1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 37
Текст из файла (страница 37)
у'. Краевые задачи длл уравнений эллиппдичееноео дпипа 8) — 1(2 — йг) соей — 2(1 — йсйп й)1, !х! > й; !х! 4к — (сов )х! — 1)+вфп !х(+впдй — йсовй, !х! < й; 9) — (2йд~вй+ (йг -2) вдпй1, (х! > й; )*! 4к сов(х! — +Ввшй+соей, !х! < й; 2вдп (х! !х! 2кйз 10) — (121п2 — 5), !х! > й; 9)х! — 1('~+зй'-!х! 11 6+И+-'! !'+2! !(й-З)-й'1 ! !<В. 2ВЗК 18.7. 1) 2к(й~ ~— йг) ро, !х! < Вд, 2кй~~ро — — кро )х!г+ — ' ~, йд < !х! < Вг; — (йг йд) (х! > Вг дде 2) 4к ~ р(т)те(т, !х! < Вд', — ~ р(д')т е(г+4к / Р(т)теде, Яд Ид !х! 4 йд < !х! < Вг, .—" / Р(г) т'дг, !х! > Вг- н, 18.8.
1) — нй С~ — + — — ~, т>й; 2з.С~ — + — В г — — г~, 10 ~т 7 тз,~' ' ~ б Б 70 г < й, С вЂ” коэффициент пропорционапьности; 2) — д, т>й; — нйг — вт, г<й; г 3) 0; ге г га 4) — ~р(уд)е1др, г > й; (йг — — ) ~р(рддр, т < й. о о 1В 9 ((в — *) /я~~~в — чг'..* газ+ 4+ и — 2н* + +я'1 (я-*.'4я* Лв-,,р)-ни(-ч~-,твэ+*)!. и ге 18.1О. 1) УУ Р(гд)1п тд Игд дар; о о гг + гг — 2ггд сов (удд — уд) д йг г 2) — яйгро 1пт, д > й; — в.ро(йг1пй — ), т < й.
Р еда ение. Пусты > й. Тогда гв а= ад' вчд' ~' ,-+'" 1 1 ~ве,= о о так как В И. Метод иогпенциюлов 2л 2л( 1 о о о Пн- --' '-'.~"= 2л оо Л" = -2 1' л — (л — л(1ГГ, = О, О с=1 .д Л='— '<1; 10), т > В; 1г ~т — — ( сдп(р, Вз з. / 2т'1 . БВБ соз (р / 2т2 д2 /Вз 2 Вз 12) — — 1пт 1р((р) йр, т>В; ~ — — — 1п В о 1 р((р)(1(р, т< В.
о 3) — — БВ21пт, т > В; — [Вз(1 — 31пВ) — тз), т < В. 4) — — В~ 1п т, т > В; — ~В4(1 — 41п В) — т~~, т < В; 5) — 22( *)1 — (1 + В) е Я) 1п 1., т > В; Я г е — 22( е т — е Я + 1п 1 — (1 + В) е Я 1п В + ( — г(т1 1 < В. 6) — 2гг 1п т 1п 1~Г+ В2, т > В; — 2гг 1пВ1п1/Г+ — — ( г(тг, т < В; 1 г 1п(1+ ',) 1'1 7) — -ЯВБ121пт, т > В -4гг ~ВБ~21ЯВ+ 2 (те~2 ВБ/г)~ в<В. 8) 22.(Всов — 21пВ) 1пт, т > В; Г БШГ1 22 В1пВсов — 1ЯВБ1пВ+21пт — вшВ+~ — г(тг, т<В; т( 9) 21г 1п т(1 — В впп  — сов В), т > В; 22г 1пт — 1пВ(ВБ111 В+ созВ) + совт — сов В+ ~ — 11тг, 1 < В; г созт( т<В; т<В; 226 Гл.
1г. Краевме задачи для уравиеиий зллиигяичееиозв таила 18.11. У к аз ан и е. См. решение задачи 18.10, 2) з зз 1) згро(Яз — Взз) 1пт, т>Вз, 'зро Взг)пт — Язв)пЯз+ ), Вз < г < Вз', яро Я~з1пВз — Воз 1пВз+ 1, т < Вз, и, / е Лз з> -зл ГрГЛи, зя;, -з (г, /риГ я,+/р|Л и*и), л1 и, Вз < т < Вз, — 2з ( р(х)х1пхг(х т < Вз. н, 18.16. ~', Ц > В; 4згроВ, )х( < В. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (5). 4~В~С / 2В з 4 / 2тз 1 18.17. 1) — ~1+ —,), т > Я; — згВС ~1+ —,~, т < Я, Зт ~ Зтз )' С вЂ” коэффициент пропорциональности; яВ ( ( Я)з /г+ /В'~ \," 2з/тВ,/т — з/Й/' Ю ( ( — В)' з/В+,/т'1 2з/тЯ з/ — з/г) 3) — (е" — 1), т > В; 2В(е — 1), т < В.
2Яз 18.18. 1) 2яро ( /хо+ Яз — хз); з В+ъхз+В 2) кЯ /хз з4. Вз згхз )п 4 'Я~ зя 3) 1 — '!4'(я -л)„огзя) о (л я'-и!)/ягягю о 16.19 г,з,яр, и-" Гя Гя=-1' — хз+ /Вз+из зя з) я ) (я - ч.:, „ я :, Гя- З ) - ~ ( . ° ч я* з кГ)) / яГя) зя. о 18.20. О, )х! > В; — 4згзо, !х! < В; — 2ггио, Ц = В. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (5). Вз Ззт 2зг 18.21. 1) —,, т > В. — —, т < Я вЂ” — т = Я Зтз ЗЯ' ' 3' 2) — ~ — Зт+(В+Зт)~~( — — зу( — ) 1и ~, т > Я; я / тт- И'1 „Гт+,/Я) 2г к — ~Я вЂ” Зт+ (В+ Зт) ~у — — ~( — ( 1п ~, т < Я; 2т Ю ~ / .В-А' З 1З.
Меогод потенциалов 221 3) О, т>Я; -4(е — 1), т<В; — 2(е — 1), т=й; гв гв 4) О, т>В; — 2 / и(1о)йр, т<В; — / и(гр)йр, т=й; о о 1бхй~ 4хйг / бтг 1 5) т> — — ~1+ — ( т<В; — 2гг т=Л. 15тг 3 '1, й,)' г 18.22. 1) 2з.иохз — — ), хз ~0; )хз~) о "*'(.,/л'+ 4 1*! " 1М 18.23. 1) — 2чй1го1пВ, т<Л; -2хйЗго1пт, т>й; 2) — 2гг1п2+ — т сгж2уг, т<2; — 2я1пт+ —, сгм2гр, т>Я.
гг г 2гг 18.24. 1) О, г' > Я; — з ио, г' = А; — 2ггго, т < В; г гг( ог+ г Г~+ — в„)~, „и, — — ггзгпуг+ агой~ — 2сздо), т<В; 2И дг тг (,д О, г' = гг. 2) Ъ'~0(т,гр) =- 18.25. 1) гго 2а — рахс18, — 1п((а+х) +рг)— хг+ уг — аг 2 е ~ й — *И+из~ 2) «го ~ — 1п ((а + х) + рг) — — 1п ((а — х) + рг)— 2 2 у у(х" + уг — аг) 3) — * +у 1„( +х) +у , 2 4 (а — х)г+ уг хе+уз аг 18.28.
1) — ио атсз8: + атсс8 — + — ~1, р ~ О; О при у = О; у у Ит ггг = тиос, р — ++О, — а < х < а; (г) х а+х а — хг 2) — ио 2згсйд — — агс18 — «-агой — ~, р ~ 0; 0 при р = 0; у у у 11пг1гг =Тиох, р — гхО, 0<х<а; Ит'т'г =хиоя., р — +хО, — а<х<0; 228 Гл. 'т'. Краевые задами две рравиеиии эл,аииигичеекоео таииа 3 ) -х агой — + агсй8 + — 1п,, Р у~ О; а — х а+х1 у (а+х) +д У Р ~ 2 (а — х)э+уэ' О при р = О; 1пп Ъ'г (х, р) = +хи, р — + +О, — а < х < а; (г) 4) (р — х ) агс$8 — + агс18 — ~ + хр 1п ., г Р ге О~ г г а х а+хГ (а+ х)э+ дэ (а — х)г+ уг О Ри р = О; 1гшЪЛ )(х,р) = ахах, Р— в+О, — а < х < 18.28, 1) — егв) ~ 1 тр(т) вш ~т й., )х( > К; 1~~х~ г И Л Щ вЂ” е'~4е~ / тр(т) вшЬ Й + в(пй)х( / тр(т) ег"'Й, (х( < В; о 88 ~вшах(( — 1Я+ — )е — )х(], ф < В; 3) — ~е*"~*~ —, (вшге+Йсовге)+ ~и~1 — " е — (1 — Й).
И 4), и1)е: — Ре' (е гсов(1 — Ц) — 2е ге(п(1 — Ц) + ге4е~ — ъГ5егО ~+'+г" "вЦ, 1*! !х( < 1, й = г1 = 1. 18,29. — ег Р1(йгсовеэег — Ягсовййг+ ) (х1>Вг 4ире ре Р свп ИЯг — гвп Айй егц й — ") — в1пЦх) ( — 4Вгег~па + ейгегвп' + — (ее"и' — егвп')1, Ц <Вг, — ~е в~ ((Вгсовхг1г — Ц сов11х( — + гф в1п/с)х() + И)х( й + е епе ( — гйг в1п/с(х~)~, Вг < (х) < Яг. 18.30. 1) ' ' ег" ~е( в1п Йг1, Ц > й; — ~' епвп с4п Щ, Ц < Я; Й)х( ' Й~х) 2) еио еа4 ~ (Д 1егг — — УегГ1, ~х~ > Д; — егвп (111 а4п Ге~х( — — в(п Цх)), )х( < Я; — е' ( — в1п1еВ+ — совьете — — вш1е11), ~х! = гГ. 4ииа и 8 /~В В 1 Л 12 2 й З 18.
Метпод потпеппиппое 229 4яе 18.31. 1) / тр(т) вЬЬ" й, )х~ > В; Й~х~ о ( 1*! и Цх! 1З вЂ” е ь~е~ (е тр(т)вЬЬ й +вЫеф / тр(т)е "'й, ф < В; о 1е! 2) — Ро е "~*~ (ВсЬй — — вЬ|сВ1, (х! > В; й~ф 1 й 4яро ~ ( ~) 3) —, е <и+в~ей(1есЬ1еВ+вЫаВ)+ " е ь1л+~ей й)х/ (йе — 1 (й + 1)з Ц > Н, 1о ~ — 1.
18.32. 1) рос ь~ ~вЬИВ, )х~>В; р е ьлвЬЦх~, (х) <В; 2) 4™е ь~*<~ВсЬй — — вЬ1еВ), !4 > В; — -"" ~К Ь й — ~В + -) Ь йВ~, ! 3 = Н; — — е " (В+ — ) вЫа!х/, 14 < В. /х~ и 18.35. У к а з а н и е. Воспользоваться формулами (1), (9з) и (4) из 18. ~о~=н $~=л 18.36. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 18.35. т Н 1) по, т<В; ио, т>В; 2) — в1п1о, т<В; — в1п1р, т>В; 3) — сову, т < В; — сов1о, т > В; т Н 18.3Т. 1) Решение.
Задача ези(х) = — — о, ~х) с Н; иО ~ л —— У й' = О, где х = (хз,хв) и й -- коэффициент теплопроводности, подстановкой о = о + )тз, где 1 1 1з(х) = — /'Хо1п п91еьз )о~<я сводится к задаче езю(х) = О, ~4 < В; ю~~е~=и = (и — 7г)!)е(=л В силу задачи 18.11, 2) имеем 230 Га. 1г. Краевые задачи доз яраененив эеаипшичеенозо шипа у /яг г 1.(. ~) = ~ — Н'1 Н, 211, 2 где (т, гр) — полярные координаты точки х.
Тогда из формулы зада- чи 18.35 следует Ъ'(т,~р) = —" Нг 1п Н. Итак, и(г,иг) = и + 1гг — — — о х т 1/ е е 4) — ' г+-~ — +! е — и — 1 *— Ф); -Я -г 11 Р Я т 1гг .. гв1пр 5) — сов 1о+ — ~ в1п т — в1п Н + г1 — г(Р; Я й(, Р 6) — вш ~яг+ — ) + ~ — — — ) в1п ее; Я 1 4г 12й Зйг' 7) — сов (гр — — ) + (™ — г ) сов чг, 18.38.
У к а з а н и е. Решение искать в виде потенциала прос- того слоя (см. формулу (6)). Затем воспользоваться формулой (2) и условием разрешимости задачи / и, (у) г(8я — — О. 1 г 1 — э1 и, (р) 1п еБ„+ сопев, ~х~ < В; х = (хыхг)„ я )х — у) Ы=Я вЂ” / йг (у) 1п (х — у)гьз„ + сопв$, Ц > Н. Ь!=Я 18.39. У к а з а н и е. Воспользоваться формулами задачи 18.38. 1) Неразрешима, так как ( иг Нд ф 0; е=л Л~ 2) тешу+сопев, т < Л; — — вшиг+ сопев, т ) Н; г й~ 3) гсов1о+сопв1, т < Н; — — сснгр+ сопвФ, т > Н.
г 18.40. Указание. Задача Ьи = — —, т < Н, — ~ = иг ди! Й дп е=я подстановкой и = и + 1гз (см. решение задачи 18.37) сводится к краедо! д(и — 1гг) ~ вой задаче гаи = О, т < Н, дп 1 — я дгг ! =я г /Кг те ч -'~' "- ' ~)+-"; ) -'('-"- ' )+-' 3) 1пН1п згГ+ Нг — — 1 ' Р ) е)р+ сопв14 1 г!П(1+Рг) 2г' р В 18. Менгод погпенчнааов 2 тт~ г 2 тх1 4) т+ — т — —,) вгп гр+ сопев; 5) ~т+ — т — — ) сов гр+ сопвс. 3 3) 3 3)' 18.42. 1) — ~агоний — + атеей - г; 2оо г х у, у х) 2) — я + + агсвй — при — = вй гро', оо гг впззо хз у 2я~ х у) х ео (Уз — хз) впгро+2ху ~овззгг по т. ( ) У я (ув — хз)сгвого — 2хувпуго я ' ' ' х — (я+У(х,у,гро)) при — >ФИ'ро л х Ы=я ~з Вз з па (у) г'~в И > В.
""!в!=я * 18.44. См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.6. Вз з 1) ~' (Вз — тз) 2) а+ . 3) О 18.47. У к а з а н и е. Воспользоваться результатами задач 18.45 и 18.46. Вз —, т > В; в области т ( В задача неразрешима. 18.48. l (У) ДЯ . г '(У) ДЯ 2я 1 ~х — у~з в' 2я 1 ~х-у~ в,=о уз=о 2 хг но г'х хз хзЗ 18.49. 1) по, .2) — агсф —; 3) — гз — + агссй — + агсфй — ).
в' хз я 'з2 хз хв Р 18.50. —,, ~х~ < В; — —., ~х~ > В. аВ вшй~х~ аЯ е' ~ ~ Ц в1пУВ ' ' )х! ез"Я ' У к а з а н и е. Решения задач ищем в вице потенциалов двойного слоя д зм*-в~ .(х) = ~"(*) = )" .(У) †, (*) Искомая плотность находится из интегральных уравнений (1) г д е'зв з4т=я = Ъ~ (х) = ахи(х) + / и(у) — НЯУ вЂ” — а, х б (г = В). дгзв (х — у~ ахН Имеем и(х) =, для внутренней задачи и и(х) 4я(вЯ+ з) впхВ ае * для внешней.
4я (сов Й — — в!и хВ) 1 вя 232 Гл. К Краевые задачи Аы уравнений эллитанчеенаво тина 18.51. У к аз а н и е. Решение искать в виде потенциала простого слоя. аК всяк!х! ! !< аВ ес *' ! !> (х! (хВ савйК вЂ” вшхК) ' ' (х! (ссйК вЂ” 1) ' 18.52. См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.28, 2). ц .се ! всв(х! ! (1. 2) 1/2 ср-а/4) всс1)х! !х! 1 вш1 /' !х! 18.53. См.
указания к задаче 18.50. аКвЫс!х! ! аКе ММ ! >„ В 1з х!х! + 1 ссс/с!х! — в11 х!х! В ! ! > В а( — ) ° ссжд, х > В. !х!/ 14К+1 сЬЬ — в1сйК аВ' йЦх! .К' е"СЯ-МП 18.55. — „„, !х! < К; — —, !х! > К, 18.56. 1) Уо (1 ! ! ~; 2) 1 — 2е !х(вЬ1/' !х! ' 18.57. и(х,д) = иа ,/е(1т) Хе(/сВ) Указание, и есть решение задачи сли — /сзи = О, г < К, и(~=н = ио- 3 19. Вариациоиные методы Пусть в ограниченной области Ц с В" задано уравнение Пуассона — сзи =/, (1) а на гладкой границе à — одно из граничных условий и!г =д> (Ц (П) ( — +пи)! =д, (П1) где сс Е С(Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
