1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(2й+1)хх ) 11 вгп !пп и(х,1) = ид; я=о à — гею 3) 4(А —.,) ( — 1)" ) 1(2й+1) 1 ( (2й+1) 8А 1 1' 1'(2й+ 1) гга 1 ) (2й + 1) ггх В в0. Меспод раздсяеиия персмеппмх 4) Ч=' у, ''1 (2п+1)пи'+'О~Ь ехр — (2п+1)па 1 х с (2п+ 11 их 2 с . (2п+1)ях х яп, где а„= — ~( ио(х) яп 4х (Указа- 21 ' " 1 / 21 о н и е. Граничные условия имеют вид и(,-о =им Ьи,(, = о.). ь Ь извЬ вЂ” х — и~вЬ вЂ” (х — 1) 2 оо / ( ц вЬ вЂ” 1 й х ехр( — (аЛ„) й) вш —, где Лз = ~ — ) + (-), ап = (сио(х) х япх х в1п — 4х (У к а з а н и е.
Задача приводится к решению уравпения 3 3 ис —— аи,— Ьи () при граничных условиях и( — о = им и~ ~ = из и начальном условии ин=о —— ио(х). Решение втой задачи искать в виде и(х,в) = е(х) + +ю(х,1), где е — решение уравнения азии(х) — Ьве = О, удовлетворяющее заданным граничным условиям, а ю(х,Ф) — решение уравнения (*) при нулевых граничных условиях и начальном условии ю~ =о = ио(х) — е(х).); Ь сЬ вЂ” (1 — х) + Ьдо вЬ вЂ” (1 — х) й й ОО ( 3+Ь2) 2) иг 2и|аз 2 ~,",Л,",', х ЬсЬ вЂ” '+ Ь,ввь— — (а р„+ ) о ' ' а х, ехр( — (азрз+Ьв)1)в1пр„х, где р„(п = 1,2,...)— 1 (ф~ + Ьз1) + Ь ~) положительные корни уравнения й5 1р = — — (У к а з а н и е.
Грал Ь| ничные условия имеют внд и) о — — иы (и + Ьзи)( -~ = О. Решение искать в виде и(х, Х) = е(х) + ю(х, 1), где е(х) — решение уравнения азе" (х) — Ьве = О, удовлетворяющее краевым условиям е(,-о = иы (и + Ь|о)/ — с = О, а ю(х,й) — решение уравнения (*) (см. задачу 40 43, 1)) при условиях 'в/,-о =О, (ю,+Ьсо)/,-~ = О, а~(,-о = — и(х) ). 1 — х 2 АР 1 ( 20.44. Ав — — —,, ,'С вЂ”., ~1 — ехр~ — ~ — ) слв1п —. 20.45. 1) х — 1+ — ,'> совЛкх, Ль = в=о (2" +1) 2) 1совх+ — (е в' — 1) совЗх; 3) хо+ япяхе* ' — вФ 8 и 4) х+йв1пх+ — (1 — е в') япЗх; 5) 1хз+ — (е" — 1)+гсов2х; 8 6) 1+ 1 + (1 — е ') ес в|п х + е* и яп 2х.
20.46. 1) хсз+е'+в1пг — совг+е з'сов2х; 2) хо+ 2ео'+ (21 — яп21) совЗх; 270 Га. т1 Сзсенсанная задача 3 ) х+!я+ (еы 1) сгнх+ ! (1 е-зс) соз3х; 5 3 4) з1+ + ~" ~з"-! (1 —,— 1ь- 1") зш(21,— ц . й=! (21с — 1)з — 6 с '- =-.(., — ' .) [1 е <Яс„з+.„]„,.„„„. Ус„зс4 О, если й = 2лс, с,= + — + 1с, если Й= 2тп — 1.
сг ~2п! — 1 2т+1 2та — 31' 2 '"' г нот л 20.47. 1) — ~ ', ане Р""'1л> 'зш —, ан = ! гио(г) згп — с(г; йт „ я' " .с Л о В ,ин (и = 1,2,3,...) — положительные корни уравнения 18 сс = — —, Сс о' = ЬИ вЂ” 1 (гт > — 1); ЬЛ~ 3) и + 2(и — и ) — 2 (-1) 'а, е 1 н" 1 1 зсп — 1сн положительные корни уравнения Ф8 сс = — —, о. = 611 — 1 (гт ) — 1), Ь— !с коэффициент теплообмена в краевом условии [и„+ л(и — и!)][,=л = 0„ /дз с„гтз р [!4 + ст(гт+ 1)] о /заз бтз-ЗЛз М"! - е-! '"!" р 4) ио+ — ~ — 1+ — — ) ~ з1п — ", ссн (и = 11 1011 „з 11 г н = 1„2, 3,...) —.
положительные корни уравнения 18 д = р (У к а з ан и е. Задача приводится к решению уравнения (14) (с. 258) при граничных условиях [и[„ о] ( оо, и„[, л = †.). О 1 е)' 20.48. 2 2 о г,.е 1~ 10 0 +я 1!з1п — и!и ся т'=! й=! 4 ге . Утгх, йяу аж = — с 1 ио(х, у) с4п — зсп — г1хг1у. 1П оо У к а з а н и е. Применить метод разделения переменных для уравнения ис — — а Ьи при условиях и].— о — — и[ -с = и[ о = и[„-с = 0 и[с=о = ио(хгу). 20 49 1) Ае-гаа 1л1 сХо !с а' ~т (й/' 2) ио 1+ 2 Я о " е гаа"1л> ', где р„(п = 1,2,...) — — по=! сс до(сс ) ложительные корни уравнения уо(со) = О; 271 З Я.
Лрдеае мел»оды и е х .7е(~ ) й., где р„(п = 1,2,3,...) — — положительные корни уравнения 1»Хе(1») + 6»»с,»е(1») = 0 (У к а з а н и е. Граничные условия имеют вид ]и],-е] < оо, (ос + Йи)];н = 0.). 20 бО ц (1+ 1)-»( -»»~+ яз и» 1),7 ( 2) (»а2 — 1) '(е "— е-""')А Ь х). 20.31. ~1» 21» 1» 4(е я»» 1)),7 (1»».) 20.52. 1) (1бр ~е "»»»~+4р 21 — 1бр ~),У»(1»ь~/х) 2) е и', »/4 7з (Р я ч»х ) 2 21. Другие методы х > а1, 21.1. Доказать, что задача и»»=ази» 1>0, х>0; п]»=е = О, п»]»=о = О, п].=о = д(1) имеет единственное решение О, д~1 — — ), х<а1, если де С (1> 0), д(0) = д'(О) = д"(О) = О. 21.2. Доказать, что задача и»» = азиях, 1 > О, х > О; п]»=е = ае(х), а»]»=е = п»(х), и],-е — — 0 имеет единственное решение 1 х-»-М вЂ” ]не(х+ а1) + ие(х — ай)] + — / и»(С)»(С, х > а1, и(х,1) = 1 1 2 — ]ие(х+ а1) — пе(а1 — х)] + — 1 и»(С) аС, х < а1„ 2а 2 а»-» если ие 6 Сз (х > О), и» Е С (х > 0), ио(0) = и~~(0) = и»(О) = О.
Показать, что зто решение можно получить из формулы Даламбера (с. 137), если функции пе(х) и и»(х) продолжить нечетным образом для и < О. 21.3. Доказать, что задача и»»=азы„, 1>0, х>0; и]» — е = О, и»]» — е = О, и ]*=в = д(Ф) имеет единственное решение 272 Да %7. Слешаввае задача о, х > аС, и(х,С) = — а / д(т)СХт, х < оС, о если д Е С'(С > 0), д(0) = д'(0) = О. 21.4. Доказать, что задача им=а и,„С>0, 2 и~е=о = ио(х), ие!с=о — — ис(х), имеет единственное решение х>0; из ~з=о — 0 1 е+ы — (ио(х + аС) + ио (х — аС)) + — / из (~) СЦ', з — ае 1 — (ио(х + аС) + ио(аС вЂ” х)) + 2 и(х,С) = ~ заее ае — е -:- —,'„~ Х °,юа Х.,(оа].
о о х < аС, если ио 6 С (х > О), ш Е С'(х > О), ио(0) = и~с(0) = О. Пока- зать, что зто решение можно получить из формулы Даламбера, если функции ио(х) и из(х) продолжить четным образом для х < О. 21.5. Доказать, что задача ии — — а~не„, С>О, 0<х<Х", и!е=о = 0 ие)г=о = О, и)з=о = д(С), и! еа = 0 имеет единственное решение о=е С 1(0, 1<0, если д Е Сз (С > О), д(О) = д~(О) = до(0) = О.
21.6. Доказать, что задача иЕС=аиее, С>0, О<Х<Х; иЬ=о = ио(х), ие~~=о = ис(х), и)з=о = О и)з=с = 0 имеет единственное решение е+ее и(х„С) = — (й(х + аС) + йо(х — аС)) + — / йз(ье) СХче„ 1 1 2 2а ./ з-Ы где функции ио(х), йс(х) — нечетные, 21-периодические и совпадающие с функциями ио(х), из(х) при 0 < х < Х, если ио Е С (О,Х], ид Е С (О, Х), ио(0) = ио(Х) = из(0) = из(Х) = и'„'(0) = ио(Х) = О. З дд Лрдзие метподы и ) =р = О, и) =о=4з иж!х=о — 1 В задачах 21.7 — 21.23 требуется доказать, что существует единст- венное решенно поставленной задачи„найти эта решение.
21.7. ин — — ази„, з > О„х > 0; и!с=-о = О, изб=о = О (и* — Ри)! =о = д(З), д~С'(З>0), д(0) =д'(О) =О. 21.8. ии — — ози „З>0, х>0; ни=о = ио(х), ийг=о — — О, (ия — ~Зи)/~=о —— О, ио Е Сз (х > 0), ио(0) — ФЗио(0) = О. 21.0. ии = ази„, 1 > О, О < х < 1; низ=о =О, ив~=о =О, и*)*=о =д9), и,,) =г =О, д ~ С' (1 > О), д(О) = д'(О) = а. 21.10. ин —— ази„, 1 > О, О < х < 1; и)~=о = ио(х), изб«=о = ид(х), и,,),=о —— О, и,), ~ = О, ио Е С ((О,Ю)), иъ Е С ((О,Ю)), йо(о) = и',(О) = ио(() = и',(Х) = О.
21 11. ин — - взи», з > О, 0 < х < 1; и)=о = О, из!с=о = О, и),=о = д(З) и. ~*=~ = 0 д е С (Х > О), д(0) = д'(0) = д" (0) = О. 21.12. ин — — ази„, з > О, 0 < х < 1; м4з=о = ио(х), низ=о = из(х), и!~=о = О, ио 6 С ([О,Х]), из Е С ((О,Х)), ио(0) = ио(О) = из(0) = иоЯ = йз(Я) = О. 21.13. ии -— и,, З>О, х>0; и)~=о = х, ицю=о = х, и1~ — о = 1 . 21.14. ии — — 4и + 161з, З > О, х > О; 1 и)с=о = — х, и,1~-о = 2зшх, 6 21.15. Уии — — и„, Ф > О, х > 0; и1«=о = 27х, из!«=о = О, и!я=о = ~ . „з з 21.16. ии = и„+ 2, 1 > О, х > О; и~~=о = х+ созх, и~!с=о = 1, 21.17.
и =и, З>О, х>О; и с=о = *, Ма=о = 1, М*=о = «оз~. 274 Га. $1. Смеасанаая задача Ои, + е', С > О„х > 0; х, ис1с=а = 4 — 3 соя —, их!*=а = 2 — соя С. Зи„+2(1 — 6Сз)е з*, С>0, х>0; ис1с=о = х (и* — 2и)!*=о = — 2+ С вЂ” 4С . и„, С>0, х> 0; ис!саа — О, (ие + и) !а=0 — 1 — соз С- и +4, С>0, х>Р; 21.11С. им и1,-е = 1 21.19. исс и)с=о = 21.20. исс и1 =а 21.21.
сси (и +и)1 =а = — С . 3 2 и1с е =1 — х, ис1с=о = О, 2122 нес=и* С>0 х>0' и(с=о = хз, ис!с=о = О, (ис — и)! =а = 2С вЂ” Сз. 21.23. 1) ии — — иа — б, С>0, х>0; и!с=а — — хз, ис)с=а = О, (ос+ 2иа)!а=а = — 4С; 2) ии=4и, +2, С>О, х>О; и!с=о = 2 — х, ис1с=о = 2 (ис -~- Зи„)1,=.е = ЗС вЂ” е . 21.24.
Найти наибольшую область, в которой поставленная задача имеет единственное решение, и найти зто решение: 1) исс = и„; и!с=а = х, О<С<2; Сз 0<х<2, х Е 17з. и1~,~ с — — 0 2) ии = и**; и!с=о=2хз, ис)с=о=О, 0<х<4 и)с — зе — — О, 0<х<1. 21.25. Доказать, что задача ип — — азсзи, С>0, 1х1>1, хйес~, и!с=о = О, ис!с=а =" и!сх/=-1 д(С) имеет единственное решение О, 1х! >1+аС, — д(С+ ), 1 < (х! < 1+аС, если д 6 С (С > 0), д(0) = д'(0) = д"(0) = О.
Показать, что ес- ли д(С) — финитная функция, то и(х, С) = 0 для любого фиксирован- ного х, 1х! > 1, прн достаточно больших С. В случае, когда д(С) 7С О прн О < С < У, д(С) = 0 при С > Т, найти момент времени С,, в который через точку х„!х! > 1 пройдет задний фронт волны. 21.26. Найти решение задачи исс = азсаи, С > О, !х! > 1, и!с=о = о(1х!), ис)с=о = СЗ(1х1), 27о г И. »7ддеое мел»од»е нм — »зи, 1>0, 1х1>1, хауге~„ и!»=о = а(1х1), о»1»=о = Р(1х!), ~— / = О, где а ~ Сг(г > 1), )) ~ С'(г > 1), а'(1) =(1'(1) = О. Доказать, что если функции а(г) и Д(г) финитные, то существует такая функция с(х), что 1и(х,г)1 < с(х) е»„а для того чтобы и(х,») = 0 для каждого фиксированного х, 1х1 > 1, при достаточно больших», необходимо и достаточно, чтобы ( ге"!а(г) — »1(г)) Йг = О.
21.29. Решить задачу и»» = Ьи, 1 > 0» 1х! > 1, х Е г»', и»1»=-о = О, Й = сапог. и!»=о = О, Решить задачи 21.30 — 21.36. 21.30. и» вЂ”вЂ” ого е + Дх, 1), 1 > О, х > 0; »»!»=о = оо(х) и1е-о = О. 21.31. и» вЂ” — оги „1 > О, х > 0; и1»=о = О, п1,=о = д(1). 21.32. и» = агпее» 1 > 0» х > 0 и!»=о = ио(х), 21.33. и» вЂ” — ого„, 1 > О, х > 0; и1 =о = О, и*1*=о = д(1). нх1е=о = 0 где а(г) е С (т > 1), Д(г) Е С (г > 1), а(1) = О, а"(1) + 2а'(1) = О, Я1) = О.
Доказать, что если функции с»(г) и (З(г) финитные, то о(х,1) = 0 для любого фиксированного х, 1х! > 1, при достаточно больших й 21.27. Найти решение задачи ин —— Ьи, » > О, !х1 > 1, х 6 Вз; до ~ и!»=о = О» ™»1» — о = О, — ! = д(е), д»3 це)=» где д е С (» > О), д(0) = д'(0) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
