1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 23
Текст из файла (страница 23)
У к а з а н и е. При нечетных и воспользоваться формулой д зш!С)1 К! и задачей 9.27; при четных и применить метол спуска по переменной хаас. 11.18, Доказать, что У(х,г) = — 0(ае — /х!) е~сос *~де 1 — фун- 1 даментальное решение оператора га д Ь д Ц,— Ь вЂ” — — —, где а,Ь>0. дх адС У к а з а н и е.
Воспользоваться формулой а+ссс 1 е е" — / — Не = 0(т), ес > О. глс' / е а-асю 11.19. Доказать, что: 1) 6'(х, 1) = — 0(1) В( — х) е'"+~ — фунламентальное решение опе- д' д д — — а — — Ь вЂ” +аЬ„где Ь>0 д*дз д* дг (см. указание к задаче 11.18); 2) б'(х, 1) = 0(1) 0(х) 1о (2т~/хуу) — фунламентвльное решение оператора — — еа в Л . г дх дз б 11. Фрнданенеаавьнме реьаенив дифференчиавьных оаераторое 131 11.20. Е(оказать, что фундаментальным решением оператора 12а — пз является Функция о в~-1 ь, ~-ои,— -р) 2а 1а 11.21.
Е(оказать, что фундаментальным решением оператора Клейна — Гордона — Фока с1 + пзз являются функции еь,е ="' '*"г. ( — Ле-Р), 2а "~а б'(х, 1)— В( -) )) -(=. Е'"'=*') 2ка з(азР— х~ б(,1) = ',® б (.'1' — ) ) ) ь( —.,л -ье) —,—,в(е — иь ', =з, где Ее, Ез -- - функции Бесселя. 11.22. Локазать, что фундаментальными решениями телеграфно* а го оператора ~~ + 2гл — являются функции б'(х,1) = — е ~В(а1 — )х)) Ее т 1з — —, и = 1; -"'а~ — ььа (,4 --Н и ) б"(х, 1)— у "Ф'-ье7' п=2; б(~,1) = (' ) е ™б(п~1з — )х)з)— --'8( -ььь(,л -нч") о=3, ',4:БРТД где Еа(0 = .7а(10, Ез(с) = — ьАзЯ) — - функции Бесселя мнимого аргумента. У к а з а н и е.
Воспользоваться задачей 11.21. 11.23. 1) Локазать, что б'(х, С) = иВ(Г) е аоеб(х — и1в), где (В(1) е ™б(х — е2в),~о(х,1)) = / е ~ы~р(и1в,1) Ж о — фундаментальное решение оператора переноса 1 д6 — — + (в,3гас) 6') + об'= б(х,1), )в) = 1, и > О, о > О; и = 3; 132 Гл. 111. Обобщенные фрикции 2) доказать, что " = «' " --') ) =( " о --. фундаментальное решение стационарного оператора переноса <Л,бг о"о) +об' =6(х), п=3, 11.24. Найти фундаментальное решение уравнения Я * Ь' = Б, где Я из задачи 8.30. 11.25.
Доказать, что если Ф(х,1) — фундаментальное решение оператора переноса й(1г) = аг — + ... +а„— +ег, [а[ф О, д д дхд "' " дх то Г(ь)[ [г(ь — и ( г г+"'+ " ") ( ' ) 1 р-г Г й) а[г(ь — Π— фунламентальное решение оператора 1 "(11). У к а з а н и е. Воспользоваться индукцией по й.
Пусть 1(х,с) Е У'(Лн+г) и <р(х) б У(Л"). Введем обобщенную функцию (1(х, е), рг(х)) Е У'(Л ), действующую на основные фуяиции гр Е У(Л ) по формуле <(1 (х, 1), ~р(х)), рг(1)) = (1, ргрг). Из определения вытекает, что < 'р( ) = д,,(У(х,1),р(х)), 6=1,2,". Говорят, что обобщенная функция 1(х, 1) принадлежипг классу С" по переменной 1 в инпгервале (а,6), если для любой рг Е У(Л") обобщенная функция (1(х,1),~р(х)) Е Сг(а,6). 11.26.
Для фундаментальных решений Ф„(х, 1), и = 1, 2,3, волнового оператора, рассмотренных в задачах 11.15-11.16, доказать: 1) би(х,с) бС побб [О,со); 2) Ю„(х,с) — +О, " ' — +6(х), ",' — +О при 1 — ++О М„(х,Ц дгб;.(х,Е) У'(Л") 11.27. Для фундаментального решения Р(х,с) оператора теплопровоцности (см. задачу 11,12) показать, что В(х, 1) — г Б(х), 1 — + +О в У'(Л"). 11.28. Для фундаментального решения оператора Шредингера (см.
задачу 11.14) доказать, что 6~(х,1) — + -гд(х), 1 — + +О в У'(Л"). 11.29. Для фундаментального решения из задачи 11.18 доказать: 1) а"(х, 1) Е Се по $ б [О, со); б Л. евунданенепольные реи»ения дифференциальных операторов 133 2) б'(х,1) — э О, ' — + б(х),,' — + --б(х), 1 — + +О в У'(Лг).
11.30. Лля фундаментального решения из задачи 11.13 доказать, что В(хД вЂ” + б(х), 1 — + +О в У'(Л'). Ответы к 211 11.1. Единственность. Очевидно, Ю(х) 6 У+. Лля и = = Г- б', где б'* е У+ — другое фундаментальное решение„имеем Х(В) и = О. Свертка йь б' существует (см. формулу (8), 28). Имеем и = и * б = и * 1(гг) е» = ЦВ) и * Г= О. Следовательно, б" = дй -4» 11.3.
1) В(х); 2) В(:е)хе»; 3) В(х)(е — е г»); 4) В(х) ег ьйпх; 5) — 1ео* — е '»бг (соз х+ и'3 з1п х~й; Заг А' 6) ( ) (1 — е")г; 7) — (зЬ ах — е1п ах); 8) — (х сЬ х — зЬ х). В( ) , В( ) 2аг 2 11.12. Р е ш е н и е. Применив преобразование Фурье Р» к равен- ству — — а Ьб'= б(х,1)„в силу результатов задачи 9.21, 1) и 2) и Ве г * формул из 2 9 получим — + а~ф~е" = 1(~) ° б(1), где. бтЦ,1) = г' (б(х,1)).
Пользуясь формулой для б(1) задачи 11.2, 1) с заменой а на агах, заключаем, что б'(~,1) = В(1)е ~С< е. Отсюда в силу задачи 9.24 б(. 1) = р' ГбтЫ = В(") е И /(е О (2аь/иг) 11.15. Указание См. решение задачи 11.12. Лля искомой Я(1) б Сг получим задачу Яв+ аг(гЯ = О, Я(О) = О, Я(О) = 1. зьп оСе Отсюда Я(х) = — и, следовательно, аб б'1(61) =в(1)'' О. Палее воспользоваться задачей 9.25. 11.24. — е ледгс~ ~сози4 — зшигй, если 41 — Сеьг ) О, где »ге~с- »' 21, Глава 1У злдлчл коши $12, Задача Коши длн уравнения второго порядка гиперболического типа 1.
Задача Коши на плоскости. Задача Коши для уравнения а(х, у) и + 26(х, у) а „+ с(х,у)п„„+ Н(х, у) и + +е(х,у) вз+ Дх„у)и= с'(х,у) (1) с условиями и!г =но(х у» д',"~ =и1(х у) д1 ~г состоит в следующем. Пусть в области В задано уравнение (1) гиперболического типа ((з — ас > О) и на кривой Г, которая принадлежит области Р или явтиется частью границы области В, заданы функции но(х, у), и1(х, у) и направление 1(х, у). Требуется найти функцию а(х, у), которая в области В является решением уравнения (1) и на кривой Г удовлетворяет условиям (2).
Если в каждой точке кривой Г направление 1 не является касательным к кривой Г и касательное направление к кривой Г не является характеристическим,то в области В„ ограниченной характеристиками, проходящими через концы кривой Г, при достаточной гладкости коэффициентов уравнения (1) и данных условий (2) существует единственное решение задачи Коши (1), (2). 12.1. Пусть на интервале (а, Ь) заданы функции д Е Сз, д' -„ь О, ао е Сз, и, ~ С~. Доказать, что задача Коши и,„=О, а<х<Ь, с<у<а; и1„=,~.> = ио(х), а,!о=,~,.1 = из(х) имеет единственное решение о '(о) и(х у) = ио(х) + / из(() д'(~) И6 где с = 1п( д(х), Н = зцрд(х), д ~(у) — функция, обратная к функции д(х).
б И. Задача Коьоье дая ураопеиия оиперболичеекооо типа 135 12.2. Пусть на интервале (-1, Ц заданы функции ио Е С~, и1 Е С~. Локазатьч что задача Коши и*, — и„р = 0; и!я=о = ио(х), ир[р=о = и1(х) имеет единственное решение в квадрате ([х — у! < 1, [х + у! < 1). Показать, что этот квадрат является наибольшей областью единственности решения поставленной задачи. 12.3.
Показать, что решение задачи Коши и „=О, — со<х, у<ос; и[р „— ио(х), ир[р=о = иь(х) существует только тогда, когда ио(х) Е Сз(Л~), а и1(х): — сопзс. Показатрч что при этом решение поставленной задачи не единственно и все решения этой задачи можно представить в виде и(т,у) = ио(х) + Д7/),~(О) + у[иь(О),1 (0)! где Ду) — любая функция из класса С (Н~).
12.4ь Локазатрч что решение задачи Коши ир=О, [х[(1, 0<у(1; и[р ее = О, ир[р ее —— иь(х) существует только тогда, когда из(х) Е С( — 1,1), хиь(х) Е С'( — 1,1), из (х) — четная функция. Показать, что при этом решение поставленной задачи единственно ер и и(х, у) = 2 / сид(с) ьХс. 12.5. Показать, что решение задачи Коши * =О [я!(1 [у[<1' и[р,ь = [т!'", и,[р,ь = 0 существует только тогда, когда о = 0 или о ) 6. Показать, что при этом решение поставленной задачи единственно и и(х, у) = [у[аьз.
12.6. Показать,' что решение задачи Коши и — ирр ьа 6(х+ у), — со < х, у < оо; и[рь р = О, и,[рь р = ир(х) существует только тогда, когда ир(х) — Зхз = сопяи Показать, что при этом решение поставленной задачи не единственно и все решения этой задачи можно представить в виде и(х,у) = х — у +1(х — у) — 1(0) + (т — у)[иь(0) — 1'(0)], где Дх) — любая функция из класса Сз(йь). Га. 1'у". Задача Каша „, х и!р=з.
— — О, ив~у=в =е ", х< 1. 12.1З. 1) хихх — пру+ — их — 0; 1 х— и!у=а = з:, из~у=о = О, 2) хи„— уирр — ир хх 2х; з. и~у — — — вш х, и .~р — = сов х, х > О. 12.14. хихх + (х + у) ихр + уирр — — О; з 3 и~р=г~х = х, их!р=з/ = 2х х > О 12.15. их, + 2(1+ 2х) и у + 4х(1 + х) ирр + 2ир = О; п~. а — — у, и ! -о— - 2, !у!<оо 12.16. 1) хзи „вЂ” узирр — 2уир — — О; и! — у=у, и Д вЂ” з — — у, у<0; 2) и х. 4х ирр — и =0; з х и~х-з = уз+ 1, их~а-з = 4, )у~ < оо. 12.17.
хзи, — 2хУи,р — ЗУзирр = 0; и) -д — — О, иу(у-з — — ихт, т > О. 12.18. уи +х(2у — 1)и — 2хзирр — уи,+ (и +2хир) =0; х * 1+2у и ~р — =1, х>О. х>О и1р — а = х 2 В задачах 12. 7 — 12. 19 требуется найти наибольшую область, в которой поставленная задача Коши имеет единственное решение, и найти это решение. 12.7. и,р = 0; и)ух х =О, ир~,„-хх = Дх~, Ц < 1. 12.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
