1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Так как, в силу (о), (у, фд) = О, а (р, уге) = С, то (у,уг) = С / ~рсЬ = (С,уг) для любой угу У, т.е. у = С; 2) Со 4 Сгх+ ... ц С„, гхо г (У казан не. Свести к решению уравнения вида г' = Дх), обозначая последовательно у( 0 = г, р~ г1 = г и т.д., и воспользоваться результатом задачи 7.23, 1).). 7.25. 1) Сг + СгВ(х) +1п ~х); 2) Сг + СгВ(х) — Вг —; 1 3) Сг + Сгд(х) + Сзб(х); 4) Сг + Сгд(х) + Сзб(х) — Я -„ 1 5) Со+Сгх+В(х)х; 6) Со+ Сгх+ СгВ(х+ 1)(х+1); 7) Со + Сг х + Сг В(х + 1) + Сэ В(х + 1) (х + 1); 8) Са + Сгх+ Сгхг + СзВ(х+1)(х+ 1)г Гл. Ш.
Обобщенные Фрнниии 7,28. 1) В(х)е *(1+х); 2) -д(х) вш2х; 3) д(х)ез*. У к а з а н и е. Искать решение в виде д(х) а(х), где е Е Сз (11')— искомая. 7.34. — 26(х — 1,у — 1)+26(х — 2,у)+26(х — З,у — 1) — 26(х — 2,у-2). 38. Прямое произведение и свертка обобщенных функций прямым произведением обоби1енных фрнкиий 1(х) ~ У'(л") и д(р) 6 У'(ге") называется обобщенная функция Дх) . д(у) из У'(П"+ ), определяемая формулой (1(х) - д(у),ар(х, у)) = (К(х), (д(у), ср(х, р))), 1о й У(П"+~). (1) Прямое произведение коммутативно„т.е. Дх) .
д(р) = д(р) У(х) и ассоциативно, т.е. (У(х) д(р)) й(а) = Х(х) [д(р). й(.И. Если ~ ~ .х'(В") и д 6 .У'(Л ), то Дх) . д(у) определяется по формуле (1), где ~р с .9'(гет+"), и принадлежит 5е'(Яы+"). Произволная прямого произведения обладает свойством П (Дх) д(у)) = П"1(х).д(у); П~Ц(х).д(р)) = Дх) Вид(р). (2) Если д(х) й У'(ге") и о(х) й У'(Й"), то обобшенные функции д(х) б(1) и — о(х) .6'(1) называются простым и двойным слоями на поверхности 1 = О с плотностями д(х) и о(х) соответственно.
В случае непрерывных плотностей эти определения слоев совпадают с определениями, приведенными в а 6 и а 7, т.е. д(х) б(1) = д(х) 6(1) и — о(х) . б'(1) = — о(х) 6'(1). Обобщенную функцию 6(а1 — ~х1), а > О, из У'(гее) определим равенством б(ай — ~х~) = В(1) 6(а1+ х) + В(1) 6(а1 — х), (3) где обобщенные функции В(1) 6(ос+ х) и В(1) 6(а1 — х) есть результаты линейных замен переменных В = 1, с = ас х х в В(д) ° 6(с), т.е. (д(1) 6(ас + х)„у) = / ~р( — ай, 1') сй', о ОО (31) (д(1) 6(ас — х), ~р) ~,р(ад В) е(1 о 8.1. Локаэатгс вирр(Х(х) ° д(у)) = вирру х вирр д, 8.2.
Показать, что в У'(Я"+1(х, Ф)): 1) (из(х) ° б(Ф), у) = (и1(х),у(х, О)); б 8. Прямое произоедение и ееерпгна обобигенных ~данина 105 2) (ио(х) б (1),97) = — ио(х), У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (1). 8.3. Доказать: 1) Ве(х, 1) — - простой слой на оси $ = 0 плоскости (х, 1) с плотностью д(х); 2) — Вм(х, 1) — двойной слой на оси 1 = 0 с плотностью В(х). У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 8.2. 8.4. Показатге 1) В(хг) .
В(хг) ... -В(хн) = В(хмхг~.емх ); 2) 6(хг) . 6(хг) .... 6(х„) = 6(хмхг>".,хи). 8.5. Показать: = 6(хг) .6(хг) ... -6(х„). 8.8. Показать, что (1 д)(х+ хо,у) = Х(х+хо) д(у). 8.Т. Показать, что а(хНг'(х) - д(у» = а(х) ((х) ° д(у), где а 6 е с (л"). 8.8. Доказать, что в У (то ): 1) — В(а1 — /х!) = аб(а1 — !х!); д 2) — В(аг — !х!) = В(1) 6(аг+ !х!) — В(1) 6(аС вЂ” !х!); д 3) (д,, В(™ — $х!), ср) = — а Сб(ао- !. !), Вг); 4) ( — В(ае — !х!), д) = — ~В(Ф) 6(а$ + х), — ) + ~~(,) 6(, а~~ Обобщенную функцию вида г (х) - Цу) назовем не заоисяигей опг у. Она действует по правилу ®*) '( )') = й» )'(х'»"' (4) 8.9. Показать: ') И(*) (" »"у=(~() 1 (* )М 2) В„(~(х) Цу» = О, где у Е У', !о! ф О.
8.10. Пусть д(у) Е .г" (Во') и ср б 5е(Лнь~). Доказать, что: 1) Ф(х) = (д(У),ар(х+ У)) Е -К(йи); 2) 0"Ф(х) = (д(У) 0 'р(х У»' 106 1"а Вй Обое»Ленные Фу»»»»вни 3) если ~оь — » д», й — + со в .г"(В +"'), то фь — » 15, й — » со в 9'(В"); 4) если » 6»»" (В") и д 6 .»»" (Вы), то Дх) ° д(д) 6 .г" (1» '+ ). Сверткой локально интегрируемых в В" функций 1'(х) и д(х) таких, что функция й(х) = ~1~(д) д(х-д)1 д также локально интегрируема в В", называется функция Ц к д)(х) = / у(д) д(х — у)»Хд = ( д(д) Дх — у)»1у = (д з у)(х).
Последовательность (ць(х)) функций из У(В") называется сходя- щейся к 1 в В", если она обладает свойствами: а) для любого шара Пн найцется такой номер Ж, что»1»(х) = 1 при всех х е Сл и й > Ж; б) функции (»1ь) равномерно ограничены в В" вместе со всеми производными, т. е. )Р~»1ь(х)( < С„, х 6 В~, Й = 1,2,..., а — — любое.
Пусть (»1» (х; д) ) — любая последовательность функций из У(Вз" ), сходящаяся к 1 в В~»». Пусть обобщенные функции Дх) и д(х) из У'(В") таковы, что для любой»р 6 .У(В") числовая последователь(у(х) д(у), щ,(х„.д)»»»(х + д)) имеет предел при Й вЂ” + со и этот предел не зависит от выбора после- довательности (»1ь). Этот предел обозначим через (1(х) д(д),с»(х+ д)). Саерткой у э д называется функционал Ц*д, ) =ах)'(д), (х+д)) = = Бп» (у(х) -д(д),л»(х„.д)»д(х+д)), »р 6 У(В"). (5) Свертка коз»нд»лап»ивни, т.
е. У:» д = д к у. Пифференцирование свертки. Если свертка у *д существует, то существуют и свертки Р"1 *д и 1 з Р"д, причем Р»'у э д = Р (у з д) = у * Р д. (6) Свертка инвариантна относительно сдвига,т.е. 1(х + Ь) * д(х) = (у * д)(х + 1»), Ь Е В". Л о от а т о ч н ы е условия с у щ е ст в о в а н и я с в е р т- к и. 1. Если 1 -- произвольная, а д — финитная обобщенные функции в У, то у з д существует в У и представляется в вице 6 В. Лрямое произведение и ееергпко ооооеоеннмг фракций 107 (У од, р) = (У(х).д(у)Л(у) р(х+у)), р 6 У где е) — любая основная функция, равная 1 в окрестности вирр д, П. Обозначим через У~ множество обобщенных функций из У'(В1), обращающихся в нуль при х < О.
Если (, д 6 У+, то их свертка принадлежит У+ и выражается формулой (ге од,дг) = (,((х) д(У),е)1(х) е)г(У)Р(х+ У)), (8) где г)в 6 С (В'), й = 1,2. Таким образом, множество У+ образует сверточную алгебру. 8.11. Пусть ((х) и д(х) локально интегрируемы в В". Показать, что свертка у е д является локально интегрируемой функцией, если: 1) (ид61,(Л"); 2) ( или д финитна; 3) (=Оид=Оприх<0; и=1. В случае 1) показать, что (*д 6 Ь|(В") и справедливо неравенство [[Х е В!!с, < [[У![ь, .
[[д[[ь,. 8.12. Показать, что в условиях задачи 8.11, 3) (У*д)(х) = ~1(у)д(х-д) у. (9) е 8ЛЗ. Показать: 1) 6*~= (*6= (; 2) 6(х — а)*((х) = ((х — а); 3) 6(х — а)*6(х — б) =б(х — а — 5); 4) 6< ) * (= (< 5) 6( )(х — а) е Х(х) = УС )(х — а). 8.14.
Вычислить в У'(л~)е 1) В(х)*В( ); 2) В(х) е В(х) хг 3) е )е)ее !е) 4) е * ехе *,а>0; 5) В(х) хг од(х) в)пх; 6) В(х) совхе В(х) хз; 7) В(х) в1их*В(х)в)зх; 8) В(а — [х!)*В(а — [х!). В задачах 8.15-8.29 доказать утверждения. — е 8.15. Если ( (х) = В(х) — е '"', а > 0 — целое, то ( * (в = 8Л6. Если (,„(х) = е * Пг" ), се > О, то )о е(д = ( гР---;. аъ/юг 8.17.
Если( (х)=, а>О,то (,е(д=(+д. л(хг + аг) 8.18. вирр(У од) С [вирр(+ виррд!. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 8.1. 108 Га Ш. Обобщенные 4уннции 8Л9. Если (, д е У', то е"*у е е"*д = е" Ц * д). 8.20. Если ~ 6 У', 1о 6 У, то ( * ~Р = (У(д), У(х — д)) 5 С (В ).
Указание. Воспользоваться формулой (7) и задачей 8.9„1). 8.21. Если у 5 У, У * д = О для всех у Е У и зорро е (х < 0], то у = 0 при х < О. 8.22. Если свертка г * 1 существует, то она постоянна. 8.23. Для независимости обобщенной функции от х; необходима и достаточна ее ннвариантность относительно всех сдвигов по х;. 8.24. Для независимости ((х) е У'(В") от х, необходимо и достаточно, чтобы — = О.
ду дх; 8.25. Если у 5 У' не зависит от х;, то и ( * д не зависит от хеэ 8.26. Решением уравнения 5м = 6, где ~е~ Оен-1 Н Х, = +аз(х), +... +а„, 1(х) — +а„,(х), ае 5 С (В'), в У'(В') является а(х) = д(х) д(х), д(х) 5 С™(В~)— решение задачи Ы=О, г(О) =г'(О) =... =г~ -'>(О) =О, г~"-0(О) =1. 8.27. Решением уравнения Ьи = у, ( е .У+, в У+ является н = = дл е ~, где л (х) — функция из задачи 8.25. 8.28.
Решением уравнении Абеля н(5) о где д(0) = О, д 5 С1(х > 0), 0 < а < 1, является функция а(х) = Бшха ( Я (' )~К ,г,l (х-5)'- ' о Указание. Уравнение записать в виде свертки и*д(х — ее) = = д(х) (считаем и = О и д = 0 при х < О) и воспользоваться задачей 8.15 при р" = 1 — о. 8.29. Решением уравнения д(х) созх * ( = д в У'(В~), где д Е 5 С'(х > 0), д = 0 при х < О, является Лх) = д'(х) + ~ д(О Ж. о 8.30. Пусть электрическая цепь состоит из сопротивления В, самоиндукции Ь и емкости С.
В момент времени е = 0 в цепь включается э.д. с. Е(1). Показать, что сила тока 1(Ф) в цепи удовлетворяет уравнению д об =.Е(1), где 6 б. 17рямое произведение н еверпта обобщенных 4дннчнб 109 г = и (й) + Вб(й) + — - -- данс це д(й) С 8.31. Пусть 1 Е У'(В"+'). Локазатье 1) [б(х — хо) -6(й)]*Х(х й) = Х(х — хо,й); 2) [6(х — хо).61 1(й)]*~(х„й) = 1( 8.32. Вычислить следующие свертки в У'(В"): 1) у * бз„, где 1(х) Е С и б „(х) — простой слой на сфере ]х! = В с плотностью 1 (см. й б); 2) йв — бз,гдеуЕС1; 3) 6 в]х]з,п=3; 4) бвп в е [*1, и = 3; 5) ббп в з!и ]х]з, и = 3; 1 й б"*1+!.Р 7) — в йебз, и = 3; 1п — * йвбз, и = 2; 1 1 ]х! ~' ' ]х! 1 д д 8) — — е — (обз), п = 3; 1п ]х! в — (ибв), и = 2; [х! дте ' ' дв Я вЂ” ограниченная поверхность.
Определение обобщенных функций йеб и — — (ибз) см. в е зб и ез 7. д дп 8.33. Вычислить в У'(Вз): 1) д(й) х*д(х) й; 2) д(й — [х!) *д(й — ]х!); 3) д(й)д(х) *д(й — ]х!). 8.34. Пусть 7", д Е У'(В" "'), Дх, й) = О при й < О и д = О вне Г . Доказать, что свертка д * 7" существует в У (В"+1) и выражается формулой (д в [; 1р) = (д(~, й) . 7(д, т), 11(й) г1(т) г1(азйз — [1]з) ~р(~ + д, й + т)), р ~ У(Впз-1) где ц(й) Е С~(В ), хй(й) = О при й < — 6 и ей(й) = 1 при й ) — е (О < с < 6). 8.35. Пусть д(х,й) Е У'(В"+ ), д =О вне Г и и(х) Е У (В"). Локазатго 1) д*и(т) 6(й) = д(х, й)хи(х), причем обобщенная функция д(х й) в хи(х) действует по правилу (д(х,й) ви(х),у) = (ды,й) и(д)Л(а й — ]С! )ЮК+Р,й)), ез й У(В"+ ); 2) д он(х) .699(й) = —, (д(х, й) хи(х)) = в' хи(х). д"д(х,й) Га 111 Обобщенные О>днниии 8.36. Вычислить в У'(гсз): 1) 0(ае — ]х]) х [о>(1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
