1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Метпод разделения пораненных 3) левый конец стержня теплоизопирован, правый поддерживается при постоянной температуре 14 — ~ = из, начальная температура А равна ай=о = — х, гпе А = сопз1; 1 4) левый конец стержня поддерживается при заданной постоянной температуре и~ — о = иы а на правый конец подается извне заданный постоянный тепловой поток; начальная температура стержня ни-о = = ио(х). 20.43.
Лан тонкий однородный стержень длины 1, с боковой поверхности которого происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, имеюшую нулевую температуру; левый конец стержня поддерживается при постоянной температуре и(,-о = иь Определить температуру и(х, Ф) стержня, если: 1) правый конец стержня х = 1 поддерживается при температуре и) — ~ = из = сопзФ, а начальная температура равна и~~-о = ио(х); 2) на правом конце происходит теппообмен с окружаюшей средой, температура которой равна нулю; начальная температура равна нулю.
В задаче о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при заданных температурах, зависящих, вообще говоря, от 1, граничные условия имеют вид и~,-о = о1(г), (8а) В ятом случае решение задачи (1), (3), (8а) можно искать в виде х и = а + а>, где функция ю определяется формулой го = а1(г) + — х х (оя(с) о1(Ф)). Т 20.44. Найти распределение температуры в стержне 0 < х < 1 с теппоизолированной боковой поверхностью, если на его правом конце х = 1 поддерживается температура, равная нулю, а на левам конце температура равна и~ -о = АФ, где А = сопзи Начальная температура стержня равна нулю. 20.45.
Решить следующие смешанные задачи: 1) и~ — — и„„О < х < 1, и,(,— о = 1, и( ч = О, ии,-о — — О; 2) и, = и, +и+2з1п2хз1пх, О < т < к/2, и,~ =о = и),=,уз = =и! = =О; 3) и,=и, — 2и +х+21, 0<х<1, и~ =о=и~ =9=1, з4=о= = е з1пях; 4) ш — — и + и — х+ 2я!п2хсоах, О < х < я/2, и). о = О, ия!х=т/2 = 1~ ай=о = х~ 3) их .= и„+ 4и+ х~ — 21 — 4хзг + 2 созз х, 0 < х < я, и, ~,-о = О, и*~*=~ — 2я1, и~~=о = О; 9 — 089 Га. Ъ7. Смегааниаз задача 6) иг — иив+2и,— и = е*згпх — В, 0 < х < я, и~,-о = 1+1, и),— = 1+ 1, и~г-о = 1+е'зш2х.
20.46. Решить следующие смешанные задачи: 1) щ — и — и = х1(2 — й)+2со 1, О« я, и ~ — ~ = 1~, и )~— юг=о = соя 2х. 2) иг — и, — 9и = 4яшз Ф соя Зх — 9хз — 2, 0 < х < я, и,) -о = 0 и,1з — = 2я, и!г=о = х + 2; 2 3) иг — — и„, + би + 21(1 — 31) — бх + 2созх соя 2х, 0 < х < гг/2, паях=о = 1 '4з=з/з = 1 + я/2, и(г=о = х; 4) иг = и, + би + хз(1 — 61) — 2(1 + Зх) + зш2х, О < х < и, и ~х=о = 1, и~~,— = 2я1+1, итог=о = х; 6) щ = и„+ 4и, + х — 41+ 1+ е г*соегих 0 < х < 1, и/,-о = 1, и!~=г = 21, и/г — о — — О.
(16) 20.47. Пан однородный шар радиуса В с центром в начале координат. Определить температуру внутри шара, если: 1) внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура зависит только от расстояния от центра шара, т.е. и~г=о = ио(г); Задача о распространении тепла в однородном шаре радиуса А с центром в начале координат в случае, когда температура любой точки шара зависит только от расстояния этой точки от центра шара, приводится к решению уравнения теплопроводности — =о ~ + — — /г до з до 2 да (14) дГ ~ дгз г дг) при начальном условии г4г=о = ио(г). (16) Если на поверхности шара происходит теплообмен с окружающей средой нулевой температуры, то граничное условие имеет вид (и„+ Ли)~ и — — О. Полагая о = ги, получаем — =а —, де , д' дг д" (17) о!„о=О, ~о,+(Л-Чо~) =О, (1В) о!г=о = гио(г)- (19) Таким образом„задача (14)-(16) приводится к задаче (17)-(19) о раглространении тепла в стержне, адин конец которого (г = О) под- держивается при нулевой температуре, а на другом конце (г = Й) происходит теплообмен с окружающей средой (см.
задачу 20.43). О 80. Метпод разделение переменных 2) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, имеющей нулевую температуру, а и)е о = = ио(г); 3) на поверхности шара происходит конвектнвный теплообмен со средой, имеющей температуру и1 = сопзС, а и~е-о = ио = совзо; 4) внутрь шара, начиная с момента 8 = О, через его поверхность подается постоянный тепловой поток плотности д = сопела, а начальная температура и~е=о = ио = сопзФ. 20.48.
Дана тонкая квадратная пластинка (О < х < 1, 0 < у < 1), для которой известно начальное распределение температуры и~е о = = ио(х,у). Боковые стороны х = О, х = 1 и стороны оснований у = О, у = 1 во все время наблюдения удерживаются при нулевой температуре. Найти температуру любой точки пластинки в момент времени 1 > О. Нахождение решений задач 20.48-20.52 требует применения бесселевых функций (см. с. 249). В частности, задача о радиальном распространении тепла в бесконечном круговом цилиндре радиуса Л, боковая поверхность которого подцерживается прн нулевой температуре, приводится к решению уравнения (20) при граничном условии и)„л — — 0 (21) и начальном условии и~и=о = ио(г).
(2) Применяя метод разделения переменных, найдем, что решение задачи (20) — (22) можно получить в виде „(„1) ~ а г (дпг) -(ен./лНе где д„— положительные корни уравнения,уо(д) = О, а коэффициен- ты а„определяются из начальною условия (22). 20.49, Дан неограниченный круговой цилиндр радиуса Н. Найти распределение температуры внутри цилиндра в момент времени 1, 1) на поверхности цилиндра поддерживается все время нулевая температура, а температура внутри цилиндра в начальный момент Iдег'~ равна и~е~ = А.7о ~ — р где рь — положительный корень уравнения .ц,)=о; ~яР 2) поверхность цилиндра поддерживается при постоянной температуре ио, а начальная температура внутри цилиндра равна нулю; 260 Го. $гй Смешанное задача 3) с поверхности цилиндра происходит лучеиспускание в окру- жающую среду, температура которой равна нулю, а начальная тем- пература равна и|д=о = ио(г ).
20.50. Найти решение смешанной задачи 1 1 ид = и„+ — и, — —, и + У(1) А (гдьх), х хд где дц, — — положительный корень уравнения Уд(р) = О, 0 < х < 1, !и!с=о! <оо, и!.. д —— О, и!д=о=О„ если: Ц Х(1) = г3пв; 2) д'(1) = е 20.61. Найти решение смешанной задачи 1 ид = и„„+ — и„+ 8.Уо(1ддг), где ддд — положительный корень уравнения .?о(р) = О, 0 < г < 1, !и!„=о! < со, и! д — — О, и!г=о = О. 20.52. Решить следующие смешанные задачи: 1 1) иг = хи„+ ин — — и+ 1.7д (1дьд/х), 4х где дц, — положительный корень уравнения .7д(р) = О, О < х < 1, !и!,=о! < оо, и!,-д = О, 2) ид = хгд,„+ и, — — и, 0 < х < 1, 9 !и!,=о! < со, и!, д = О, и!д=о = О.
дд!д=о = гз (рьд/х) где,иь — положительный корень уравнения,дз(,и) = О. Ответы к 220 20.1. 1) Лвдп — сов —; дгнх дггшд 32Дг "е 1 . (2й + 1) ггх (2Дг + 1) ггоД 41д н и е. ио(х) = — х(1 — х).); Р 2Ыз 1 . йкс . йкх анод ЗЬ ( — 1)" 3) 2, — вш — дпп соь —; — ~ , 'х хдс(1 — с) ь д Ьд 1 1 1 тд (2А+ Цд (2й+ 1) ггх (2Й+ 1) дгаД / 1 1 х вш сов (прис= -) (Указание. ио(х) = Х 'д 2 г' Ьх = — при О <х <с; ио(х) = при с <х <1.). 6(1 — х) с — с В 20. Лзетос1 раэсСеаения переменных 261 41оо ~~ 1 .
(2й+ 1) згх . (2й+ 1) яав йеа йхР 21о, ' ссн 1 сов 1 йхх йхае 2) хга йа в[п — сйп —; 3 Мсс . лйхв 8Ао сов С взп То е йх хйаз 3) —, 2,' в1п — сйп —. згха ь й[1 — (2ой)з/Р[ (2й+1) хаС Ь (2й+1) хас1 (2й+1) хх 20.3, 1) 2 сае сов +Ььвьп '~ взп где аь = — /' ио(х) в[п с/х„Ья = / из(х) зс 2 . (2й+ 1) згх 4 21 зга(2й+ 1) о о х вш (2й + 1) згх 21 с[х (Указание. и[*=о = О, их[а — с = О, и[с=о —— = ио(х), из[с=о = из(х).)' 2) — ~ [ио(~)+виз(~)]с/~+ ~, '(овсов — +Ьу,в[п — ') сов о ь=з ! 2 г йях 2 г йзгх где аь = — /"ио(х) сов с/х, Ья = — / из(х) сов Нх (У к а- 1/ згай о о заике. и*[*=о = их[ =с = О, и[с о =ив(х), ис[, о =и,(х).); 3) 2(аасовЛ„ос+ ЬаапЛаа1) совЛ„х, где Ла (п = 1,2,...) -"- а=1 собственные значения, а Ха(х) = совЛах — собственные функции краевой задачи: Ха(х) + Л Х = О, Х'(О) = О, Х'(1) + ЬХ(1) = О (˄— положительные корни уравнения сб Л1 = /с/Л), а о о Ь 2 ~~ + 1(Л„ + йз) ( й Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
