1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 41
Текст из файла (страница 41)
20.21. Найти решение смешанной задачи 1 ии = и . + — и. + Х(Х) Ло(рьх), где Х)г — положительный корень уравнения Уо(Х)) = О, 0 < х < 1, и!.=) = и!)=о = и)!)=о = О, )и!,=о! < сю, если: 1) 1(Х) = Хг + 1; 2) / (Х) = эш Х ) соэ Х. 20.22. Найти решение смешанной задачи 1 иге = иге+ — и, О < х < 1, х и!,, = д(Х), и!)=о = ио(х), ис)с=о = и)(х), !и! — ! < оо, если: 1) д(Х) = эш Х, /о(2х) до(2) ' и)(х) = 0; и)(х) = 0; 2) д(Х) = соэ2Х, в силу (23), (24), (29), (34), (38), (40) являются частными решениями уравнения (20) и удовлетворяют граничному условию (21). Решение задачи (20) — (22) ищем в виде формального ряда (.,ж,Х) =~~;и.
(.,ж,Х), =о где функции и„определяются формулами (41). Задача сводится к разложению некоторых функций в ряд по системе функций Ю„(Х)й~г/Рс) (т = 1,2,...). В силу (36) коэффициенты а разложения ее / Хн) д(.) = ~:о ~.~="') ге=) определяются формулами / с") ~ есг уг (,с )) / З 20. Мендод разделения нерехсеннмх 2х1 если: ио(х) = 1 — —, .Уо(х) ,Уо(1) ' а(1) = (х) хе 1, 1) У(1) = созе, ид(х) = О; 2) 7(1) = ап31, 3) УЯ = — 2соз2С, д(1) = ид(х) = О, ио(х) = — ~ — 11+ 1 Г.Уо(2х) 2 1,7о(2) +.Уо(рдх), где Усд — положительный корень уравнения,Уо(Ус) = О.
20.24 Решить смешанную задачу 1 ссхх + — дсх = исс + сс, О ( х ( 1, ~и)х=о~ ( со, и)х=д — — соз 21+ 81п 31» 7о (хдУЗ) З.Уо (Зхд/2) Уа (Л) .Уо (2Л) 20.25. Решить задачу о колебаниях однородной круглой мембра- ны радиуса Я, закрепленной по краю, если эти колебания вызваны равномерно распределенным давлением р = ро зшосФ, приложенным к одной стороне мембраны.
Предполагается, что среда не оказывает со- противления и что о» ~ —, где рн (и = 1, 2, ...) -- положительные й,о корни уравнения Уо(ус) = 0 (нет резонанса). 20.26. Решить смешанную задачу 1 исс = ихх + — их 0 < х < 1, х хх и~х д =О, и!с=о =ив(х)» ос!с=о = ид(х), если: 1) ио(х) = Уд(усох) + Уд(ус х) ид(х) = 0" 2) ио(х) = Уд(усдх)» ид(х) =.Уд(ус х). Здесь Усе и Усх» — два Различных положительных коРнЯ УРавнениЯ .Уд(ус) = О. 20.27. Решить смешанную задачу 1 и с ии = и„+ — и — — + е Уд(7сьх), х хх где Усе — положительный корень уравнения Уд(У») = О, О < х < 1, 3) х(с) = 1 1 ио(х) =,Уо(У»дх) — 1, где Усд — положительный корень уравнения,7о(,и) = О, и,(х) = 1.
20.23. Найти решение смешанной задачи исс+,7(1)=и..+-и., О<к(1, 1 (ис»х — о~ ( со» и»Сх=д = х(Е)» и(с» о — ио(х) ссс»се=о ид(х)„ 252 Гл. Ъ7. Смешанная задача !и(,=о! < оо, и! =ч чаи!с=о =ис!с=о =О. 20.28. Решить смешаннусо задачу 1 и исс=и + — и — —, 0<х<1, х хг' !и!Я=о! < оо, и!я — с = вчп21 сов С, Л~.'ю) 3 Ус(3х) ис!с=о = — +— 2уч(1) 2 Ус(3) ' 20.29. Решить смешанную задачу 1 4и час=и, +-и.— —, 0<х<1, х хг !и!а=о! < со, и!„=с = О, ч4с=о = ио(х), и!с=о = О, ис(с=о = ич(*), если: 1) ио(х) = ич(х) = Уг(Усах); 2) иа(х) =- — Уг(уяьх), ис(х) = — Лг(уссх) 1 =3 2 2 Здесь дс, — положительный корень уравнения .Уг(счс) = О. 20.30.
Решить смешанную задачу 1 4и им = и + — и, — —. + У(1) Уг(Сссх), О < х < 1, где усс — положительный корень уравнения,Уг(р) = О, !и!я — о! < оо, и!я — д — и!с — о = ис!с=о — Оч если: 1) У(8) = С; 2) У(С) = соей 20.31. Решить смешанную задачу 1 9и исс = чсея + — ил — —, е г \ и!;ч — — О, О<х<1, ис!с=о = Уз(рсх), !и!,-о! < о, где Ссч — положительный корень уравнения Уз(сс) = О, чс!с=о = ио(х), если: 1) ио(х) = 0; 2) ио(х) =,Уз(усчх).
20.32. Решить смешанную задачу 1 9и ии = и + — ия — — +ДС) Уз(Сссх), О < х < 1, х хг (и!,=о! < со, и!*=ч = и!с=о = ис!с=о = О, где ря — положительный корень уравнения,Уз(сс) = О, если: 1) ПС) =е '; 2) У(1) =С вЂ” С'. 253 З хдд. Метод разделение переменных 20.33. Решить смепданную задачу 1 (хие)х = ддм, 0 < з <— 1дд1е=о! оо и1е=дуе = 0 и1д=о = Уо (2удддУх)э ид1е о — — О, где удд — . положительный корень уравнения Уо(уд) = О. 20.34.
Тяжелая однородная нить длиной У, подвешенная за один из своих концов (х = У), выводится из положения равновесия и отпус- кается без начальной скорости. Изучить колебания нити, которые она совершает под действием силы тяжести; предполагается, что среда не оказывает сопротивления. 20.35.
Тяжелая оцнорцаная нить длиной 1, закрепленная верхним концом (х = 1) на вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью ад. Найти отклонение и(х, 1) нити от положения равновесия. 20.36. Решить смешанную задачу ии — — (хие)е, 0 < х < 1 1и1,=о!< со, и,1,—..д —— О, и!д=о = О, ™д1д=о =,Уо(1дьд/х), где ддь — положительный корень уравнения Уд(уд) = О.
20.37. Решить смешанную задачу иы = хихх + и, + У(1),Уо (рддр), 0 < х «1, !и!*=о! < оо д4*=д = д4д=о = ид1е=о = О, где дд — положительный корень уравнения .Уд(р) =- О, еслид 1) У(Ф) =1; 2) У(1) = здпй 20.38. Решить смешанную задачу нее=хи +и — —, О«к«1, х 1и1,— 01< оо, д4*=д = О, д4д=о = О, ид1д=о = Уз(УдйзУх), где удь -- положительный корень уравнения,Уз(р) = О. 20.39.
Решить смешанную задачу 9и идд — — хи„+ и, — —, О < х < 1, 4х' 1и1 =о1 < оо, и1„д = О, и1е=о = О, не!о=о = Уз Ьдд/х), где,ид --- положительный корень уравнения,Уз(р) = О. 2. Уравнения параболического типа. а) Задача о распространении тепла в тонком однородном стержне О < х < 1, боковая поверхность которого теплоизолирована, а концы х = 0 и х = 1 поддерживаются при нулевой температуре, приводится к решению уравнения теплопроводности ие=а и х (1) при граничных условиях 254 Га. Уй Смечиаинаи задача и), о=О, и~,=г=О (2) и при начальном условии и1е=о = ио(х).
Р) Применяя метод разделения переменных, ищем частные решения уравнения (1) в виде и(х,в) = Х(х)Т(е). (4) Подставляя и из (4) в (1), получаем два уравнения Т"(1) +а ЛТЯ = О, (3) Ха(х) + ЛХ(х) = О. (б) Пдя нахождения нетривиальных решений уравнений (1) вида (4), уловлетворяющих граничным условиям (2), нужно найти нетривиаль- ные решения уравнения (б), удовлетворяющие условиям (2). Пня значений Л, равных (см. з 20, п. 1) Л„ = ~ †, ) ( = 1, 2, ...), и только дпя этих значений„существуют нетривиальные решения Х„(х) задачи (б), (2) и при этом Г2 .
лах Х„(х) = ~( — в1п —. Значениям Л = Л„соответствуют следующие решения уравнения (5): Т ( ~ ) е ( а I ~ ) У Тогда функции и„(х, 1) = Х„(х) Т„(Ф) = а„е """'~О 'в1п— удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых постоянных а„. Решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (3), ищем в виде формального ряда и(х,г) = ~~~ и„(х,1) = ) а„е ~ ~О сйп —. а=1 а=з Из (7) и (3) находим СЮ лах 2 г ио(х) = ) 'а„в1п —, где а„= — ( ио(х) в1п лах — Их.
аяа о б) Задача о температуре однородного стержня длиной 1, боковая поверхность которого теплоизонирована, а на концах его происходит конвективный тепдообмен со средами, имеющими соответственно постоянные температуры из и из, сводится к решению уравнения (1) при начальном условии (3) и граничных условиях вила З гО. Метод разделения лоремоеимх и. [ =е — йг [и[.=е — иг[ = О, и*[*=ю + лагг [и[.=с иг) = О (8) (11) Х„(х) = — соз — х + Йг з1п — х. йо ро И ш(, 1) ~~, 1 -о'л'„гХ ( ) о=1 где козффициенты А„находим из начального условия (12), используя ортогональность функций Х„(х) на [0,1]: Ао = ( ио(х)~ — соз — х+йгз1п — х) сЬ, 1 Г- /ро р д [[й-[[г ./ о [[Ф„[[г = / ("~ соз ~"' х+ Ьг з1п —" х) Нх.
е Тогда гделг>0, Ьг>0. Если Ьг — — йг = О, то условия (8) принимают внд и,[„--о = и,[,-1 = О. (8) Условия (9) означают, что концы стержня теплоизолированы. Решение задачи (1), (3), (8) ищем в виде и(х,1) = и(х) +го(х,г), где и(х) — - решение уравнения (1) (ио(х) = О), удовлетворяющее гра- ничным условиям (8). Уравнение ио(х) = 0 имеет общее решение и(х) = Сгх + Сг. (10) Определяя Сг и Сг из условий (8), получаем Ь|(иг — и!) Сг С,=„„, С =,+ —. Функция го(х, 1) удовлетворяют уравнению (1), начальному условию го[о=о = и[г=о — и[г=о = иа(х) — и(х) = йо(х), (12) где и(х) определяется из формул (10), (11), и следукяцим однородным граничным условиям: (гох лгго)о=о (гог + лгго)о=1 — О ° (13) Решая задачу (1), (12), (13) методом разделения переменных, полу- чаем го„(х, г) = А„е ' ""~Х„(х), где Лг = ~", ио (и = 1,2,...) — положительные корни уравнения 1г '8'" 1(а,+дг) ~" д г' 256 Гж 17.
Смешанное задача 20.40. Дан тонкий однородный стержень О < х < 1, боковая по- верхность которого теплоизолирована. Найти распределение темпе- ратуры и(х,о) в стержне, если: 1) концы стержня х = 0 и х = 1 поддерживаются при нулевой температуре, а начальная температура и!о-о — — ио(х); рассмотреть случаи: а) ио(х) = А = сопзо, б) ио(х) = Ах(1 — х), А = сопзс; 2) конец х = 0 поддерживается при нулевой температуре, а на конце х = 1 происходит теплообмен с окружающей средой нулевой температуры, начальная температура стержня и!~ — о = ио(х); 3) на обоих концах стержня (х = 0 и х = 1) происходит теп- лообмен с окружающей средой, а начальная температура стержня и!о=о = ио(х); 4) концы стержня (х = 0 и х = 1) тегаюизолированы, а начальная температура и!о=о = ио = сопо$; 5) концы стержня теплоизолированы, а начальное распределение температуры задается формулой и!~=о = ио=сопзс, если О<х<-, 2' ( О, если — < х <1 2 1 изучить поведение и(х, 1) при 1 — + со; 6) концы стержня теплоизолированы, а 2ио — х 7 если 0<х<— 2' != = — (1 — х), если — < х < 1, 2 где ио = сопз$; найти 1пп и(х, 1).
з — ~со 20.41. Решить следующие смешанные задачи: Ц по =и, О <я < 1 их!о=о =0~ ия!я=з =О~ и!о=о =х 1~ 2) и = ио + и, О < х < 1, и! -о = и! -~ = О, и!о=о = 1; 3) ио = ихх 4и, О < х < я, и!к=о = и!хек = О, и!о-о — — х ях. 20.42. Дан тонкий однородный стержень 0 < х < 1, боковая по- верхность которого теплоизолировала. Найти распределение темпе- ратуры и(х, 1) в стержне, если: 1) концы стержня поддерживаются при постоянных температу- рах и! =о = иы и! — г = иг, а начальная температура равна и(о о = = ио — — сопз$; найти 1пп и(х,1); з-+оо 2) концы стержня имеют постоянную температуру и! -о = и! — ~ = = из, а начальная температура задается формулой и!о=о = ио(х) = Ах(1 — х), где А = сопзо; найти 1пп и(х, 1); о-+сю З я0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
