1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 35
Текст из файла (страница 35)
212 Гл. !г. Краевые задачи дле уравиеиио эллиптического лгипа 2 х 2 2) — агсЬц —; 3)— гг р гг 4) — — — асс!5; 5) 1 ! рэ — хэ+! 2 гг 2хр (х 6) е "япх+е *япу. 1 1 со 17.14. 1) 2,' — с*в!пу в=о л -0— 1 1 е * — совр 2) — — — агс15 2 л япу 2 1 яп 2х 4) — агс15 с13 у — — асс!а гг гг ев -сов2р' сов х вЬ (гг — у) вЬл 1 1 втащу — вЬвх 17.15. 1) — + — агс15 2 гг 2япрвЬх иоЫ,Ьл)е " 2е Е сгп (р — Ьл) + 1 1 1 вЬх 3) — + — агс15 —. 2 л в!пр 1 1 ЕЬх 5) — + — агс15 —; 2 л Фдр' яп х вЬ (гг — р) вЬл !х! а 17.10.
— — ~(Ц вЂ” р)р1(р)г(р+ ~(а — р)р1(р)г(р— !х)(Ь вЂ” а) Ц О !х!(Ь вЂ” а) о —,) /(~ — йрййдр. 17.11. 1) — )п, где э = х + еу, (' = с + ег5 1 (х — Д 2гг (е — Ц ' 2) — 1п ~ 3) — !и г — — ~; 2" и )хэ Д' 2гг К(э — Ц( ' 4) — !и ~ ~~ ~. 5) — !и ~ 2л- )х — Цйв — хЦ ' 2гг )хэ — ~~((йе — (х~)~) ' 6) — !п ~ 1 )сЬх — сЬг,"! 2гг (е' — ее) ' 2гг )сЬ х — сЬ 4! 17.12. 1) — ~',,; 2) — + - агсс5 —; р г оЫ)д5 1 1 х — а л (х — С)э+ух 2 гг р 1 1 р +(х — а)(х — Ь) р -!-1 2 гг р(Ь вЂ” а) ' хе+(р+1)э' 5) ; 6) (Р ) ; 7) е " сов х.
х'+ (р+ 1)" (х'+ (р+ 1)'Р ' о 1 1 + — / ио(О,г1) гг з (хе+ (р — гг)э хе+(у+гг)э г дц; о аагссд — + Ьагс15 — Гг; р х~ х р~' х(р+ 1) з+ (у+ цв)э' В1В. ))гвтод потенциалов 213 вЬх хсйп2у+увЬ2х — ггсйпувЬх сЬх+вшу' в.(сЬ2х+сов2у) 17.16. 1),~„~ив(~) ~ !'! дЯ, +,~ ~ У©! ф — — ~ — )<дц, 14)=л ")с)<л где х = х+уу, г, = с+гг), г," = —; К!' ' 71 -~-2 +г 2) — ()1г — тг) + Ь. 3) г в)пр г' 4) вга г — вю В + ~ — Нр; 5) — сов гр. р * Я У к а з а н и е. В задачах 17.16, 2) — 5) воспользоваться формулой задачи 17.16, 1), где перейти к полярным координатам х = тек', ц = ре'в, О «р, д ( 2л.
- . ) — 1 а~~',— -,«+ 2гг ~)г )х цв г 141=г 1пггйе 1 +у г +;,/'~~~(4г ) )х ()г-!бх Цг ~г -1 где г' = х + ву, ц = 4 + вц) 2 2г в!игр 2) г вйп гр) 3) — вгс18 17.18. — 1и —. 1 )х+ 4! )п 3 )х — 4! 4),/г сов и. 2 2 18. Метод потенциалов ПУсть Р й У (гъп). СвеРтка ггп = в Р, п > З„называетсЯ г п 1 )х!" 1 ньютоновым потенциалом, а ггг = 1и — * р, и = 2, — логариугми)х! ческим потенциалом с плотностью р (определение свертки см.
в 2 8). Потенциал $о удовлетворяет уравнению Пуассона г'.ВЪ'„= — (и — 2) о р, и > 3; Лагг = — 2ггр. Если р — финитная абсолютно интегрируемая функция в В", то соответствующий ньютонов (логарифмический) потенциал К, называется объемным гготснциалом (потенциалом площади). Пусть Я вЂ” - ограниченная кусочно гладкая двусторонняя поверхность в Я" и — нормаль к Я и )гбз и — — (об ) — простой и двойной г дв слои на Б с плотностями )г и о (определение слоев см.
в 3 6 и З 7). Свертки $'10) = 1 в)гб и Фг) = 1 в д (Рб ), п>3, п )х! — в Я )х!" г дп 215 З 18. Мегвод вотпанчиалов в) $з(х) = 1и — ~р(у)Иу+ О~ — ), ~х) — + со. 1 1 1 (х) и>' Выяснить физический смысл этих потенциалов. 18.3. Пусть Я вЂ” ограниченная кусочно гладкая двусторонняя поверхность и р, и б С(Я). Показать: а) потенциалы простого и двойного слоя выражаются формулами Р(о)(,) Р Р(У) 48 у )х — у! 5 (б) д~„(* — у( где угол ~р,э определен в начале у 18; б) Рз и Ъз~ — гаРмонические фУнкции вне Я; [о) 81 в) 4"()= (~рЫ48+О~<~,) и т4'()=О( — '>,), И вЂ” +-. Выяснить физический смысл этих потенциалов.
18.4. Пусть Я вЂ” ограниченная кусочно гладкая кривая и р,и б Е С(Я). Показать". а) логарифмические потенциалы простого и двойного слоя выражаются формулами Рзбб(х) =~р(у)1 ' Юю где угол ~ряя определен в тексте; б) К и $' — гармонические функции вне Я; ~о1 (з1 в) Ъз~ ~(х) = 1п — / р(~)сЬ+ 0( — ), Тф(х) = О( — ), /х( — + со. Выяснить физический смысл этих потенциалов. 18.5. 1) Вычислить ньютонов потенциал Уз с плотностью Б „; 2) вычислить логарифмический потенциал Ъз с плотностью 6 „. 18.8. Вычислить объемный потенциал $з для шара Ц < В со следующими плотностями: 1) р=р()4) Е С; 2) р= ро = сопзс; 3) р= )х(„. 4) р = )х)~; 5) р= зЯх(; б) р = е — ~4; 7) р=,; 8) р=з1пЦ; 9) р=соз(х(; 10) р = 1п (1 + — *).
216 Нк К Краевые задачи де я уравнение эааиилгггиееиаео тииа 18.7. Для сферического слоя Яг < ~х) < Вв вычислить объемный потенциал тз масс, распределенных с плотностями: 1) р= ре = сопев; 2) р = р(/х/) б С(Вг < Ц < Вв). 18.8. Пусть масса распределена в шаре т < В с плотностью р. Найти объемный потенциал Ъ~ в точке, лежащей на оси 6 = 0 (О < д < гг) для следующих плотностей: 1) р пропорциональна квадрату расстояния от плоскости 6 = — ; 2) р = сов 0; 3) р = вшгр; 4) р = р(гр) —. непрерывная, 2л-периодическая функция; О < гр < < 2гг. 18.9. Пусть масса распределена с постоянной плотностью ре в цилиндре (хе + х~ ~< Лв, 0 < хз < Нэг.
Найти объемный потенциал в 'го гквх оси хв > Н. 118.10. Найти потенциал площади для круга т < В со следующими плотностями: 1) р = р(т) е С((О,Я]); 2) р = ре = сопев; 3) р = т; 4) р=т', 5) р=е 6) р= +,1 1 У) Р=ъгт1 8) р = вгпт; 9) р =совт; 10) р=гйпгр„О<1а<2л-1 11) р=совгр; 12) р = р(гр) — непрерывная, 2л-периодическая функция.
18.11. Найти логарифмический потенциал площади для кольца ггг < т < Вв со следующими плотностями: 1) р= ре =сопев; 2) р= р(т) б С((Выев)). 18.12. Пусть ЯуО непрерывна при (у) < Я и Яу() = О при (у) > й, у Е В~. Доказатьг а) объемный потенциал тгз(х) с плотностью 1'()у)) зависит только от )х) и Ъгз(х) = — ( Яу)) г1у, )х) > А; )х! (р)<л б) для того чтобы тз (х) обратился в нуль при Ц > В, необходимо и достаточно выполнение условия ~У()у1)ду = 0; в) при условии (*) справедливо равенство / Ъз(х) ггх = — — / Яу())у! гну.
Дать физическую интерпретацию полученных равенств. 18.13. Доказать: если функции гг(х) и,гя((х~) непрерывны при (х) < й; х Е ггз, обрашаются в нуль при )х) > Я и удовлетворяют Ьтг(х) = И~Я!х/), В!В. Метод логленеиаеоо 217 то потенциал угз(х) с плотностью /з()х~) обращается в нуль при Ц ) Н. 18.14. Показать результаты, аналогичные результатам задач 18.12 и 18.14 для потенциала площади, а именно: 1) ~г(х) = 1и — ~ Т~уд Ф Ь~ ) 11' И (у(<л 2) /~Ъ(х)дх — ~/Ъ))Ь)'Ь, с ~ЯиОА= О. 18.15.
Распространить задачи 18.12-18.14 на случай, когда плотность / есть обобщенная функция. Под «интегралом» / /(х) дх для финитной / е У следует понимать число (/, г1), где л Е У, и = 1 в окрестности носителя 1 (это число не зависит от выбора вспомога тельной функции О). 18.16. Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоянной плотностью ре на сфере )х~ = Л.
18.17. В точке, лежащей на оси 0 = 0 (О < 0 < л), найти потенциал простого слоя, распределенного на сфере т = и со следующими плотностями: 1) р пропорциональна квадрату расстояния от плоскости 0 = л/2; 0 2) р = егп —; 2' 3) Р=ет, 0<ггз<л, и Р=ез™, л<го<2л.
18.18. На круглом диске радиуса Я распределен простой слой с плотностью р. Найти потенциал в точке, лежащей на оси диска для следующих плотностей: 1) р=ре=сопзз; 2) р=т; 3) р=тз; 4) р = д(гго) — непрерывная 2л-периодическая функция. 18.19. Найти потенциал простого слоя, распределенного с плотногтыо гг на цилиндре (х~ + хз з= ЕР, 0 < хз < Н) в точке, лежащей на оси хз для следующих плотностей: 1) Р = ро = сопе1. ) р = рггег) — непрерывная 2я.-периодическая фуш 18,20.
Найти потенциал двойного сгюя с постоянной плотностью ие для сферы 1х( = В. 18.21. На сФере т = Н распределены диполи с плотностью момента и, ориентированные вдоль внешней нормали. Найти потенциал двойного слоя в точке оси 0 = 0 (О < 0 < гг), для следующих плотностей: 1) и = соз 0; 2) и = згп —; 0 3) и=от, 0<гр<л, и и=ез™, л<ггу<2л; 218 Гл. К Краевые задачи для ираеиеиия зллиитичееиого огииа 4) гг = о(гр) — непрерывная 2гг-периодическая функция; 5) гг равна квадрату расстояния от плоскости 0 = —. 2 18.22.
На круглом диске радиуса Н распределены диполи с плотностью момента и, ориентированные вдоль нормали, направленнпй в сторону отрицательных хз. Найти потенциал двойного слоя в точке, лежащей на оси диска, для следующих плотностей: 1) гг= сопев; 2) о = о(г) б С((О,Л]); 3) и = гг(гр) — непрерывная, 2я-периодическая функция; 4) и=с+го, 0<у<я, и и=т+2т — гр, гг<гр<2я. 18.23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
