1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Функция и Е Н1Я) называется обобисенньив решением задачи (1) при граничном условии (1), если ее след на Г равен д и она удовлетворяет при всех и 6 Н'Я) интегральному тождеству ( (8тас1и бгас1и) с!х = ( /идх. (2) сс Я Считаем, что функция д является следом на Г некоторой функции из Н1Я), а У Е ЬзЯ). Функция и е Н1 (Ц) называется обобисенным 233 1 19. Варначионные методьь ресаением краевой задачи (1) при граничном условии (П1) (или условии (П)), где д й Аз(Г) и 1 й ЬзЯ), если при всех и ч Н (Се) она удовлетворяет интегральному тождеству 1( ) 1ам™ 1~ + 1 Ю г г Если функции у,д, о достаточно гладкие (например, непрерьгвно дифференцируемые), то обобщенные решения являются классическими решениями ссютветствующих задач.
Важную роль при исследовании обобщенных решений краевых задач играет следующая Теорем а Рисса. Пусть на еильбертовом пространстве Н задан линейный ограниченний функционал 1(и). Существует единственный элемент Ь й Н талкой, что 1(и) = (1с,и) (здесь через (Ь,и) обозначается скалярное произведение в Н элементов Ь,и). 19.1. Пусть и(х) — классическое решение задачи (1), (1). Показать, что если и 6 С'(Ц), то и(х) является обобщенным решением задачи (1), (1). 19.2. Пусть и(х) — классическое решение задачи (1), (П1) (или (П)).
Показать, что если и е Сгф), то и(х) является обобщенным решением задачи (1), (П1) (или (П)). 19.3. Если и(х) — обобщенное решение задачи (1), (1) и и б Сз(се) и С(се), то и(х) является классическим решением этой задачи. 19.4. Если и(х) — обобщенное решение задачи (1), (1Щ (или (П)) и и Е Сз(Я) П С'(сг), то и(х) является классическим решением этой задачи. 19.5. Локазать единственность обобщенного решения задачи (1), (1) при д = О.
19.6. Показать, что если функция д является следом на Г некоторой функции из Н'Я) (в частности, д й С'(Г)), то обобщенное решение задачи (1), (1) существует. 19.7. Пусть в области с) задано эллиптическое уравнение Ци) = — сБг(рбгас1 и) + д(х) и = 1(х), (4) где р й С~Я), пппр(х) = ро > О,д й СЯ), 1 е ЬзЯ). Принадлежащая пространству Н'(Я) функция и(х) называется обобщенным решением задачи (4), (1), если при всех и(х) й Н'(Д) она удовлетворяет интегральному тождеству / (р бгас1 и бгэс1 и + дии) дх = / уо дх Я и след ее на Г равен д. Показать, что принадлежащее Н'(Ц) классическое решение задачи (4), (1) является обобщенным. 234 Гл.
К Краеоме задачи для ураененнй эллиптического тина 19.8. Доказать существование и единственность обобщенного решения задачи (4), (1) при д > О. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4.106. 19.9. Пусть в области Я задано эллиптическое уравнение Ь(и) = — ~ — (рб(х) — ) + д(х) и = Дх), (5) где вещественные Функции рб Е С Я), Рб(х) =Рэч(х) (г 1 = 1 " ") и для всех х Е О и любых вещественных (С„...,Со) справедливо неравенство 2 Р; (х) Цу > уа(Яг с постоянной уо > О, д Е СЯ), Едки ) б Ьг(ед). Принадлежащая пространству Н (()) функция и(х) называется обобщенным решением задачи (5), (1), если при всех и(х) Е Й Я) она удовлетворяет интегральному тождеству / ~~~~ Р; (х)ияли,, +дни) дх = /.Уидх гг Я и ее след на Г равен р.
Доказатгн что принадлежащее Н~ Я) классическое решение задачи (5) „(1) является обобщенным. 19.10. Доказать существование и единственность обобщенного решения задачи (5), (1), если д > О. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4.112. 19.11. Обобщенным решением задачи (4), (П1) (или (П)) называется принадлежащая Н' Я) функция и(х), удовлетворяющая при всех и(х) 0 Е Н ®) интегральному тождеству /(Рбгае1ибгапи+ дии) дх+ ~роиисЬ = / уидх+ (' Рдий~.
г Я г Доказать, что принадлежащее С ®) классическое решение задачи (4), (1П) (или (П)) является обобщенным. 19.12. Доказать существование и единственность обобщенного решения задачи (4), (П1) (или (П)) в предположении, что У б ЬгЯ)„ д Е Ьг(Г), п(х) > 0 на Г, д(х) > О в й), причем либо о(х) х О, либо д(х) ф О. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 4.117. 19.13. Пусть ХгЯ) и НгЯ) — подпространства пространств Ьг(Я) и Н" Я), состоящие из тек функций из ЬгЯ) и Н" Я) соответственно, для которых / Гдх = О. Доказать, что при д(х) = О, Я д(х) = — О, 1 Е 1гЯ) существует единственное обобщенное решение задачи (4), (П), принадлежащее Й'(с)). У к а з а н и е.
Воспользоваться результатом задачи 4.121. З 1д. Вориачиониые мееподы 235 — (1гя (р(х) яга() и) + д(х) и = ри, ~ ~(й'(е) Ы уей'я) ~(л(ее(о) Кроме того, при любом ш й~(о) уей'(с)) ((г((е (Ф (у ля ) ее(Ш =е =л ы Жи ю) Уен'(О) ~1УЦ„о) зг((й (е) и ш( е = )(зп+(, 4 = 1, ...зш. уе н~я) ее (о) (уьз)ее(о)=о 19.14. Рассмотрим при ~ б Ьз Я) функционал Е) (е) = ~()(гад(и)здх — 2 ~ ~е ((х (;) Я ПУсть Р б С((;)), д б С(()), а б С(Г), пйпР(х) = Ро > О, о(х) > О, д(х) > 0 и или д(х) ф О, или (г(х) д! О. Тогда (см. задачи 4.105 и 4.113) в Н(Щ) и Н~Я) можно ввести скалярные произведения, эквивалентные обычным, следуюп(ими способами: И, д)Й, — — / (р(хНКга() У . а а() д) + д(х) Ы д, (*) Я ()е,д)и1 = ~(р(х)(бгаб~ яга()д)+дЯ()х+ ~роуд()Я. (ее) г Функция и б Н'((„)), на которой функционал Е(с) =1И!'.
— 2У )ь рассматриваемый для е 6 Й' Я), достигает своего минимального значения, есть обобщенное решение задачи (4), (1) при д = О, если норма порождается скалярным произведением (*). Функция и Е НеЯ), на которой функционал Е(") = Мй' 2У е)ь„ рассматриваемый для е б Н ((д), достигает своего минимального значения, есть обобщенное решение задачи (4), (Ш1, при д(х) = О, если норма ()е()н порождается скалярным произведением (**). Обозначим через Л(, ..., Л, ...
расположенные в порядке неубывания собственные значения, а через иы ..., и, ... — — соответствующие собственные функции задачи — ())я (р(х) ра() и) + д(х) и = Ли, х б ('„), и(г = О. Аналогично через ры, )(, ... и ты ..., е, ... обозначим собственные функции задачи 236 Гл. тт. Краевые задачи длл уравиеииа эллиптического шипа на множестве функций и б и (с„т), для которых и~г = д, где функция д(х) является следом на Г некоторой функции из Н'Я). Показать, что функция и(х), на которой функционал Е(и) достигает минимального значения, есть обобщенное решение задачи (1), (1).
19.15. Рассмотрим при г б Ьгф), рб СМ), ЧАС%), ш1пр(х) = = ро > О, д(х) > О функционал ()=1 ~ ~' +/(х)сг — /~ Я тз Ц на множестве функций и б Н~ Я), для которых и~г = д, где функция д(х) является следом на Г некоторой функции из Н~ Щ. Показать, что функция и(х), на которой функционал достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (4), (1). 19.16. Пустьрбч г', т' = 1,...,п, д,У вЂ” функции,введенныевзвдаче 19.9. Рассмотрим функционал~ Ег(и) = / ~~~ ре-ие,и т1х+ /диидх — 2 /~идх Я на множестве функций и б Н ®), для которых и(г = д, где функция д(х) является следом на Г некоторой функции из Н (тчт). Показать, что функция и(х), на которой функционал Ег(ю) достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (5), (1).
19.17. Рассмотрим при у" б Ьг®), д(х) б Ьг(Г), ет б С(Г), о > О на Г, тт(х) ф О, функционал Ег(и) / )бгат1иРДх+ / о игДЯ 2 / усах 2/ дида и б НтЯ) т'т г ет Г Показать, что функция и(х), на которой функционал Ет(и) достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (1), (П1). 19.18. Пусть 1 Е Ьг(тд), д(х) б Аг(Г), р б Сф), д б Сф), тт б С(Г), плпр(х) = ро > О, д(х) > О, ет(х) > О и или д(х) х О, или тт(х) ~ О. Рассмотрим на Н'Я) функционал Ег(и) = /р~бгапи~ дх+ / ди е(х+ / етри ИЯ вЂ” 2/уитгх — 2 / рдиеЮ. ст г «г г Показать, что функция и(х), на которой зтот функционал достигает минимального значения, есть обобтценное решение задачи (4), (П1) (или (П)).
У к аз ание. См. задачу 4.117. 19.19, Рассмотрим при у" 6 Хг (е)), / 1 дх = О, р б Сф), шш р(х) = = ро > О функционал Я Ег(и) = /р)бгас1и~~дх — 2/ уидх ст г" И. Вариациоииые методы на подпространстве Й1Я) (определения множеств Хг(()) и Й'Я) см. в задаче 19,13] см. также задачи 4.118-4.120) пространства Н'Я). Показать, что функция и е Н ((,)), на которой этот функционал достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (4), (П).
19.20. Найти функцию ио, реализующую минимум функционала 1 1 / [й + иг) е(х+ 2 /и[)х в классе Й1(0,1). о о 19.21. Доказать, что для всех и 6 С ([О, 1]) справедливо неравен- 1 ство / [и' + 2хи) [)х+ иг(0) + иг(1) > — —. Имеет ли место знак 270 о равенствадля какой-либо функции? 19.22. Доказать,чтодлявсехфункций и Е С][0,1), и(1) = Оимеет б и'(О) 1 г,г место неравенство г[ и[[к < — + — + — ~ и' е[х. Найти функцию из 24 4 4г о о этого класса, для которой достигается равенство. 1923. на* Ы (?[[о ~ ] 2е ., и е ]м), О= е ей' (е)) я (0<хг<я, 0<хг 1иеа. ем* '~ У [[о ееЙ'0*[<1) )*[<1 = (х1,хг)" ( [бгае)~[ е)~, где еен*бе]<1) [х)<1 — [Х[ Э]П Зг1 и[)е)=1 "г( 19.26.
Найти [пГ / [йгае) и[г [)х на множестве функций и [е)<1 б и ([х[ < 1), х = (хг,хг), х1 = ]х[ соз(о, хг = [х[ зп[(о, удовлетворяющих условию и[[ ) 1 = егг, — л < ]р < 1[. 19.27. Может ли заданная на окружности [х[ = 1, х1 = сезар, хг —— зщ]р, функция [[)((р) быть граничным значением какой-либофункции из Н1([х[ < 1), если: а) гр((о) = в[бп р, — н < р < х; б) Я[р) = ~ , '2 "сов 2га~г; а=о в) ф((о) = 1' 19.28. Пусть („') — квадрат (О < х1 < 1, О < хг < Ц. Доказать, что для любой 1 б Н1 ®) имеет место неравенство 238 Гл. К Краевые эадача дле уравнений элл//пт//чеекаеа тола ~ У дх < —, / )уа/1 Я Йх, и установить, что постоянная в неравенстве точная.
19.29. Пусть 1„/ — куб (О < х1 < 1, О < хг < 1, О < хз < 1). Дока- зать, что для любой функции у е Н/Я) справедливо неравенство ~Шй' < 3 !! ~У!'ьэ 19.30. Пусть Ц вЂ” кольцо (1 < ~х~ < 2). Найти Х 1' /44-//*44аа /'/'4). *=а, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
