1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 30
Текст из файла (страница 30)
14.56. Доказать, что задача Коши для уравнения Бюргерса 2 ив +ии, = а и«« с начальным условием и|«=о = ио(х) ги подстановкой и = — 2а — сводится к задаче Коши В 1 г и~, о — ехр — —, / ио(с)с(с о г ие — а и«« является функция и(х,2) = Г а>О, ( /а 2сйз (х — хо — а«)] ~ 2 описывающая «уединенную волну» (солитонное решение). Показать, что это решение с конечной энергией / (и, + и ) дх < оо. 14.61. Для уравнения Лиувилля им — и««=де", д>0, проверить следующие утверждения: 14.59. Пусть и — — решение задачи Коши ив+ ии, = си, ъ4с=о = з15пх, непрерывное при Х > О, (х(+ 1 ф 0 и непрерывно дифференцируемое при 1 > О.
Доказать, что это решение при с — г +О стремится к решению задачи 14.56 (теорема Э. Хопфа). 14.60. Проверить, ито решением уравнения Кортевега — де Фриза гн+6ии, +и„, =0 180 Го, ь'К Зада ьо Коши 1) функция и(х,с) = (п 2дсЬг "- (х — хо — аг)~ ~2 является решением при всех х и 1; 2) функция 0<а<1, ( ) ( 8ььь (я+С)ссь (х — С) д [Со(х + с) — с)ь(х — С)]г является решением при лкьбых ьсг и с(ь таких, что дь, сСь б Сз, ььг'с)ь' ) 0; 3) функция *+с и(х с) [ ( + с) + (х с)] )п, эг /д сь еоо00(г (~ ,УЗ / — с является решением задачи Коши с начальными условиями и!с=о = ио(х), ис]с=о = О, если Ответы к 2 14 14 Я (1+4аг) оьгехр~ — ' (1+4аг С 14.10.
1) хс+Сг (-хз — 12) + гйх(12х+$г); х ) схг (1 — 4С)зь'г ехР [ 1 — 4С/' о+с д ( е.КЮ4~ < 8 ./ 2 14.62. Проверить, что для уравнения ии — иоо — — — дяш и, д ) О функция ( /д(х — хо — аС) ) и(х, Ц = 4 агсс8 ехр ~+ ), 0 < а < 1, ьсГ: ог является решением с конечной энергией ~ (и,' + и'.) 4 < со. 14.63, Проверить, что решением нелинейного уравнения Шредингера сис+ и*о+ и)и!'и = О, а) О, является функция (2 ехрЯ-,"х-~ — ",— )ф [( ьь сЬ [з/а (х — хо — аг)] В Ц. Задача Коши дал дууаиг ураанеиий и задача Гурса 181 3) хс4п$+ ха + уг сов1+ 2г(Ф+ вгпв); 4) г (хо + ув+ вв) — М (бу+ 6в — уг — гвг) + сг(г' — Зл); ~г 5) (г/Г+4гв) "ехр — —,), О < аг54Г+4г1 < —, 1+ 4гг)' 2 14.11. 1) 4'(х, 1); 2) — ~ Р(х, Ф); г г-г, 3) ( Г(х + хо, т) дт; 4) ( дг'(х, т) йт.
о о /а/Сгг/й) г а/1гчЯ гвуг. ц 1 .-к'( / ~ аг.~/ / и~гга); г/й — Ог о (ж+г)Кгъ/г) 2) В(1 — 1)(й — 1)+ — е лг/~ / е'" ду; ,/л (* — 1)/ггчгО 3) хг+ 21 — 0(й — л)(1+совФ); 4) 2Л+ совхе *г; 5) 0(1 — 1)(е — е — $е) + (хвуах+ 2г2ссех) е 'г. с 14.15. ~(1 — т) Дх,т) йт. о 14.16. ио(х) + йиг(х). г 14,17. Ве / ш(х,т) Ит. о 14.18. гйпш(х,й). 14 26 1) вход+ 1в (хз 4). ,2) хгуг 41г+ху(ег 1 1); 3) 3хгугхггг — 2(хг+уг+ юг) 1а; 1( хг 1 х 4)— 2 ~г/Г+ 41 1+ 4г г/à — 41 1 — 41 сов + сов 14.26. 1) (х — 2Ц е г', 2) 4 — х — 21+ х1 — 2е г; 3) ехр(-(4х+1)~; 4) (2х+1) ехр~ — хф 5) (ахсо8х — 1) ег; 6) 1 — е ' + ехр ( — х + — 1ф 1+ (и+ й)~ 1+ хг 14.31.
ог(х — ау) -~р( — ау) + г/г(у), а < О. 14.32. Ь < —. а 182 Гл. Л~. Задача Каша 14.33 14.34 14.35 14.36 14.37 14.38 14.39 14.40 14.41 14.42 14.43 14.44 14.45 14.46 14.47 14.49 14.50 14,51 14.52 14.53 14.55 14.56 Указ 14 57 рз+ хз(1+ е-з) г 2 р ~--1 ~У~ 4~. о р + 4(х) + (1о(р) — 1а(0) — р] е *. 1а(р) + / ф(() е сз Нсс. о ~1+ — х — — р) ехр (- (х — р)~. 1+ (х + 2р) ехр ~- (р — хф 1 Ю(~' Р)+Ф("~ ) — ю(0).
2х зУ вЂ” У. .2+(у 1+ел)2 'р( +у). р. 3х+ у 1 х ,/ху + — 1п —. 2р х р — сов х — 1+ 2соз — соз ' 2 г з — (х+ у) . Указание. Сделать замену и= — э. 1 2 х — у 1 2 — р. Указан ив. Сделать замену и = — с. и —. Указание. Сделать заменуп= — с. х Х 1 а +ф (у — ох) 0Зх — у). з — х — х +у — — у 3 3 х — /р.
— 1 при х< — 1 +1 при х>1; — при х<й. ан не. Искать решение в виде 11='с о при х<Ы;,З при х>٠— при 1о<х<Щ Глава У КРАКВЫК ЗАЛАс1И ЛЛЯ 'УРАВНКНИЙ ЭЛЛИПТИс1КСКОГО ТИПА Пусть  — гладкая поверхность, ограничивающая область С Е В", и и, — внешняя нормаль к В в точке х б Я. Функция и имеет праеильди нрю нормальную производную — на В изнутри В, если существует дп дн(х') дн(х) ди дп дп дп ь ецо( — ь ) равномерно по всем х б В. 1.
Внутренняя задача Лирихле для уравнения Лапласа: найти гармоническую в С С Вз функцию и Е С(С), принимающую на Я заданные (непрерывные) значения ио . П. Внешняя задача Лир ихле: найти гармоническую в области С1 = В~~С функцию и Е С(Сз), и(со) = О, принимающую на В заданные (непрерывные) значения ио+. 1П. Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в С С Вз функцию и Е С(С), имеющую на о' заданную (непрерывную) правильную нормальную производную и, .
1Ъ'. Внешняя задача Ней мана: найти гармоническую в С1 функцию и б С(С1), и(со) = О, имеющую на о' заданную (непрерывную) правильную нормальную произвопную и~~. Задачи 1, П и 1Ъ' однозначно разрешимы. Решение задачи П1 определено с точностью до произвольной постоянной, причем 5 - —. условие ее разрешимости. Аналогично ставятся задачи 1 — 1'г' в Вз, за исключением того, что для внешних задач от решения требуется лишь ограниченность при ~х~ — + со. Задачи 1 н П однозначно разрешимы. Решения задач 1П и 1Ч определены с точностью до произвольных постоянных, причем итДВ = О 3 — условие их разрешимости. 184 Гл.
К Краевые зада ао длл рраеиевиа элловтачеевого эпова з 15. Задача Штурма — ХХиувилля Р ассмотрим краевую задачу Х н:— — (р(х) р'(х))' + р(х) р(х) = Х(х), (1) азр(а) — огр'(а) = О, (2) Р, р(Ь) + бгр'(Ь) = О, где аз~ + се~э ф О, Я+ Я ф О, р Е С ([а,Ь)), р(х) ф О, д Е С([а, Ь)), Х Е С(а, Ь) П Х г(а, Ь). Обычно в физических задачах выполняются условия азаг >О, ДЯ >О р(х) >О, р(х) >О.
Область определения Мь оператора Х состоит из функций р(х) класса Сг(а, Ь) П С ([а, Ь)), ра Е Х г (а, Ь), удовлетворяющих граничным условиям (2). Задача о нахождении тех значений Л (собственных значений оператора Х), при которых уравнение Хр = Лр имеет ненулевые решения р(х) из области определения Мь (собственные функции, соответствующие этим собственным значениям), называется задачей ХХХглррею — ХХврввллл.
Если Л = 0 не есть собственное значение оператора Х,то решение краевой задачи (1) в классе М единственно и выражается формулой ь р(:е) = / С(х,() Я) де, где С(х, С) — функция Грина краевой задачи (1) — (2) или оператора Х,. Функция С(х, С) представляется в виде (рз(х) рг(~), а < х < (~ С(х,с') = —— " [ рз(с) рг(х), с < х < Ь, где рь(х) и рг(х) — ненулевые решения уравнения Х,р = О, удовлетво- ряющие соответственно первому и второму граничному условию (2), й = р(х)го(х) = р(а)1и(а) ф О, х Е [а,Ь), рз(х) рг(х) эо(х) = р[(х) рг(х) — определитель Вронского. Краевая задача Хр=Лр+Х, где У Е С(а, Ь) П Хг(а, Ь) при условии, что Л = 0 не есть собствен- ное значение оператора Хо эквивалентна интегральному уравнению ь ь р(х) = Л / С(х, ~) р(~) д~ + / С(х, Ь) Д() И~.
о а 1 1в. Задача Штурма — Лиувиаав 185 Этот метод иногда можно применять и к задачам с вырождением, когда р(х) обращается в нуль или бесконечность или д(х) обращается в бесконечность на одном из концов отрезка (а, Ь). у(ц = у'(ц у(Ц=О; 15.1. Найти функцию Грина оператора Х на интервале (О,Ц в следующих случаях: Ц бу = -у", у(О) = у(Ц = О; 2) 1У = — у"„ у'(0) = у(0), у'(ц + У(ц = О; З) 7,у = -у", у(О) = Ьу'(О), й > О, у(Ц = О; 4) Ьу= — уа — у, у(О) = у(Ц =0; 5) Оу=-уа-у, у(О) =у'(О), 6) Ьу = — у" + у, у(0) = у(Ц = 0; 7) Ьу = — уа + у, у'(0) = у'(Ц = О. 15.2. Найти функцию Грина оператора Ь на интервале (1,2) в следующих случаях: Ц ТВ= — хзуа — 2ху!, уl(Ц =О, у(2) =О; 2) Ьу= — хув — у', у'(Ц =О, у(2) =0; 3) Ьу = — хзув — Зхзу — ху, у(Ц = О, у(2)+2У'(2) = 0; 4) Ьу = — хвуа — 4хзу' — 2хзу, у(Ц+у'(Ц = О, у(2)+Зу'(2) = О.
15.3. Найти функцию Грина оператора Ь на интервале (О, — 1 в ' 4/ следующих случаях: Ц Ьу = — (совах у')', у(0) =О, у( — ) =0; г з~ 3) Ьу= — сенях.уа+ап2х у', у(0) =у'(О), ун+у'( — ) =О. 15.4. Найти функцию Грина оператора Ь на интервале (О,Ц в следующих случаях: Ц Ьу = — (1+хе)ув — 2ху', у(0) = у'(0), у(Ц =О; 2) 1у= — (1+х )уа — 2ху', у(0) =О, у(Ц+у'(Ц=О; З) Ьу = — (З+ х )у" — 2ху', у(О) = у'(О), у(ц = О; 4) 7У= — (х+ц'уа — 2(х+цу'+2У, у(О) =у(ц=О; у' ' Зу 5) Ьу=-~ — ")+ " „у(О)=О, 6) Ьу = — (4 — хз) уа + 2ху', у(0) = у(Ц = 0; 7) ьу= (ху) +-У у(О) =у(Ц=О; 8) ьу = — —,у" + — у' — —,у, у'(0) =у(Ц=О.
186 Гл. е'. Краевме задачи длл уравнений эллиашичееноео шива 15.5. Найти функцию Грина оператора й на интервале (О, — 1 при 1 ' 4/ условии (у(0)! < оо, у ( — 1 = 0 в следующих случаях: ~4/ 1) йу = — (е8 х.у')', 2) йу = — (в8 х.у')'. 15.6. Найти функцию Грина оператора й на интервале (О, — ) в следующих случаях: 1) йу= — совах-уо+вш2х у', у(0) =О, (у( — )~ < со; 2) йу = — вшах-уо — вш2х.у', )у(0)! < оо, у( — ) = 0; 3) йу= — вшах уо — в1в2х-у', ~у(О)! < оо, у( — ")+1/'( 1= 0. 15.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
