О, где о Е С~(Й ) и имеет единственный нуль в точке х = О порядка 1; 3) о(х) у = О, где о Е С и о > О; 4) (х — 1) у = 0; 5) х(х — 1) у = 0; 6) (хг — 1) у = 0; 7) ху=1; 8) ху=Я вЂ”; 1 9) х" у = О, и = 2,3,...; 10) хгу = 2; 11) (х+1)гу = О; 12) (соя х) у = О.
7.23. Найти общие решения в У'(Вз) уравнений: 1) у'=0; 2) у~ ~=0, го=2,3,... 7.24. Доказать, что общим решением в У'(Нг) уравнения хну<"О = О, и ) гп, является обобщенная функция вь — 1 в-1 ы — 1 у = ~~ аьВ(х)х™ ь 1+ ~~ Ььб~~ 1(х) + ~~~ сьхь, ь=е Й=1в я=о где ад, Ьь, сь — произвольные постоянные. 7.25. Найти общие решения в У'(Вз) уравнений: 1) ху=1; 2) ху — У' —, 3) ху =0; 1 4) хгу' = 1 5) ув = Б(х); 6) (х + 1) ув = 0; 7) (х + 1)гув = 0; 8) (х + 1) ув' = О. 7.26. Доказать, что общим решением в У'(Яг) уравнения ху = 1 = в18п х является обобщенная функция СБ(х) + Зз —, где И' ) («> — з> ( ы ! 1(~ И>1 7.27.
Доказать, что если 1 Е У'(В') инвариантна относительно сдвига, т.е. (~,у) = Щх),у(х+ Ь)), где Ь вЂ” любое вещественное число, то у = сопвФ. Указание. Доказать, что у' = О, и воспользоваться задачей 7.23, 1). ЮИногда для краткости выражение «удовлетворяет уравнению в обобщенном смысле» заменяется выражением «удовлетворяет уравнению в У'ж 1ОО Гк. П1. Обобщенные функции 7.28.
Найти решение в У'(Н') уравнения: аХн + ЬУ'+ с( = тб+ пб', где а, Ь, с, т, и — заданные числа. Рассмотреть случаи: Ц а=с=в=1, Ь=т=2; 2) Ь=п=О, о=т=1, с=4; 3) Ь=О, а=в=1, т=2, с= — 4. бу 7,29. Доказать, что система — У = А(х) у, где матрица А(х) Е 6 С'"'(1е ) имеет в У только классическое решение.
7.36. Доказать, что уравнение и' = 1 разрешимо в У (ге') при любой 1 Е У'(Я~). У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 6.8, 2). 7.31. Доказать, что уравнение хи = 1 разрешимо в У'(11е) при любой ( Е У'(Д'). У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 6.7, Ц. Т-32- Доказать, что уравнение хзи'+ 2и = О не имеет решений в У'(В~) (кроме О). 7.33. Пусть В(хыхз,...,х„) = В(хз)...д(хн). Показать, что деВ = б(х) = б(хы ..., х„) . У'(Д") 7.34. На плоскости (х, у) рассмотрим квадрат с вершинами А(1, Ц, В(2, О), С(3, Ц, Р(2, 2).
Пусть функция 1 равна 1 в АВСР и О вне его. Вычислить ухну — ~", 7.35. Пусть область 0 С Вз ограничена кусочно гладкой поверх- ностью Я и дана функция 1 6 С'(С) й С'(Сз) „где Сз = Дн'1С. Дока- зать формулу — — ~+[Дясоз(тз,хе)бю е'=1,2,3, дх; дх; в У (Гез), где и = ие — внешняя нормаль к Я в точке х Е Я, а [1[з— скачок функции 1(х) при переходе извне через поверхность Я: 1пп 1(х') — 1пп 1(х') = [Дя(х), х е Я. е'еое 7.36.
Доказать, что если,1 6 Сз(С) П С (С~), где Сз = 1ен'1С, то справедлива формула Грина Ь1 = (СЪ1) + ~ — ] бз+ — [[1]збз). 6 7. х!ифференцирооание обобщенных фрннций 101 Ответы к 2 Т 3) — б! '!(х — хе); 6) 26!СО в!(х); 9) ( „,И'в(*) 7.6. 1) — 6(х); 2) б<™-1!(х — хе); 4) 26!'" '!(х); Ь) в!ръх; 7) о(х) совх; 8) б(х) — В(х) апх; 10) (нх — 7с)!б!" 1>(х); 11) б! 1!(х)+аб! ~!(х)+...
+а™ 16(х)+а о(х)е'*. ТТ. 1) р' = в!3пх в!пх+ !х(совх, ро = 2а3пхсовх — !х(в!пх, ри' = 46(х) — 3в!3п х ап х — !х) сов х; 2) р' = в!3пх сов х — !х( апх, ри = 26(х) — 2в!3пх ап х — !х( сов х, ри' = 26'(х) — 3в!р~х совх+ (х! в1пх. 7.10. 2) Р е ш е и и е. — Е СО 1 ((--') )=-(--")=-"~ -=--(и) '-= — ОΠŠ— Е ОО !! ВС(~) + У(-~) !! (0) ~ /' .'+О е Е-+О ,у у хх — СО Е (~ У) (О-Е(Е)Е, = е (Н ~ Е~ ~ — Н ~ Е~ ~) — (я —,,с)= (-Π—,с), еео. Т.14. 1) б!'" 1!(х+а) — 6!ЕО 1)(х — а); 2) ~ б! 1>(х — !с); ОО й= — ОО 3) 2 ) ( — 1)вб< '!(х — !сз.); 4) 2 ~', ( — 1)ыыб! '! (х — (2!с+1) 1 Е= — ОО 2г СО 7.15. Х' = — — + ~ б(х — 2!!х).
2н 7.16. ~'=1 — 2 ); б(х — 2й — 1), 1<~>= — 2 С б! 1!(х — 2й — 1), т=2,3,... 7.37. Локазать, что если 7(х, й) Е Сх (й > 0) и 1' = 0 при Ф < О, то в В"~ справедливы формулы: 1) П,У = (П„Д+ 6(!) Цх,О) + б'(!) У(х,О); 2) — — а~с1! = ) — — а~ЬУ~ + б(!) У(х,О). 102 Га Ш. Обобщенные функции 7.1Т. У к а з а н и е. Воспользоваться 7.15. 7.18. У к а з а н и е. Воспользоваться 7.17.
7.20. У к а з а н и е. Воспользоваться задачами 7.13 и 7.19. (ыуг) 1) р' = В(х) совх, р( ) = 2 ( — 1)е '6( гь)(х)+0(х)(в)пх)( ), в=1 т = 2, 3, ..., где [т/2] — целая часть —; ((ыег) уг) 2) у' = б(х) — 0(х) в!пх, р""') = 2 ( — 1)ь ~6( г"+')(х)+ +0(х)(совх)("'), т = 2,3,...; 3) р' = 20(1 — ]х]) х+б(х — 1) — 6(х+1), ун = 20(1 — ]х]) — 26(х+1)— г — 26(х — 1)+6'(х+1) — 6'(х — 1), р("') = ~,', [( — 1)ь гб("' ь) х „, (3 — й)! х(х+1) — 6( ь)(х — 1)], т= 3,4,...; 4) р'= В(х) — В(х — 1) + 2В(х — 1)х, рн = 6(х) +6(х — 1) +20(х — 1), у(™) =26(ы з)(х — 1)+6(ы г)(х — 1)+6(ы г)(х), т=3,4,...; 5) у' = 20(х + 1)(х + 1) — 20(х), р" = -26(х) + 2В(х + 1), р('") = — 26( г)(т)+26(™ в)(х+1) т=3 4 6) р' = 20(х) х — 4В(х — 1) — 20(х — 2)(х — 2), рн = 20(х) — 20(х-2)— — 46(х — 1), у( ) = 26('" з)(х) — 26( г)(х — 2) — 46( г)(~ — 1), т=3,4,...; (ы(г] 7) у' = В(и — ]х]) совх, р(~) = 0(к — ]х])(в1пх)(~) + ~ ( — 1) х в=1 1еб( )( + .) — 6(™ гв)( — ц т — 2 3 8) у' = 0(я — ]х])в)япх совх, р(ы) = 0(и — ]х])в)8пхв)п( )х— (ы/г) — ( — 1)~(26(ы г~)(х)+6( -гь)(х+и)+6( '-гь)(х д)) т ь=г Т.22.
1) Р е ш ение. Пусть решение у е У' существует. Тогда (р, х(г) = 0 для любой ~р 6 У. Найдем это р. Имеем (р, (г) = (р, (г(0) г)(х) +(г(х) — (е(0) г)(х) ), где г) Е У, г)(х) ив в 1 в ( — е,е] и г)(х) = О Вне ( — Зе, Зе], (у,(е) = (г(О)(у,г)(х))+ р,х ~ ~ ) = р(0) С+(у,х(б(х)), (ее) где С = (р,г)) и ф(х) = (* (' "( ) е У (см. решение задачи 6.7). х В силу (е) (р, хф) = О.
Тогда из (ее) имеем (р, (р) = (Сб, ~р) для всякой д Е У, т.е. р = Сб(х). Осталось заметить, что Сб(х) удовлетворяет уравнению ху = О; з" 7. Лифференцироеание обобигенних функций 103 2) СБ(х) (У к а з а ни е. Воспользоваться задачей 6.7, 2).); 3) 0; 4) Сб(х — 1); 5) Сгд(х) + Сгб(х — 1); 6) Сгб(х — 1) + Сгд(х+ 1); 7) СБ(х) + Я вЂ”; 1 8) СБ(х) +.Зг —; 1 т — 1 9) ~" Сзб®(х) (У к аз ание. Свестикрешениюуравнениявида хг(х) = Дх), обозначив последовательно х 'р(х) = г(х), х гр(х) = = г(х) и т.д., и воспользоваться результатом задачи 7.22, 1).); 10) Соб(х) + СгУ(х) + 29е —, где Я вЂ” — обобщенная функция из 1 1 задачи 6.25; 11) Себ(х+ 1) + С,б'(х+ 1); 12) ~ , 'Сьб (х — — — Йзг). г= — оо 2 7,23.
1) Р е ш ел и е. Пусть решение р б .У' существует, т,е. (у„уг') = 0 для любой р Е У. (*) В силу результата задачи 6.8 (2) любая ог б У может быть представлена в виде ео(х) = ого(х) ~ ог(х) еЬ + <р',(х), где ~рг Е У, а ~ре(х) — любая основная функция из У, удовлетворяющая условию г( 1оо(х) еЬ = 1. Следовательно, ь. ~+.~. и)=ь,"~~. +(ы~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
