1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Функцию е отыскиваем в виде ряда о(х,в) = ~ Тв(Г) в!п— (12) Я=1 по собственным функциям задачи (6), (7). Подставляя (12) в (11), получаем Г а е ~тзо;.(", )т,уо1 "— '*=то,е. 1=1 Разлагая функцию д(х, Г) в интервале (0,1) в ряд Фурье по синусам д(х,в) = ~ дв(Г) яш (14) 1=! и сравнивая (13) и (14), находим дифференциальные уравнения та(Г)+ ~ — "Г') ть(Г) = .(Г), (15) где (13) дь(Г) = — / д(с, Г) яш — ГГс (к = 1,2, ...). о Решая уравнении (15) при нулевых начальных условиях т,(о) = о, т„'(о) = о (й =1,2,...), (16) находим Ть(Г), а затем определяем е с помсвцыо формулы (12).
Заметим, что решения Ть(Г) уравнений (15) при условиях (16) можно првдставить в виде Ть(Г) = / / д((, т) вш — (à — т) вш ГГ~е ГГт. (17) Гтт( й / ! Решение задачи (11), (2), (3) представляется в виде Гттх Г Ьгав „йта11 . Геях и(Х,Г) = ~~1 ть(Г) ящ — +~ ~авСО — +5»ящ /НП вЂ”, Г ~ '' Г / 1=1 1=1 где функции тв(х) определяются формулой (17), а коэффициенты аь и Ьв — формулами 2 Г .
йтх аь = — / ио(х) я1п — ах Г/ 1 д дд. Мееаод риэдеаенне переменных 245 20.6. Решить методом разделения переменных следующие смешанные задачи: 1) им — — и„+ 2Ь (Ь = сопяс, 0 < х < 1), и(е-о = О, и)е=е = О, и!с=о = ие)е=о = О' 2) иее = и„+ сояс (О < х < я), и)~=о = идеен = О, и~с=о = = ие!е=о = О- 20.7.
Репшть задачу о колебаниях однородной струны (О < х < 1), закрепленной на концах х = О и х = 1, под действием внешней непрерывно распределенной силы с плотностью р(х,1) = Лря1пы1, Йяа еи ф — (Ь = 1, 2, ...). Начальные условия — нулевые. 20.8. Решить задачу о продольных колебаниях стержня, подвешенного за конец х = О (конец х = 1 свободен), совершаемых поп влиянием силы тяжести. Задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны под действием внешней силы в случае, когда концы струны двигаются по некоторому закону, приводится к решению уравнения (11) при граничных условиях вида иЫ=Π— р1(1), им — ю = рз(е) (18) и начальных условиях (2). Решение задачи (11), (2), (18) ищем в виде ис е+и, где со = рс(1) + — (рз(Ф) — рс(1)) — функция, удовлетворяющая зяланным граничным условиям (18). Тогда функция и(х,с) удовлетворяет нулевым граничным условиЯм е) -о = и) -е = О, УРавнению нее — аоие = дм где дс(х,с) = = д(х, 1) — (еом — азы ), и следующим начальным условиям: и!с=о =ио(х) — ю!с=о ее~с=о =ос(х) — еое!с=о.
(19) Мы пришли к задаче типа (11), (2), (3) для функции о. 3 а м е ч а н и е. Иногда удается найти функцию и, удовлетворяющую неоднорсиному уравненшо (11) и заданным граничным условиям (18). Тогда, отыскивая решение задачи (11), (2), (18) в виде и = и + ю, находим, что функция еа удовлетворяет однородному уравнению (1), нулевым граничным и начальным условиям (19).
20.9. Решить следующие смешанные задачи: 1) и„= ии, О < х < 1, и1е=о = О, з4еся = С и)с=о = не~с=о = 0' 2) и = иее, О < х < 1, и) =о = 1 + 1, и) -1 = 1 + 2, и1е=о = Ж$е=о 20.10. Решить задачу о вынужденных поперечных колебаниях струны, закрепленной на одном конце (х = 0) и подверженной на дру- 246 Ге. И. Сэгеагалиаа задача гом конце (х = 1) действию возмущающей силы, которая вызывает ала смещение, равное Азгпаге, где ы ф (к = 1,2,...). В момент времени 1 = 0 смещения и скорости равны нулю. 20.11. Пусть стержень длиной г, конец которого х = 0 жестко закреплен, находится в состоянии покоя. В момент 1 = 0 к его свободному концу х = г приложена сила 9 = сопзС, действующая вдоль стержня. Найти смещение и(х, г) стержня.
20.12. Решить задачу о продольных колебаниях однородного цилиндрического стержня, один конец которого заделан, а к другому концу приложена сила Гд = А гйп аг1, направление которой совпадает с ал(2Й + 1) осью стержня ~аэ ЗЕ, й = 0,1,2,...). 20.13. Рецгить задачу о свободных колебаниях однородной струны длиной 1, закрепленной на концах и колеблющейся в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости. Начальные условия нулевые. 20,14.
Решить следующие смешанные задачи: 1) ии — — и — 4и (О < х < 1); и1 =и = и1 — г = 0; и1г — а — — хг — х, иг1г=о = О; 2) ин+2и,=и — и (0<х<гг); и1, а — — и1,— =О; и1г=о= = ггх — хг, иг1г=а = 0; 3) им+2иг = и, — и (0 <х <л); и*1*=а =О, и1 — „=О; и1г=а= О, иг1г=а = х; 4) ии+иг=иел (0< к < 1); и1,=о =1, и)э — г —— О; и1г=а = О, иг1г=о = 1 — х; 5) игг = и,э + и (О < х < 2); и1э=е = 21, и1*-г = 0; г4с=а = = иг1г=е = О; 6) игг = ила+ и (О < х < 1); и1*=о = О, и1 =г = 1; и1г=а = О, иг1г=а = —. Т' 20.15. Решить следующие смешанные задачи: 1) ии — — иэе + х (О < х < л); и1э=е — — и1=~ = 0; и1г — а — — зш2х, иг 1г — а — — 0; 2) ии + иг = и„+ 1 (О < х < 1); и1*=о = и1,=г — — 0; и)г=а = = иг 1г=о = О.
20.16. Репгить следующие смешанные задачиг 1) игг — и + 2и, = 4х+ 8е'созх (О < х < л/2); и,1 -а — — 21, и1 1г = л1; и)=о = сгих, иг1г=а = 2х; 2) игг — гг~~ — 2иг — — 41(згпх — х) (0<х<л/2); и1 — а = 3, и 1 =1~+1' и1 =а = 3, иг1г=о = к+ згпх; 247 З 20. лглеплод риэдееениэ переменных 3) ии — Зил = и„+и — х(4+1)+осе — (О <х < л); лл,!.=о = Зх 2 = 1+1, и(,— = л(1+1); и)ляо = игал=о = т; 4) ии — 7ил = и, + 2и, — 21 — 7х — е * в1п Зх (О < х < л); и) -о — — О, и(,-~ = л1; Щв-о = О, ллл!л-о = х; 5) ии+2ил — — их +8и+2х(1 — 41)+стеЗх (0<х<л/2); и ) — о = 1, и1 — л7г = —," лл|х=о = О, алли=о = х; 2 6) илл — — ие +4и+2в1п х (0<я<я); гле) — о —— и ) =0; и)л=о = ил)л=о = 0; 7) ии — — и, +10и+2вт2х ссех (0<я<я/2); гл) =о —— и,( 72 =О; и~л=о = ил)л=о = О„.
8) илл — Зил — — и, +2и, — Зх — 21 (О < х < л); и),-о — — О, и),— = л1; гл!л=о —— е * вшх, ил~~=о = х. и начальных условиях ди ~ — = ил(х,1Г). дл и=о и!е=о = ио(х, у), 20.17. Решить задачу о свободных колебаниях квадратной мем- бравы (О < х < р, 0 < р < р), закрепленной вдоль контура, если лх . лр ди~ и)л=о = Ав1п — ' ьйп —, — ! = О. р р дл)л~ 20.18.
Решить следуюшую смешанную задачу: ии = лЗи (О < х < гг, О < у < л), и~ =о = и)х — „= и)я=о = и/и — — — О, и~с=о = Зв1пх в1п2р, ил)о=о = 5сйпЗх вш4р. 20.19. Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной мембраны (О < х < р, 0 < р < д), закрепленной вдоль контура, ди! селии)л-о — — Ахр(х — р)(у — д), — ~ =О. дл е=о В задачах 20.17 — 20.20 требуется применять метод разделения переменных для изучения колебаний мембраны. Задача о колебаниях одноРодной мембРаны сводитсЯ к Решению УРавнениЯ ии = азйи + 7" при некоторых начальных и граничных условиях (см. с. 14-16).
В частности, задача о свобопньгх колебаниях прямоугольной мембраны (О < х < р, 0 < р < д), закрепленной по контуру, сводится к решению волнового уравнения , =а —,+ —, при граничных условиях и)х — о — — и~е — р — — и)иьо = и)в — ц — — 0 Тя. 'т7. Смешанная задача Задача о свободных колебаниях круглой мембраны радиуса Л, закрепленной по краю„приводится к решению уравнения (20) при г аничном славин (21) Р У и)„-л = 0 и начальных условиях ди идене = ио(т, У), (23) (25) и из (25) найдем, что ФнМ)+ ' Ф(Ю) = О, (30) Яа(т) + 1 Яу(т) + (Лз Р ) Я(т) — О причем в силу (27) и (28) должны выполняться условия Я(й) = О, (31) (32) /Я(0)/ ( оо.
(33) Из (30) и (26) находим (ю = п целое): Ф (~р) = А„созшр+ В 21пп2р. (34) Уравнение (31) подстановкой Лт = к(Е(т) = р(я)) приводится к ураввению Бесселя = ид(г,~р). (22) Применяя метод разделения переменных, положим и(г,ир,1) = Т(1) и(т,~р). Подставив (23) в (20), получим уравнение для Т(1) Тн(1)+а Л Т(1) = 0 () и следующую краевую задачу для и(т, ~р)2 д2, 1 д 1 д2 — + — — + — — +Лзи=О. дгз т дг тз дцР Из физического смысла зада 2и вытекает, что функция и(т, ~р) является 2я-периодической функцией от 22, т.е. е(т, ~р) = и(т, 22 + 2я), (26) и что эта функция ограничена в центре круга, т.е. ~и(т=а~ С со.
(27) Кроме того, из условия (21) следует, что э)т-д = О. (28) Применяя метод разделения переменных к-задаче (25)-(28) положим е(т,12) = Ф(~о) Я(т) (29) 249 З 90. Метод раэдеаених переменных хера+ ху'+ (х — из) р = О, общее решение которого имеет следующий вид: уи(х) = С1ди(х) + Сей(х)~ где д„(х) и У (х) — функции Бесселя 1-го и 2-го родов и-го порядка. Свойства функций,7,(х): 1) хор~и уравнени~ (35) при и > — 1 — вещественные и простые (кроме, быть может, корня р = О); они симметрично расположены на оси р относительно точки р = О и не имеют конечных предельных точек; Я О е Фя ' ~*'("е*)'-Ж)" = о ("~оЬе)) = Ам+1(Ре)~ е = Л (36) где ре и рд — различные положительные корни уравнения (35); 3) функция Дх) при некоторых условиях разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по системе функций д„(ахах/В) (Й = = 1,2,...), где рырз, . — положительные корни уравнения (35).
Вернемся к уравнению (31); его общее решение при и = и имеет вид Е„(г) = С 3 (1~г) + В„У„(1~г). Так как в окрестности точки х = О функция о„(х) ограничена, а функция У„(х) является неограниченной, то в силу (ЗЗ) В„= О, т.е. Е„(г) = С„Л„(1г). (37) Из условия (32) находим,7„(ЛЛ) = О. Полагая лл=1ь (38) приходим к уравнению (35); пусть р ", р ",...
— — его положительные корни, т. е. .? (р~"~) = О, (гл = 1, 2, ...). (39) Тогда из (37) — (39) получаем, что функции ЯгМ (49) являются решениями задачи (31)-(33). Функции ар х, аа~ 11 м оо 5 и„(г, р,1) = Л„соз + В„зп1 ) соя шр+ + С„соз + Впт зш — "' сйп пео д„~ (4 ) 250 Гл.
И. Смешанная задача 20.20. Решить задачу о свободных колебаниях однородной круг- лой мембраны радиуса Л„закрепленной по краю, в следующих слу- чаях: 1) начальное отклонение определяется равенством и!е о =А Уо~ — /), /))„г~ — а~я )* где ))ь — положительный корень уравнения Хо(Х)) = О; начальная скорость равна нулю; 2) начальное отклонение и начальная скорость зависят только и)е=о = 1(г), ис!ьма = Р(г); 3) начальное отклонение имеет форму параболоида вращения, а начальная скорость равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
