1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 21
Текст из файла (страница 21)
2) Р[д] = 1; 3) 1[1] = (2я)"д(С); 4) Р [б(х — хо) + д(х+ хо)~ 2 =созхо, в=1; Р [д(х — хо) — д(х + хо) ) = з)пхос и = 1. 21 9.7. Доказать в 5"'(Л")о 1) Р[Вад] — ( Ц)а; 2) Р[х»»] = (2о)»»( $))а)1»ад(с)- 9.8. Вычислить преобразования Фурье следующих функций (и =1): 1) В(Я вЂ” ]х]); 2) е "; 3) егв „. 4) е ' б) Дх)=0 при х<0, Дх) =й, й<х<й+1, А=О 1,...
9.9. Доказать (п = 1): 1) Р[В(х) е ' ] = , и > 0; а — вд 2) Р[В( — х)е *]=, п>0; а+Ц 3) Р[е ')*)] =, а>0; аз+Со 4) Р[ а ] =2яе а)С), а>0; [аз + хо) х" ~1 1 Г(о) ~ (а+»О 9.10. Воспользовавшись формулой Сохоцкого (см. задачу 6.20) и результатами задач 9.5 и 9.9, 1) и 2), доказать: 1) Р[В(х)] = яд(~) +1.У вЂ”; 2) Р[В( — х)] = лд(~) — 1дз —. д' З У.
Преобразование Фурье обобщенных фуннииб 117 9.11. Вычислить преобразования Фурье следующих обобщенных функций (и = 1).' 1) д®, й=1,2,...; 2) 0(х — а); 3) в18пх; 4) Я вЂ”; 5); 6) ф; 7) д(х)х~, й=1,2,...; 8) ~х)е, а=2,3,...; 9) хайя —, 9=1,2,...; 10) хео, й=1,2...„.11) хМ >(х), пь ) й; 1 1 12) йз —, где дз — определена в задаче 6.25; ей хе 1 1 13) Я вЂ”, где йз — определена в задаче 7.10; з' хз 14) 2, аеб(х — 1е), ~аь~ < С(1+ (Ц)'"; 15) друз>(х) (определение дробных производных см.
в 38). 9.12. Доказать, что У [Я вЂ” ] = — 2с — 2 1и ф, И где 1 ОО г 1 — сови г сова с=у ди — ~ — Ии — постоянная Эйлера, и / и о 1 а Я вЂ” (х 6 Вь) определена в задаче 7.26. (х! 9.13. Доказать, что Г[У 1 ] = — 2я1п К! — 2 (х~а где обобщенная функция 4з —, х Е Вз, определяется формулой )х~а ~ )а~<1 (х)>1 1 Оь о 1 и,уо — функция Бесселя. 9.14. Решить в .9" интегральное уравнение / и(~) сов ~х Их = 6(1 — х). о 9.15.
Вычислить интеграл — и. в!пах сйпбх з о 118 Гл. Ш. Обобщенные функции Указание. Воспользоваться равенством Парсеввля и задачей 9.8, 1). 9.16. Доказать, что 9.17. Доказать: 1) Р1 1 1 = 2 " 4 б Лз; ('н-Гг') 2) Р()х! "]=2" "янгз фь ",СВЛ",О<9<и. Г(-'2) Указание. Воспользоваться формулой (2) при у' = ]х] " в .к' (Л ) и ггг = е 9.18.
Доказать„что Е ~-~ = —, г", = с + ггг Г11 2ггг Ы с' 9.19. Вычислить преобразование Фурье обобщенной функции 1 4ггЛ ьн' — г)я г п = 3, определенной в з 6. 9.20. Методом преобразования Фурье доказать в .гг"(Лг), что: 1) у = соб(х) Г-сгог(х)+... +со гоГ" П(х) — общее решение уравнения х" у = О, и = 1, 2, ...; гн — 1 гн — 1 н — 1 2) 2 аехь+ 2 ЬеВ(х)х " '+ ~', сь61" 1(х) — общее решен=о я=о Е= го ние уравнениях"у" 1 = О, и > гп.
У к а з а н и е. Воспользоваться задачами 7.23, 2) и 7.24. 9.21. Доказать в Я'(Л"+ (х, 1)), где (т, 1) = (хм ...,хн,1)г 1) ~'*(б(х, 1)] = 1Ы) . ЙГ); 2) Л. ~',",* "~ = —" .(Л*, )]; 3) К,[В(а1 — $х$)] = 2В(1) Гйв —, и > О, в = 1; 4) Л (У(Х)б(Е)] = р'(УН4) б(Г), У б.~'(Лн) 9.22.
Доказать в .гг'(Л"+ )г 1) РРах*и(*,у)] = .(( ) Р,'В 2) Г,(Р.,"РоГГД = ( — ф Л (Рго'Я. 9.23. Доказать, что в .У'(Лз) Š— Г (В(1) Š— ~ 4 Г] — ) Е е Лен Г) ) 2азlке У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (3) и задачей 9.8, 2). б д. Преобразование Фурье обоби(енньгх Функций 119 Ответы к 39 2) «)к †(~)(4ав).
9.8. 1) 2 4) «,.)я ее(( -л))4. 3) «/те — '« — ))4. 9.24. Показать, что в,к'(В"+") Р ~ [д(1) е в'~4( '1 = д(()( ' 1" е-( ) )(4а*г) У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.23. 9.25 Показать, что в л" (ВЯ) Г-'~В(1) ""'б'1 = — ' д(о( — [х[). У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.8, 1). 9.26. Показать, что в Я'(Вз) †[д( ) з)ва[б[(1 д(а( — [х[) Ю ) г лзгл."~.Е' У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.16.
9.27. Показать, что в .9" (В4) г / ( з(вафь~ д(4) а[б[ ) 4лаз( (здесь Явь — — (х г [х[ = ае)). У к аз ан и е. Воспользоваться задачей 9.19. 9.28. Пусть ) — финитная обобщенная функция и г) — любая функция из У, равная 1 в окрестности носителя ) . Показать, что функция )(х) = (Я),г)(б)ее("Е)), х = х+(у: а) не зависит от г); б) целая; в) 1(х) = г'[)[. 9.29.
Показать, что если Х и д финитныи (*д = О, то либо ( = О, либо д = О. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.28. 9.30. 1) Показать, что Р[б(х) . 1(у)) = (2я)га1(б) б(п); 2) обозначим б-функцию на гиперплоскости (о,х) = 0 пространства В" через бЯо, х)), так что (б((о,х)),гр) = ( (огЬ, гр е У(Вн).
(о,л)=с Показать„что К[б(огх«+ азха)] = 2яб(пзбг — о«бз). 120 Гл. 1П. Обобигенные функции 5) Решение. оо я+1 оо )Щ = ~й / ег*~гЬ = ~~à —.е' ~ (ег' — 1) = я=1 я=1 гс Еà — 1 Гггг ЕГŠ— 1 И Е и ге 3 гяе без Я=Г Гг=г ою ая — ряд сходится в у', так как 2 —,, сходится равномерно в Вг. кя 9.11. 1) ( — гс)"; 2) яд(с)+ге о дз-; 3) 2г'Я вЂ”; 1з' 1 4) гкьзЯп~; 5) ~гк+ЙГзгйпб.; 6) 2(У-~ = — 2 — з; 1 00 7) ( — г)" [яд(с) +г'дз-~ 8) ( — г) 2ябг"Г(С), й четное, ( — г)" Г2(дз-), и нечетное; 9) 2( — 1)Я 1 Фс 1) К). 10) 0; 11) ( г)Я+ог ~ ~го — Й. 12) ф, (--ч- 13) Решение. В силу задачи 7.10, 4), второй из формул (4) и задачи 9.11, 12) 14) Решение.
В силу результатов задач 6.25, 2), 7.12 и 9.6, 1) Р ~~Г азу(я — й), гр(с) = ~~г аяд(я — А), Г(гр(Д (аяег"о,гр(с)) = ~~Г аье о,гр(с), гр е 5о(й ); 15) Решение. в'[д ~ ~~ = К [У Г7з е д~) = Р[Д7з е д) = К[(.г"Г7з е д)') = =.[[","',)']= ' (г.,в~= = — ' М= — '("-.') ~ .'"'" 9.14. — —. ГГ С 9.15. — ш1п(а, Ь). 2 згп Щ ф бУ. Преобразование Фурье обобщенных уруннииб 121 9.20. Р е ш е н и е.
Из Е [хо у1'"1) = О, в силу первой из формул (4), Е1о) <1(1ое1 = О. Отсюда в силу результатов задач 7.23, 2), 9.7, 2) и формулы (3) г <р( 1(х)) = о+о 1+... +о„г4а д1 1 =Раб(х) +Аб'(х) + ... +д„(б1" О(х). Отсюда в силу результатов задач 7.23, 2) и 7.6, 10) от — 1 ов-1 и — 1 у = ~ ~аьх~+ ~ бкд(х) х к ~ + ~~ сьб1к "О(х). с=о к=о а=та 9.21.
1) Р е шеи не. В силу формулы (5) и определения прямого произведения (см. 2 8) Щб(х, Г)) (~, 1), ср((, 1)) = <б(х, 1), РЕ ((р(~, Г)) (х, 1)) = в(,Й((' вивт((в(О) = ( т(( ° )а = (т((( в(в(т((в((; е ~~ в 1 !~ г 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г т ~ ~~ г 1 ~ ~~ ~~ ~ ~ ! ! ~ 1! 2) Р е ш е н и е. В силу формулы (5) и определения производной обобщенной функции (см. 2 7) г Я г("")((, (, ) = (- (-(Л*, (, — т(т(в.в(() = =(-»"<Л*. (тв <' (ва()) =(~ т(Г(*,в((, ).
(гйпгф) 9.27. Г ~ ~ при ь' ) 0 и и = 3 вычисляется так: ~ ~а 1 т1 е~) =1 т (ра вр1 т'""'а.татар= 1зш Щ! (с'( и-в о о п т — — 1пп — ~ соз1р~ е (1ие1р= 2 . д г и дх з' о — т тн 2вг . д ГГ = — — йгп — ц сев гре(оадрг(и = Г и — нх дх — то тн вг . д гг = — — 1пп — ц <сокр(и — х) + совр(и+ 1)) г1ре1и = е я-вес де — то т д ( зап В(и — Г) з(п В(и + 1) ) — — 11ш — у + (1и = Л дв/ и+2 2(г д 2(гх 2вгз = — — — д(е — 1) = — б(т — 1) = — бг(х), т = Ц.
т д$ т г У к а з а н и е. При переходе к пределу воспользоваться задачей 6.19, 4). 122 Гл. Ш. Обоб«иеиные фуикиии З 10. Преобразование Лапласа обобгценных функций Обозначим через У+(а) совокупность обобщенных функций Дс) из У'(Л~), обращающихся в нуль при 1 < 0 и таких, что Дг) е ~ б Я' при всех а > а. Преобразование Лапласа Я(р) обобщенной функции 1 из У+(а) определяется равенством Я(р) = г'(1(с) е )( — и«), о > а. При этом «' называют ориеииолом, Я' — изображением и этот факт записывают так: з'(1) е — « ='Р(р), > а; здесь р = о + ие. Функция Х(р) аналитична в полуплоскости о > а и удовлотворяет следующему условию роста: для любых е > 0 и ое > а существуют такие числа с,(ое) > 0 и т = т(ое) > О, что /Я(р)) < с (ое) е' (1+ ф)", о > оо.
Справедливы следующие формулы: (-1)" Д1) е — «Феб(р), п>а, т=0,1,...„ ~< 1(1) + — «р"'Х(р), е > а, т = 0,1,...; У(1) е"'+ Х(р — Л), > а+ Ве(Л); ДМ) +« — Я(~~), о > йа, к > 0; Д1 — т) + — «е Я(р), а > а; У(п*) (1) + — +, о > а, т = О, 1, ..., ~Ы тле У<„,1 — т-я первообраэнея у из У' (а); у*у)(1) е .У(р)У(р), >,, р(1) е — «У(р), о > а; ы «З ~+«е~ — р«ормула обраи«еиил для преобразования Лапласа, интеграл не зависит от о' > ао > а, т = т(ое). В задачах 10.1 — 10.9 и 10.11 — 10.14 доказать утвер«клонил. 10.1. Если Д1) — локально интегрируема в й~, у(1) = О, 1 < 0 и у(1) = 0(е"), 1 — + оо, то у Е У+(а) и я(р) = ( д1) е ~лсИ, н > а.
е З 10. Преобразование Лапласа обобеиеннмх фднниий 123 10.2. Если Х е У+(а), 1 (1) в — е Я'(р), о > а и функция Я(о + йа) абсолютно интегрируема по ю на Л при некотором и > а, то в этом случае формула обращения принимает вид а.~-зсо Д1) = — ~ Я(р) е"~др. о — асс 10.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
