1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Приходим к следующей задаче Штурма — Лиувилля: 282 Яопоппспие .Лп(х) + ЛОЛ = О, Л"(0) = О, Л"(1) = О. Решая зту задачу, находим ее собственные значения Лп = — + яп, и = О, 1, 2, ..., и соответствующие собственные функции Х„(х) = япЛпх. (8) Решение задачи (5) — (7) ищем в виде ряда и(Х,О) = ~~~ Тп(1) ОШЛпХ, (9) п=о где Тп(0) = О, Т,',(О) = О. (10) Подставляя и(х, 1) из (9) в (5), получаем (Тп(4) + ЛОТп(М)) япЛпх = 23 п=о Для нахождения функций Тп(1) разложим функцию 1 в ряд Фурье по системе функций (3) на интервале (О, 1): 1= ~ ~апзшЛпх. (12) (11) Так как » 1 яп Лпхдх = —, 2' о и из (11) и (12) получаем то ап = / япЛпхах = —, 2 Лп о и = хо + 4 ~~~ — (Лп1 — яп Лп1) яп Лпх, 1 п=о где Лп = — + яп. 2 Задача 6. Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения параболического типа и,— и„=Х(х+1), О(х < 1, 1) О (и при начальном условии и)»па = 0 и граничных условиях Т„''(4) + ЛОТО(1) = —. (13) Общее решение уравнения (13) имеет вил Тп(1) = — + А81ПЛп1+ В соя Лп$.
41 1з Используя условие (10), получаем В = О, А = — 4/Л». Подставляя 41 4 Тп(4) — з» 81п Лп1 Л3 Лй в формулу (9) и используя (4), находим искомое решение задачи (1НЗ): в 8 Мегпод разделения переменив х 283 ие)л=с ~ г и(л=г г (3) Решение. Функция ю = хь~ удовлетворяет краевым условиям (3), уравнению иге — иге, = 2хг и начальному условию иг(е-о = О. Поэтому функция и = и — хг (4) удовлетворяет уравнению ее — и = (1 — х)1 и условиям (5) (8) Так как 1 а„= 2 / (1 — х) сов Л х гЬ = —, Лг ' о то из (9) и (10) находим Т„'Я+ Л„ТЯ = ~.
(11) Решением уравнения (11) при условии Т„(0) = О является функция Т ( ) 2Л вЂ” в( -л„г+Лг1 1) (1» Из (4), (8) и (12) находим решение задачи (1)-(3): и = хьг+ 2 "г Л (с ""'+ Л 1 — 1) совЛ„х, гг где Л„= — + яи. 2 ф в =О, ие1е=о =О, и1е=г =О.
(6) Применяя метод разделения переменных для решения однородного уравнения ие — и = 0 при условиях (6), положим и = Х(х)Т(1). Получим задачу Штурма — Лиувилля Хн(:)+ЛгХ( ) =О, Х'(0) =О, Х(Ц = О, собственными значениями которой являются числа Л„= — + яи, 2 и = О, 1, 2, ..., а собственными функциями — функции Х„(х) = сов Лнх.
(7) Решение задачи (5), (6) игцем в виде и(х, е) = ~~г Тн(е) сов Л„х. э=0 Поцставляя и(х,г) из (8) в уравнение (5), получаем ~ (Т„'(1)+Л~Т„(1)) совЛ„х = (1 — х)й (О) Разложим функцию 1 — х в ряд Фурье по системе функций (7) на интервале (О, 1): 1 — х = ~~г а„сов Л„х. (10) 284 2гоаоеневие Ь 3. Интегральные уравнения с вырогкденным ядром Задача 7. Решить интегральное уравнение го(х) = Л / (х в1п р + р сов х) зг(р) г1р + а в1п х + 6х при всех допустимых значениях а, 6, Л.
Р еще ни е. Обозначим Сг = ( в1пр.ггг(р)г1рз Сг = / ргр(р)егр! тогда уравнение (1) примет вид ггг(х) = ЛСз х + ЛСг сов х + а вш х + Ьт. Из (2) и (3) получаем Сг — — (г вшР(ЛС,Р+ ЛСг совР+ авшР+ ЬР) г(Р, Сг = ( р (ЛСг р + ЛСг сов р + а в т р + Ьр) г1р, откуда находим (2) (3) (5) Сг = ЛСд 2гг+ ал+ 2лЬ, 2лз 2лз (4) Сг = ЛСг — + а - 2л + Ь вЂ”. 3 3 Систему (4) запишем в следующем виде: Сг(1 — 2лЛ) =агг+ 2лЬ, 2лз 2лзЬ вЂ” Л вЂ” Сз + Сг = 2ал + —. 3 3 Определитель 15(Л) системы (5) равен г.'з(Л) = 1 — 2ггЛ.
Если Ь(Л) ф О, 1 т. е. Л ф —, то система (5) имеет единственное решение при любых а 2л' агг+ 2ггЬ 2л~Л(ел+ 2лЬ) 2ггзЬ 1 — 2лЛ ' 3(1 — 2ггЛ) 3 1 Подставляя Сг и Сг из (6) в (3), найдем при х ф — единственное 2л решение интегрального уравнения (1). 1 Пусть Л = —, тогда система (5) примет вид 2л ' С, . О = (а + 26) л, ,лг 2лзЬ (7) — — Сз + Сг = 2ал+— 3 3 Система (7) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие 285 Варианиаииые задачи а+ 2Ь= О.
(8) Условие (8) является необходимым и достаточным условием разре- 1 1 шимости уравнения (1) при Л = —. Здесь — — характеристическое 2гг 2л число интегрального уравнения гр(х) = Х )1,хейа у+ усозх) гр(у) гад. Общее решение однородной линейной системы Сг . О = О, 2 — — С+С =О, 3 соответствующей системе (7), имеет внд С,=С, С,= —,С, где С вЂ” произвольнаяпостоянная. В качестве частного решения системы (7) можно взять С~~' —— О, Сзс = 2ал— Поэтому общее решение системы (7) имеет вид л' / лез с,=с, с,= с+ (г- — 1. 3 3~' (9) Подставляя Сг и Сз из (9) в (3), найдем все решения уравнения (1) 1 при Л = — при условии (8).
Эти решения можно записать формулой 2гг гр(х) = (А — -~ х+ ~ — +а~1 — — ~ созх+азш 2г' ~ 2 ~ 6 г') где А — произвольная постоянная„ 3 4. Вариационные задачи Задача 8. Найти минимум функционала 1(и) —. / ~)8гад и)з + 1 г1хг г1хе О среди функций, принадлежащих классу С'(С), где С = (1 < ф < 3), х — (хз г хз). Решение. Известно, что существует функция иа(хыхз) Е Е Сг 1С), дающая минимум функционалу (1).
Функция иа(х) является решением краевой задачи 2 73и = —, и1И=г = и)~ец=з = О; записав лапласиан в полярных координатах, получим 286 Яапалвевие ( „)' = 2, и!1,1= = и!! 1=3 = О. (» 4 Решением краевой задачи (2) является функция ео = 2(т — 1) — — 1п т. 1п3 Так как ое не зависит от ег, то да 1 г )8гаг1ее)2 ~ а ) ~2 ) Тогда гт ] = О((2 — — -) + '!з — 1) — — 1 ~ — ) ~ ф~ = е ! з 16 16 1 16 = 2я / (4т — — + — — + 8т — 8 — — 1п т) Нт = !ПЗ 1пзз т 1п3 1 з 16 16 1 16 ~ / 1 = 2я / ~12т — — — 8+ — — — — !и т) г1т = 32я ~ — — 1).
1пЗ !пзЗ г- 1пЗ ! 1!пЗ 1 1 Итак, минимум функционала (1) равен 32я ~ — — 1). Ь 3 СПИСОК ЛИТЕРА'ГУРЫ 1. Арсения В. Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1974. 2. Веняснишее Л. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
— Изд. 8-е. — Мз Фнзматлит, 2000. 3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е.— М.: Наука, 1985. 4. Владимиров В. С., Жаровое В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2000. 5. Михайлов В. П. Лифференциальные уравнения в частных произволных. — - Изд. 2-е. — - Мс Наука, 1983.
б. Никольский С. М. Курс математического анализа. — Изд. 5-е. — Мх Физматлит, 2000. 7. г.сменно В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — М.-СПбх Физматлит. Невский Лиалект. Лаборатория Базовых Знаний, 20о00. 8, Содорое Ю.В., Федерик М.В., Шабунон М.ХХ. Лекции по теории функций комплексного переменного.
— Изд. 3-е. — М.: Наука, 1989. Учебное издание ВАШАРИН Ананюлий Алексеевич, ВЛАДИМИРОВ Василий Сергеевич, КАРИМОВА Хуреаип Хусниеона, МИХАЙЛОВ Ва ентин Леглрович, СИДОРОВ Юрий Викгаорович, 7НАВУНИН Михаил Иванович СБОРНИК ЗАДАтт ПО,у"РАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИ'ЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией В. С.
В ладим и р о в а Издание третье, исправленное Редактор В. Ю. Ховав Корректор Л. Т. Варьки» Оригинал-макет Л. К. Локковой ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 22.02.2001. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Уел. печ. л. 18. Уч.-изд. л. 19,8. Тираж 6000 зкз. Заказ № 1389 Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117864 Москва, Профсоюзная ул., 90 Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография «Наука» 121099 Москва, Шубинский пер., 6 18В1«1 5-9221-0072-6 785922 100724 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
