1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Исследовать гладкость полученных решений, как и в 13.14, 13.15. 13.22. Решить обобщенную задачу Коши ие — азии — Ьи — си = Дх, 1) + ио(х) . 5(1) с нижеследующими данными н проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши ие — а и,х — Ьи, — си = Дх,в), и~~=о = ио(х): 1) 1 = 0(с) х, ио =х, а=6=с=1; 2) У= — ",, 0(с) ио = с*; 3) 1 = 0(с) вех и =хех, а=2, Ь= — 1, с=-2; 4) 1=0(1)хе*, по=хех+вЬх, а=с=1, Ь= — 2; 5) 1 = 0(с)е'совсв1лх, по = е*совх, а=1, Ь= — 2, с=2; 6) 1 = 0(1)х, ио = х вш х, а = 6 = с = 1.
13.23. Пусть и(х, 1) — - решение задачи Коши ие = а охи, и~с=о = ио(х) где по Е С(Я") и ~по(х)! < Ме ~ ~, 5 > О. Показать, что при всех 1 > О, х 6 Нп Га. 1Ъ'. Задача Каша 166 )и(с,х)! < М(1+ 4а~бС) ' "7~ехр 13.24. Пусть и(х, 1) — — решение задачи Коши ию = а сзи, и!с=о = ио(х), где ио(х) — финитная непрерывная функция. Доказать, что для лю- 1 бых Т > О, б < —, существует М > О такое, что 4азТ )и(х,е))<Ме ~ ~, хЕЛ", 0<1<У. 13.25. Пусть ио б С(Ьа) и )ио(х)) < Мяе64, где б > О. доказать, что при 0 < 1 < —, х Е Л, функция И 4азб' ~2 1 Я" принадлежит классу С и является решением задачи Коши 1 иа =а йи, 0< 1< ~ ~4ю-о =из(х)- 13.26.
Доказать, что если условие задачи 13.25 выполняется для всех б > О, то функция (10) принадлежит классу С"' при Ф > О, х е А" и является решением классической задачи Коши ис = а'Ьи, 1 > 0; иц=о = ио(т). 13.27. Методом обобщенных функций решить задачу и~ = азиаа, 1 > О, х > 0; и(ю — о — — ио(х), и~,-о = О, где ио(х) б С(х > 0). Ответы к 313 13.5. 1) 1+е~+ — сз; 2) 1з+е ~з1пх; 1 2 3) (1+1)е 'созх; 4) спгипх; 2 5) 1 — созс+ (1+41) 17зехр ( 1+а1' я 7) х(1+41) з7зехр 8) (1+1) ~/~з1п — ехр 1+1 ( 4(1+ 1) ) ' 13.6.
1) ез — 1+ е з~созх зшр; 2) 1+ — зй1хзшр(2з1пз — созе+с ); 1 -ЗФ 5 у 13. Задача Коши дух уравнение теилопроводносзии 167 3) е1п1+ ехр ~ — )1, ху ( '+ ~') (1 + 41)в ' (~ 1 + 41 ) ' 1 ~ ( — у)' 4) — + — ехр 1— 5) д 1а ~се 1+1' ехр1 2(1+со) 1 1 137 ц е ( -21 1+21) + еу, е -4в. 2) ев — 1+едп(х — у — х)е о', 1 . соя 2у ( х 1 3) — вп 2х + — ехр 1 — 1 — — 1; 4 Л+1 !( 1+1) * 4) — сов(х — у+ е)(1 — е чв) + 1 ~ (х+ у «) ъ/1+ 121 ( 1+ 121 япв хУ ~ 1( в+уа) 5) сов — ехр -1— Я+41в 1+41о 1 ( 1+412 13.8. Ц е овсов), ха. 2) (1+41) н7х~ 1 !х! у=1 1+ 41) ' 3) (1+41) (но Ю р !х! (у' 1+41 1.а= 4) (1+41) "/~е1п ( ~ х„)ехр( "~ !х! " ' -1-МА-)) 13.9.
1) Ф(х,с); 2) д'(х — хо,с — Ьа); 3) — — ', ~(х,с); 4) ( —,,!„- — „) г(х,1)+б(х,1), ,) ",— а(1-1.)„...), 4а~(1 1о) 6) — Р+2- — '~, 1)+ !х!' 1 3Г(х,с) 4 вв' '1 2"д 3.,' ' Ф вЂ” во 7) /Ф'(х,т) дт; 3) / е(х — хо т) йт; о о 4ао12 21~ ( хо~1) + д(х — х011); ! (х — хо!а н~! 10) ~ш(т) Ф'(х,1 — т) с!т. о 13.14. Ц В(1) а — '; 2) 6(1) ф '- 168 Гл.
1У. Задача Коиси Ф + Ф ' . 4) В(1) ес-лФ 3) 0(1) 5) 0(1) 6) В(г) — ехр — — + (х + 1) Ф = 13.15. 1) 0(1 — 1)(е' — е); 2) 0(1 — я) зсп1; 3) 0(1 — 1)(с — 1)х; 4) В(1 — 2)(е' г — 1) е*; сс сссС' с( — )с; е сс)С' [Ф( — ) — сн о о 13.16. У к а з а н и е. Для доказательства см. задачу 13.13, для нахождения решения см. текст перед задачей 13.5. 1) 0(с)(1+ 1) х; 2) 0(г)(хг+хгс+ 2агс+ агсг).
3) 0(г) [хз+ хс+ 61(х+ 2хг) + гг(12+ х)); 4) 0(1( ггз + 1 14 + л+с). 5) 0(с)~~ гз1г + л~св5х). б) 0(1)(2,П -~- (х ~-2аг1) е*+" с); 7) 0(1)[11пХ вЂ” 1+ (хзшх+ 2ссозх) е с)„ 8) 0(1)[хссах+ 2зспх(е с — 1)); 9) 0(Х) ел(е' — 1)+ ~Ге '1(~сс+хФс — сс; 10) 0(1) (2 — х)ел+(х+2с — 2) е*+с+хс — е * 1сссс+(хг+21) Ф 13.17. Указание. См. указание в ответе к задаче 13.16. 1) 0(с)[хг — уз + ху(ес 1)). 2) 0(й)[(хг+уг)(1+ 1)-~4аг1-~2агвг). 3) 0(1)(хгуг+2с(х+р) +4сг); 4) 0(с)(се*сову+е*+"+г" с); 5) 0(М) хе" сов з; 6) 0(с)(ху1+совуе ' с). 13.18.
У к а з а н и е. См. указание в ответе к задаче 13. 16. 1) 0(С)[хеисовв+ е гхуе'(е' с — 1)); 2) 0(1) соз г [хр(1 — е ') + (хг + уг + 41) е с~). 3) Вяхрх вшй+ х(уз + 2агг)(гз + багге)); 4) 0(1)[х+рг+зз+2агс(1+Зг)+ (хг 2уг+яг)(ес — 1)) 5) 0(с)[зшЗх соз4уесл(е вс + вшсе"Д.
З И. Задача Коши длл уравнение теплопроеодности 169 13.19. У к аз ан и е. См. указание в ответе к задаче 13.16. ц 0(С)1(1+ СЩг+ паг«(2+«)1; 3) 0(С) 4) В(С) 5) В(С) е« вЂ” 1+екр па С+ ~ хк й=« 2па С + 2 хк екр па С + д„'хз соз 2агп«+ 2 хз екр д, 'хз 13.20. Ц 2е« вЂ” 1; 3) е㫠— е«+ е г«созх; 2) Се«+ соек; 1 4) е« + — Сг з1пх; 5) (1+ 4аг«) «С~акр с« — (* 1+4аг«1' 6) ( о«(С вЂ” т) е "е«т+ ~ ио(С) екр [с« — (*, «) ~ д4'. о — Ос 13 21 Ц 0(«Ц(ес« — с Ц + 0(С) ес«Ф( ~+" ~.
2) 0(С вЂ” Ц(С вЂ” Ц+ В(С) Ф а42« /' ,и 0(С ц(С ц «+0(С) с+«С«+ь+с'~Ф х+5«+2а « а 2С 5) 0(С вЂ” Ц(« — Це + +0(С)е г«2 С екр — (х 2«) + (х — 2«) Ф х с 6)ЧО[( си) +.'«'Ф( )с~. о аи'2 тт 13 22 ц 0(С)(2х — хе+ 2[« х+ (х+ С)г) е«), 2) 0(С) ес+««а~+о+ ) + ст С 1 ч'« — т о 3) 0(С)1(1+ к+ 7«) е*+ — (1+ «) ес~; 4) 0(С)1х(«д цел+е~«з««(х — 2«)~; 5) 0(С)(созх+з«н« з1пх) е*; 6) 0(С)(1 — х+ (х+С вЂ” Це'+ (х+ С) яп(х+ С) + 2«соз(к+С)). 170 Га. Сг'. Задача Коши 3 14.
Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 1. Задача Коши для уравнения Шредингера. Пня уравнения Шредингера постановка классической задачи Коши ио —— сЬи+ Дх,С), и~с о —— ио(х) (1) и обобщенной задачи Коши ию = СЬи + Г(х, С) (2) аналогична соответствующим постановкам дпя уравнения теплопроводности (см. с. 159 и 161). Фундаментальным решением уравнения Шредингера является функция О(С) Р 1!х!~ лиС 1 4'(х, С) = — „ехр ~- (2чСлС)" ~, 4С 4 ( Ппя задачи Коши (1) справедливы результаты, аналогичные тем, которые сформулированы в задачах 13.1 — 13.4.
Будем говорить, что функция и(х, С) принадлежит классу 4з, если она удовлетворяет оценке )а(х, С)! < с(1 + !х/), х б сСа, С > О, при некоторых с и Л. 14.1. Показать, что если ио(х) б .У(Аа), то функция и(х,С) = Ге ' 1"~ Даад / ио(() ецс'"~сцюХд (3) (2л)" 1 д" и" явпяется решением задачи Коши ис = вЬи, иц=о = ио(х); (4) и(х, С) Е С (С > 0); и(х, С) б Я'(ССа) при каждом фиксированном С > 0; дпя любых о и С7 функции хоВаи(х, С) равномерно ограничены по хбСС", С>0.
14.2. Пусть и(х, С) — решение задачи Коши (4). Показать, что дпя любого Т > О функция и(х, С) = и(х„Т вЂ” С) является решением задачи Коши и~ — — — ССХи, 0 < С <Т; 4с=т = ио(х) 14.3. Пусть и(х, С) и и(х, С) — решения задач ио = Си„, и1о=о = ио(х); ИС = — Сола, 0 < С < Т, И~ф=т = ИО(Х), з Ц. Задача Конга дая другах ураансние а задача Гуров 171 причем н(х, с) Е „еа, а функция и(х, С) находится с помощью формул задач 14.1 и 14.2.
Доказать, что / ио(х) о(х, 0) сХх = ~ и(х, Х') ио(х) дх. лг Нг Указание. В равенстве та ~~и(х г)у1б(х)(и,(х,с) — ги„(х,г))ахси = О, о-з где функция угу(х) та же, что и в задаче 6.5, интегрированием по частям избавиться от производнык функции и(х, 1) н перейти к пределу при д — Ф со. 14.4. Доказать единственность решения задачи Коши (5) в классе,гэ. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 14.3. Решение задачи Коши (1) единственно в классе Ла (для и = 1 см. задачу 14.4). В задачах 14.5 — 14.10 рассматриваются решения только из этого класса, причем существования и„не требуется. 14.5. Пусть ио(х) Е Са+г(12а), (х)а+з(ио(х)( < М, (х)а+г )Вано(х)) < < М для всех о, )а( < и+ 1. Доказать, что решение задачи Копги (4) сущее.снует н выражается формулой (3), которую можно записать в виде бага 14.6.
Пусть ио(х) Е С (Л'), сг > 2, ио(х) = 0 при (х! > 1 и )и~'1(х)) < М, < сг. Доказать, что решение задачи Коши (5) принадлежит классу С (1>0) и ~ — и(х,с)~ < СМ(1+(хО~~", г =0,1,...,а — 2, длявсеххбгг ~ с)0. 14.7. Пусть ио(х) Е С" (Л~), )и~~о~(хи < С(1 + 1х()", г < сг, и > 2, Л < сг — 5. И пусть иа(х, 1) — решение задачи Коши иг — — гиа о и(г=о = ио(х) е(х — 7с), где функция е(х) та же, что и в задаче 6.4.
Доказать, что решение задачи Коши (5) существует, выражается формулой Гл. 1У. Задача Коала и(я,в) = ~ ия(я,1) ь=-со и /и(х,1)! < Сэ(1+ (х!) з для всех т Е й', Х > О. У к аз ание. Используя результат задачи 14.6, показать, что С,(2+ !й!)" С,(1+ !я!).-'(г+ (й!)" (1+ !я — й!) э (1+ /й!) — э 14.8. Пусть ио(т) Е С (Л~) и / /хи~~(х)(сГт < оо. Доказать, что нэ решение задачи Коши (5) существует и выраэкаегся формулой 1я — Одзи) 1) 1( (+ )+ ( ))+ 1 — яФ/4)(' гд З~ эя~ ( щ 2 о яэ о 14.9. Пусть ио(х) = е' ! !, где а — действительное числа, ж Е Н". Доказать, что при а > 0 существует решение задачи Коши (4), а 1 при а < 0 решение существует только при 0 < 1 < — —. Найти это решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
