1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Выяснить, при каких значениях Л интегральное уравнение 1в(х) = Л ( сов(2х — у)1в(у)е(у+/(х) о разрешимо для любой /'(х) Е С([0, 2к]), и найти решение. 5.22. Найти решения следующих интегральных уравнений при всех Л и при всех значениях параметров а, 5, с, входящих в свободный член этих уравнений: л/2 1) 1в(х) = Л / (увшх+ сову)ов(у)ду+ах+ О; -л/2 72 Гл. П. Фрнниионольные пространства и интеерамьние уравнение 2) сг(х) = Л / сов(х+ у) сг(р) Ну + ав1пх+ 6; о 1 3) сс(х) = Л ((1+ху)д(р)е(р+ахг+ 6х+с; — 1 4),(.) Л~(хгр+ рг), (,),(, + „+6 з. -1 5) сг(х) = Л / — (хр + хгуг) ог(у) ду + ах+ 6; '1 1' з 6) Зг(х) = Л / (5(хр) гУз + 7(ху)гУз~ ф(у) е(у + ах + Ьх17з.
1 7) 1о(х) = Л / р зс(р) е(у + а + х + Ьхг; — 1 з 8) уг(х) = Л ( (еГх + (17) ~р(у) е(у + ахг + Ьх + с; — 1 1 9) 1с(х) = Л~(хр+ х + р — Зх р )<Р(у) езр+ ах+ 6. -3 5.23. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции ядра .11'(х„у) и решить интегральное уравнение 1 сг(х) = /.Ж'(х, у) иг(у) Иу + Дх) — 1 при всех Л, а, Ь, еспи: 1) зГ(х,у) =Зх+хр — 5хгуг, Дх) =ах; 2) .1~(г:,у) =Зху+5хгрг, ~(х) =ахг+Ьх.
5.24. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции ядра М'(х, у) и решить интегральное уравнение сг(х) = Л г~.зс (и, у)~р(у) с1р+ Дх) при всех Л, а, 6, если: 1) х(х,р) =хсову+в1пх в1пу, Дх) = а+Ьсовх; 2),Ж'(х,р) = хв1пу+ совх, 1(х) = ат+ Ь. 5.25. Найти решение и рсвольвенту Я(х,у; Л) следующих интегральных уравнений: Л 1) ог(х) = Л / гйп (х + р) сг(р) ду + )'(х) о З 5 Интегральные уравнения 1 2) Вз(х) Л У(1 р+ 2'гр) ~р(у) бр+ Дх) 3) ~р(х) = Л (' (хвшр+совх) р(9)119+ ах+ Ь; 2л 4) ~р(х) = Л / (вшх япр+ яп2Х яп29) 91(р) 82+ 1(х).
о 5.26. Найти все зня1ения параметров а, Ь, с, при которых следующие интегральные уравнения имеют решения при любых Л: 1 1) ео(х) = Л/(хр+х292)В2(р)г(р+ахз+ Ьх+с; — 1 1 2) 92(х) = Л /(1+ХУ)91(у)е(р+ахз+ Ьх+с, где аз+ 52+аз = 1; 1 3) Вз(х) = Л (г 9 Вз(р) 119 + хз + ах + Ь; — 1 1 4) оз(х) = Л ~ (хр — — ) д(р) е(р+ ахз — Ьх+ 1," о 1 5) у(х) = Л ( (х+9)оз(р)119+ах+ 5+1; о б) 1р(х) = Л / сов(2Х+ 49) р(р) 119+ е *+в; о л 7) 91(х) = Л / (в1п х яп 29 + вш 2Х вш 49) я(р) с(р + ахв + Ьх + с; о 1 8) 91(х) = Л ~ (1 + хз + рз) ез(р) 119 + ах + Ьхз.
-1 5.27. Найти все значения параметра а, при которых интегральное уравнение 9 (х) = Л ~( — 9) В (9) бр + У(х) о разрешимо при всех действительных Л и всех у б С((0, Ц). 5.28. Найти характеристические числа и соответствуюшие собственные функции следующих интегральных уравнений: 11 1) Вз(х1, х2) = Л ( / (х1 + Х2 + (У1 + 92)) Вз(91~ 92) ар1 арг~ 3 -1 — 1 74 Гл. 11. Фуннвионаоьнме нросеоранссова и инеоеераоьнме уравнение 2) ео(х) = Л / ((х(г + ~гЕ~г) ог(у) с~у, х = (х, хг); Ь!<г 3) гг(х) = Л ЕŠ— гг(у) ду, х = (хмхг,хз). 1+Ы 1+И Ь!<г 5.29.
Выяснить, имеет ли интегральное уравнение ь ( ) = 1 ( ((х(' — ~у~') Р(у) еЕу, = ( „хг, х,) Ь1<г вещественные характеристические числа, и если имеет, то найти соответствующие собственные функции. 5.30. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции ядра М'(х, у) = хгхг + угуз и решить интегральное уравнение 11 Р(хмхг) = Ло(хггг+ Угре) гг(грг Уг) еЕУг еЕУг + 1(хг хг). — 1 — ! В задачах 5.31, 5.33 — 5.35 ядро ге (х, у) интегрального уравнения (1) является зрмипговььн, т.
е. совпадает со своим эрмитово сопряженным ядром: Л(х, у) = ге"(х,у) = М(у,х). В частности, если зрмитово ядро является вещественным, то оно симметрично, т.е.,Ж(х, У) = ЕЕ (У~х). Зрмитово непрерывное ядро Л (х,у) ~ 0 обладает следующими свойствами: 1) множество характеристических чисел этого ядра не пусто, расположено на действительной оси, не более чем счетно и не имеет конечных предельных точек; 2) система собственных функций (ого) может быть выбрана арто- нормальной: (Рь,гг ) = 5ь 5.31.
Е(оказать, что если М'(х, у) — зрмитово ядро, то характеристические числа второго итерированного ядра,.гег(х,у) (см. задачи 5.4-5.5) положительны. 5.32. Локазать, что если ядро Я'(х,гЕ) является кососимметричным, т.е. М'(х,у) = — М '(х,у), то его характеристические числа чисто мнимые. В задачах 5.33 — 5.35 предполагается, что характеристические числа Ль зрмитова непрерывного ядра .гг (х, у) занумерованы в порядке возрастания их модулей, т. е. ~л (<~л ~<~л ~<... а 75 З а.
Иннгеераланме ура«немее и каждое из этих чисел повторяется столько раз, сколько ему соответствует линейно независимых собственных функций. Тогда можно считать, что каждому характеристическому числу Ля соответствует одна собственная функция агь. Систему собственных функций (Ьоь) будем считать ортонормальной. 5.33. Пусть .Ж (х, у) — эрмитово непрерывное ядро,,Ж„(х, у)— повторное ядро ядра .Ж'(х, у). Доказать формулы: ь 1) Е ~ =~И( у)!'ду Лг ьь 2) ~ —, = О (Же'(х, у)(гдх ду; е«=1 Л «а 3) (Ку,у) = 2 '~ь, у Е Ьг(С), К вЂ” интегральный оператор с ядром,М (х, у); ьь 4) С вЂ”, = И(Жн(х,у)(гдхду р= 1,2,...
аа 5.34. Доказать: ага+а 1) отношение не убывает и ограничено; ог« 2) существует 1пп '" и этот предел равен наименьшему ха.- «-ааа аг«ьг рактеристическому числу ядра Ль(х, у)1 ОО 3) 2 , '— = о«(и > 2), где Л, т = 1,2, „, — характеристичеса=г кие числа ядра Ж (и, у), )Лг ( < 1Лг( < ..; 4) — = 1пп, ~ = 1пп '~/ог««. 1Лг) — и 'ч ог -и 5.35. Пусть Л не является характеристическим числом эрмитова непрерывного ядра .Ж (х,у).
Доказать, что (единственное) решение уравнения З (х) = Л ~.Ж'(и, у) ФЭ) ду + у(х) а можно представить в виде ряда Пусть,Ж„(х, у) — н-е повторное ядро для эрмитова непрерывного ядра ге (х, у). Назовем величину ь а« = /,Ж«(х, х) дх, и «а 1,2, „. а и-м следом ядра .Ж'(х, у). 76 Гл. 75 Функциональные ироетаранетава и интиегральные уравнение ут(х) = Л ~ '~ тр„,(х) + Дх), то=1 тр(х) = Л( .Ж'(х, у) р(у) бу а в следующих случаях 1) .Ж (х,у) = ( 1 у, если ( х(1 — у), 2) Л(х,у)= ~ 1у(1-х), 0<х<у<1, 0<у<х<1; если 0<я<у<1, если 0<у<х<1; 3) М(х,у) = 2 — у 2 2 — х 2 если 0<я<у<1, если 0<у<х<1; 4 ),Ж'(х, у) = (х+ 1)(у — 2), если 0 < х < у < 1, (у+ 1)(х — 2), если 0 < у < х < 1; (х+ 1)у, если 0 < х < у < 1, 5),Ж (х,у) = х(у+ 1), если 0 < у < х < 1; (е — е *)(ее + ег "), если 0 6),Х(х,у) = (еа + ег *)(е" — е "), если 0 атпх еш(1 — у), если 0 < х < 7) М'(х,у) = сйп(1 — х) ешу, если О < у < 5.37.
Найти характеристические числа и собственные функции интегрального уравнения с следующих случаях: 1),Х(х,р) = (1+ х)(1 — у)„если -1 < х < у < 1, у т (1 — х)(1+ у), если — 1 < у < х < 1; 2) .Ж (х,у) = ы соя х вшу, если О < х < у < тт, сову сйпх, если 0 < у < х < л; <х<у<1, <у<х<1; соответствующие ядром .Ж (х,у) в равномерно сходящегося на С, а для резольвенты М(х,у; Л) имеет место формула лг( . Л) ть ~ тото(х) Ф (У) Л вЂ” Л от=1 где билинейный ряд сходится в Аг(С х С). 5.36. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции интегрального уравнения В Б. Ингиеерольньье уравнение если 1(х) Е С ([0,1[) и -Ж'(х у) = /х, если 0 < х < у < 1, ( у„если 0 < у < х < 1.
Пусть .Ж (х, у) — непрерывное ядро интегрального уравнения ь го(х) = Л / .Ж'(х, у) го(у) г(у + Дх). а Выражение Ж (хг~уг),Ж (хг уз) ... Ж (хггуи) 'Ж (хз~уг) Ж (хз1уз) " Ж (хв уи) хь хз ".х . .Ж'(х„,уг) Ж (хгиуз) ... Ж (х„,у„) называется символом Фредеольма, а функция Ю(Л) = 1+ ~ (-1)" ф Л", ь ь Аи = /"./ Ж ( ~ дЬГ Ггьз.-.егьи, (8) \г11 12 ° .. ьи/ а а называется оиределителам Фредволъма ядра Ж (х, у) или интеграль- ного уравнения (6). 3) Ж'(х,у) = вш х сов у, если О < х < у < я, вшу совх, если 0 < у < х < я. 5.38.
Найти характеристические чигла и соответствующие собст- венные функции интегрального уравнения ьо(х) = Л / го(х + у) р(у) ду в следующих случвяхг 1) иг(Х) — четная 2я-периодическая функция, причем иг(Ф) = Ф, если 10[0, [; 2) иг(1) — четная 2я-периодическая функция, причем иг(Ф) = я — С, если 1 Е [О, я) . 5.39. Найти все характеристические числа и соответствующие собственные функции интегрального уравнения с ядром Ж (х, у) = = иг(х — у), где иг(1) — непрерывная кусочно гладкая четная 2к-перио- дическая функция, 0 < х < 2к, 0 < у < 2я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
