1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Элементы Х и д называются ортогональнььии, если (Х, д) = О. Элемент Х называется нормированным, если уЛ = 1. Система еыег,... называется ортонормированной, если (е;, еь) = Ьы, Х = 1,2, ... Пусть Х Е Н, а ем ег, ... — ортонормированная система в Н. Числа Хь = (Х,еь), й = 1,2, ..., называются коэффициентами Фурье элемента Х, а сходящийся в норме Н ряд Х,' (Х, еь) еь — рядом Фурье ь=1 элемента Х по ортонормированной системе еы ег,...
Система еыег„... называется ортонормированным базисом или полной ортонормированной системой, если она является ортонормированной и множество элементов с1 ег + сгег + ... + свеь при всевозможных постоянных сы, .., сь и )с всюду плотно в Н. Ряд Фурье элемента Х по ортонормированному базису сходится в норме Н к Х. 4.15. Показать, что ХгЯ) — гильбертово пространство со скалярным произведением (Х,д) =~Ид . ы 4.16.
Подмножество функций Х б АгЯ), ортогональных к некоторым функциям угы ..., угь из Ьг Я), образует подпрострвнство пространства Х.г Я) Пусть в области сг задана непрерывная и положительная функция р(х) (весовая функция). Обозначим ЬгььЯ) множество измеримых в (1 функций Х(х), для которых рЩ Е ХчЯ). 4.17. Показать, что Хг рЯ) — гильбертово пространство со скалярным произведением Уд) = /Ид4 . (2) 4.18. Доказать, что: а) ЬгЯ) С Ьг рЯ), если р(х) ограничена в Щ б) йгььЯ) С ХаЯ), если р(х) > ро > 0 в О (ро = сопвс). 4.19. Установить ортогональность в Хг(0, 2я) тригонометрической системы 1, в1п х, сов х, в1п2х, сов 2гэ ...
Функциональные нроееаранетаеа 51 4.20. Х(оказать, что системы функций з!и (и+ 1/2) х, п = 1,2,..., и соз(п+ 1(2) х, и = 1,2„..., ортогональны в Ег(О,я). 4.21. Показать, что многочлены Лежандра Х2н+ 1 а" образуют ортонормированную систему в Хг( — 1, 1). 4.22. Показать, что система функций Т„(х) = ][ — созн(агссозх), и = 0,1,2,..., 'г2 есть система многочленов (многочлены Чебышева), ортонормированнвя В Хг Н ег у( — 1, 1).
4.23. Цоказатгн что система функций Нн(х) = ( — 1)не — е *, и = 0,1,..., Дхп есть система многочленов (многочлены Эрмита), ортогональная в ге ( > ) 4.24. Показать, что отвечающие различным собственным значе- 42 пням собственные функции оператора — — „заданного на функцидхг " ях нз СгЦ0,1)) П Сг([0,1]) при граничных условиях (Йи — и )] о = = н[а — г = О, Ь вЂ”.
постоянная, ортогональны в Хг(0,1). 4.25. Показать, что отвечающие различным значениям собствен- ные функции оператора — Ь, заданною на функциях Х 5 Сг Я) Г1 С (ее) Где при граничном условии и]г — — 0 или ( — + д(х) и1] = О, гле д Е С(Г), дн )~ —, ортогональны в Х г(ГХ). 4.26. Пусть р 5 С(Ц), р(х) > ро > О. Показать, что отвечающие различным собственным значениям собственные функции операто- ра — — Л, заданного на Сг(1,1) й С'(е,г) при граничных условиях Р(х) задачи 4.25, ортогональны в Х,г р Я).
4.27. Пусть р 5 С [0,1], д Е С[0,1], р б С[0,1], р(х) > ро > О. Показать, что отвечающие различным собственным значениям собст- венные функции оператора — — — '[Р(х) — 1 + —, 1 4 4 д(х) р(х) йх дх Р(х) заданного на Сг((0, 1)) П Сг ([О, Ц) при граничных условиях ие]е о = О, (ца + Нц) ],, = О (Н вЂ” постоянная) „ортогонвльны в Х,г «(О, 1). 4.28. Пусть р 5 Сг(Ц), д й СЯ), р Е СЯ), Р(х) > Ро > О. Показать, что отвечающие различным собственным значениям 1 собственные функции оператора — — ейх (р йгае)) + д(х), заданного Р(х) 52 Гв.
П. Функциональные пространства и интееравьньье уравнения на СгЯ) П Сг(й) при граничных условиях задачи 4.25, ортогональны в Хг рЯ), 4.29. Показать, что принадлежащие С Я) г г С'(й) решения в ье уравнения Ьи = О, удовлетворяющие при различных Л граничному /ди условию ~ — + ЛиМ = О, ортогональны в Аг(Г).
4.30. Показать, что последовательность згпкх, /с = 1,2,..., сходится слабо к нулю в Хг(0, 2гг), но не сходится в норме Хг(0, 2я). В задачах 4.31 — 4.39 доказать утверждения. 4.31. Если последовательность Х„(х), п = 1, 2, ..., функций из ХгЯ) сходится к Х(х) по норме Агф), то она сходится и слабо к Х(х). 4.32. Если последовательность Хи(х), п = 1, 2, ..., функций из Хг(ьг) сходится к Х(х) по норме Х,г(гьг), то ~Х„гХх — + / 1дх, и — + со Я вЂ” ограниченная область).
4.33. Если иь 6 ХгЯ), к = 1, 2,..., и ряд Х иг„,(х) сходится сс ь=г к и(х) по норме ХгЯ), то Х / иь гХх = ~иг1х Я вЂ” ограниченная область). 0 4.34. Если последовательность Х (х), п = 1,2,..., функций из С(ььг) сходится к Х(х) равномерно в йХ, то она сходится и по норме Аг Я) Я вЂ” ограниченная область). 4.35. Если последовательность Хн(х), п = 1,2,..., функций из АгЩ) сходится слабо к Х(х) 6 Аг((,>), то последовательность норм ЦХн(х) Ь гсг1 и = 1, 2, ..., ограничена, 4.36.
Если последовательность Хн(х), п = 1,2,..., функций из ХгЯ) сходится слабо к Х(х) б ХгЯ) и ЦХи(х)Ц вЂ” + ЦХ(х)Ц при п — + оо, то эта последовательность сходится к Х (х) и по норме Хг Я) . 4.37. Для любой функции Х(х) 6 ЬгЯ) имеет место неравенство Бесселя сс ЕЬ!' < ЦЛ', и=1 где Хгн к = 1, 2, ..., -- коэффициенты Фурье функции Х по ортонорми- рованной системе ем ег, .. 4.38. Любая ортонормированная система ег,, е„, ... в Х,г Я) схо- дится слабо к нулю, но не сходится по норме Х,гЯ). 4.39. Лля любой Х б Хг(1Х) си...,с д 4 ердннчионааьнме пространства (т.е. и-я частная сумма ряда Фурье наилучшим образом приближает Х(х) в АзЯ)).
4.40. Найти многочлсн 2-й степени„наилучшим образом приближающий в Хг( — 1, 1) функцшо: а) хз; б) зш ях; в) [х[. 4.41. Найти трнгсаьометрический многочлен первого поряцка, наилучшим обрезом приближшощий в Х,з( — я, я) функциго: а) [х~; б) вш 4.42. Найти многочлен первой степени„наилучшим образом приближающий в Х зать) функцию хзг — хзз, где Я,: а) круг ха+хая < 1; б) квадрат 0 < хы хг < 1.
4.43. Установить полноту в Х,зЯ) систем: а) яшах, я = 1,2,, Я = [О,я]; б) зш(2к+ 1)х, а = 0„1,..., 9 = [О,я/2]. В задачах 4.44-4.50 доказать утверждения. 4.44. Многевьлены Лежандра (задача 4.21) и многочлены Чебышева (задача 4.22) сбрвзуют ортонормированные базисы пространства Хз( — 1, 1) и Х,. з~оез---~( — 1, 1) соответственно. 4.45. Чтобы ортонормированная в Х,зЯ) система ем ез, ... была ортонормированным базисом Х,з(0), необходимо и достаточно, чтобы для любой функции Х б Хз Я) выполнялось неравенство ПарсеваляСтеклова []л' = Е]х.['- ь=-1 ь 4.46.
Если Х б Хз(о,Ь) и ~х~Х(х)дх = О для к = 0,1,..., то Х(х) = 0 и. в. на (о, 6). 4.47. Если Х 5 Х з и ~ х'"Х(х) дх = 0 для всех а, [о[ = О, 1, ..., то Х(х) = О и. в. в Я. 4.48. Если Хь и дь, /с = 1,2, „— коэффициенты Фурье функций Х и д из Х,зЯ) по некоторому ортонормированному базису, то (У,д) =~~ Ьдгн ь=г 4.49. Всякая ортонормированная система ем ез,..., е„линейно независима. 4.50. Для того чтобы система функций Ьом...,~ра из ХзЯ) была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грамма е1еЬ [](~р„., ьоу)[], ь',,у = 1,..., и, был отличен от нуля. 54 Гл.
Хй Фуннчионлльнме нроендрпнедлел и индлееральные уравнения Пусть <рд, ..., дрн — некоторая линейно независимая система функций из Хз(дХ) (или Хз,р®)). ФУнкцию ед(х) опРеделим следУюшим образом: ед = — '. Подберем постоянные сд и сз так, чтобы функдрд 1!М! ддия ез = сдед + сздрз была нормированной и ортогональной в ХзЯ) (в Хз (ь„д)) к функции ед и т. д. При условии, что построены функции ед, ...,е„д, функцию е„будем разыскивать в виде е„= Дед+ +Рдея + ...
+ )дн ден д + Рлдрн с такими постоянными Д, ...,бл, чтобы е„бьдла нормированной и ортогональной к функциям ед,... ..., е„д. Этот способ ортонормирования системы дрд(х), ..., др„(х) называется методом Гр мма-Шмидта. 4.51. Найти явное выражение функций еы к = 1,2, ...,п, через функции дрд, ..., дрдд. 4.52. Ортонормировать в Хз рЯ) методом Грамма — Шмидта следующие последовательности функций, предварительно убедившись в их линейной независимости: а) 1,х,х,х (р = 1, (> = ( — 1,+1)); б) 1 — х 1+хе 1+хз (р — 1 О ( 1 +Ц) в) здпзях, 1, созхх (р х— я 1, Я = ( — 1,+1)); г) 1,х,хз (р = е *, ьд = (О, со)); д) 1,х,х (р=е ' дз д,д = (-оо +оо)). е) 1,х,х (р = ъ/1 — хз, а = ( — 1, 1)); ж) 1,х,х (р = 1ХЛ: хз Ср = (-1 ц). 4.53. Показать, что в результате ортонормирования системы 1, т, х, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
