1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 26
Текст из файла (страница 26)
148 Гл. 1У. Задача Коши со следующими данными: 1) (=д(1) б(х), и.=б(*), 2) Х=д(1)х, по=О, 3) У=д(1)1, 4) ~ = д(Х) е', ио = е*, 5) 1 =- д(1) е, ио = ах+ 11, 12.62. Решить обобщенную задачу Гордона-Фока и1 = б(х).„ и1 — — д(х); а=Ь=1; а=Ь=1; Ь = 1. из — — х; из — — е*; изшО. Коши для уравнения Клейна- Пои+ т~и = 1(х,1) + ио(х) б'(1) + иЯ(х) ° б(1) со следующими данными: 1) У=О, ио =б(х), п1 — — б(х), 2) з =ы(1) ° б(х), где ы 6 С(1 > 0) и ш из=х' а=т=1' 3) 1 =д(1), по =1, из =1, 4) (=О, ио =д(х), и, =д(х), 12.63.
Решить обобщенную задачу Коши ненни а=т=1; = О при 1<0, ио — — 0 а=т=1; а = гп = 1. для телеграфного уран- + и1 (х) - б(1) Оап + 2пин = Х(х, 1) + ио(х) ' б'(1) со следузощими данными: 1) У =О, ио = б(х), из — — б(х), а 2) у=ы(1) б(х), где ыеС(1>0) и ы и1 — — 0; а=т=1; 3) ХшО, по=1, =т=1 3 =0 при 1<0, по=0, ид = д(х), а Ответы к 3 12 4 ( з14 ~ )оуз). ~ ) 12.8. з1п у — 1 + е* "; — со < х, р < со. 1 1 12.9. х — у — — + — е я — оо < х у < со.
2 2 12.10. — (1 — х — 3у + (х + у — 1) е~*~); — со < х, у < со. 3 . 2у У у1 12.11. ху+ — зш — соз ~х+ -р — оо < х, р < ос. 2 3 1 3/' Задачи Коши для уравнений 12.61 — 12.63 формулируются так же, как для волнового уравнения. 12.61. Решить обобщенную задачу Коши для уравнения гиперболического типа Ь Ц,и = Ьп, + — н1 + Е(х,с), а > О, Ь > О, где а Е(х,Х) = 1(х, 1) + ио(х) .
б'(1) + ~и,(х) — — ио(х)~ . б(1), В 12. Задача Коши длв Уравнепив гиперболичееиого пеипи 149 12.12. (у — Зх) е 1 ви 1ег; х С 1, у < 3. 12.13. 1) х+ 1 У2; х > О, !у! < 2 Гх; 2) х у+21пх — — х — -х у х > 0 у > О. 2 1 4 1 42. 2 2 2 12.14. —; х ) О, у ) О. у 12.15. 2х+ у — хг; — оо < х, у < оо. 2хг 1210 ц У + 2 У..)0 <ОС 2) х4+ 2.
)О 12.17. — '/хту ~~фу — -1; х ) О, у > О. 12 13. хг+ 2уг+1; х > О, — — < у < хг. 12ЛО. х2 + ху+ у2; х > !у! 12.20. — +(4 — Зу)ег х "— ~2х+- е20 * "1 ССххе~ 4+~12 П1 12.21. ху — у; В = —. И хп 12.22. х — у+ ху; В = —. х+у 1 +21 12.23. — [(х + у — 1) ио(х + у — 1) + (х — у + 1) ио(х — у + 1)1+ 1 2ху х+ — 2 + — ( (ио(С) + ид(Ы)! С <К. 12.24.
(у — х) (хг + 1) + хв сов х. М вЂ” 2 С( С)2й а'"С' +' 24424+2 ..1( )1 (2Й+ 1)! (21+ 2) 1 12.31. — [С (ХС + аС) + Сх(Х4 — аС) + д(Х2 + аС) + д(Х2 — аС))+ 2 х14-ае хх+аг + — ' / ~(~) д('+ — ' ~ й(п) дц. ху-ае хх-вг 12.32. — д(хг, хв) [Дх4 + аС) + Дх4 — аС)~.
1 12.33. — [()х! + аС) а()х! + аС) + ()х! — аС) а(!!х! — аС!)) + — х ' 2)х! 2а)х! /х!4-аг х ( тЯт) й при )х! Ф 0 и и(О,С) = а(аС) + аСа'(аС). Оф — ад 12.34. — [В(1 — )х! — С)()х! + С)а+2(1 — )х! — С)Е + д(1 — ))х! — С!) х 2/х! х 213п()х! — С)!/х! — С! +2(1 — /!х! — С!)Е) при /х! ф 0 и и(0, С) = д(1 — С)Со(1 — С)Е 1[(а+ 1)(1 — С) — СЗС1. б/Д Задача Коше дая уравнения еааербоаичесхоеа «аиаа 151 «/2 «/2 12«0. а,= "(А' — ) а,= [а -~а/ ' "+ «е+-/ ' ~ д~, е а Сз = а [А(а+ 1) + — ~. 12.41.
Р е ш е н и е. Свертка ба «К существует в силу 8.34 и определяется формулой этой задачи, где д = б'„и 1 = Р, так как Р(х,1) = 0 при 1 ( 0 и впррба(х, 1) С Г в силу 11.15 — 11.17. 12.42. Решение. Лля ы = и — и', где и'(х,с) Е У'(В"+'), и' = 0 при 1 < О, — - другое решение задачи (9), имеем ы б У'(В"+'), ю = О при 1 < 0 и «аи —— азЬиь Свертка ба «ш существует в силу 12.41. Тогда «е = б «а> = ((б'„)и — азЬб'„) * ш = б'„«(им — азЬ«е) = О.
Следовательно, и* = и. 12.43. Решение. 1) б'„(х,е) 6 С' по1 6 [О,оо) в силу 11.26. При каждом 1 > 0 носитель зпррба содержится в шаре [х[ < а1 и, следовательно, равномерно ограничен в В" при 1 — «1о > О. Поэтому в силу непрерывности свертки в У' имеем « щ(х),~р(х) Е С[0, оо), й = О, 1,... («) Лля всех у Е .У (В") (определение обобщенной функции (и(х,1), ~р(х)) 6 6 У'(В") см.
в конце 2 11). Палее, в силу результатов задачи 8.35 —,М"(х,1),Ф )) = —,(4(*,1)* з (*).б(1)) р «из(х),гр 6 С[О,со) /д" Ж'„(х, Ф) в силу (*). Следовательно, (Й )(х,с), р(х)) Е С [О,оо), т.е. 1„~ ) 6 С«а по С б [О„со). Аналогично для Ъа 0), 2) в силу 11.26 при 1 — «+О М~)(х, 1) = ба(х,1) «из(х) — + О*из —— 0 в У'(В"), де ~а~(х «) = — [б'„(х,1) * из(х)[ = дд„(х, 1) «и,(х) — + б «из = из(х) в У (В"). а д1 12.44. У к аз а н и е. Воспользоваться формулой (10) из 212, за- дачей П.15, формулами (3), (Зг) из з 8 и задачами 8.31 и 8.8.
1 1 1) и = бз(х,г) = — В(а1 — [х[); 2) — д(а(1 — 1а) — [х — ха!); 2а 2а 3) — ' = — д(1) б(а1 + х) — — д(1) б(а1 — х); дх 2а 2а 6 12. Задача Коши дло урооиеиио еииерболичеекоео шило 153 9) — В(аХ вЂ” ]х])(Х вЂ” — ) 1п ]е « ~1 — — )~ + —" 6(аХ вЂ” ]х]); 10) — В(Х вЂ” 1 — ]х]) ~агс18(Х вЂ” ]х]) — — ~+ — 6(Х вЂ” ]х+лг() — — 6(Х вЂ” ]х — «е]); 1 гг1 1 1 2 4«' 2 2 11) — В(Х) 6(1+ х+ 2) — — В(Х) б(Х вЂ” х — 2) — — В(Х) 6(1+ х — 2) + + — В(Х) б(Х вЂ” х + 2) (У к а з а н и е. См.
задачи 7.14, 1) и 8.8, 2).); 1 12) — В(аХ вЂ” ]х — Ц) 1п «11+ Х вЂ” ! + — В(аХ вЂ” ]х — гг]); 1 )х — Цз 2а а 2а 13) В(аХ вЂ” ]х]) 14) — — В(Х вЂ” ]х/)(о(Х вЂ” ]х])з+2)1(Х вЂ” ]х])] — В(Х) б(1+х)+В(Х) б(Х вЂ” х) (У к а з а н и е. Воспользоваться хбо(х) = — 26«(х) и задачей 8.8, 2).).
12.49. У к а з а н и е. Воспользоваться формулами (10)-(13) . 1) Регпение. и=1««+$' +У«; $'« =О.Всилуформулы(11) ««1 1о1 е-~-о« Г «+о« е — а« гвв —.— вв'в 1'вггг о=вв'в[1' вговг — «' вгевг] = е — о« о о = — (В(х + аХ) (х + аХ) — В(х — аХ) (х — аХ)], В(Х) 2о о+о« г," = —,', [',"' 1' в(о в«~ = ',~" (в(*+.~)в вг* —.вв« ]х + о«] — ]х — а«] 3) В(Х) ~ — + — В(х+ аХ)з/х+ аХ вЂ” — В(х — аХ)~/х — аХ; Гх«з 1 [6 а о 4) В(Х) [(Х+ 1) 1п(1+ 1) — Х+ — В(Х вЂ” х)(Х вЂ” х) + — В( — Х вЂ” х)(Х+ х)~ 1 1 ( Указание. 1«г = — В(Х вЂ” ]х]) * †.1(х).); В(Х) 2 Х+1 Хзз 5) В(Х вЂ” 2) Хз Ы з«Х + (1 — Х) 1п 4 — (1 — Х) з+ — ] + — (]х+ Х] + ] х — Х]); 4) 2 6) — [ +В(2 — ]х+аХ])+В(2 — ]х — аХ]); В(Х) ( 2«"'+з 2 [(га+ 1)(га+ 2) 7) — 1Хеевл — елзЫ+ В(х+ Х)(1 — е ' «) — В(х — Х)(1 — е« *)); 2 8) — В(Х вЂ” гг) (1 + соз Х) + — (В(х + ЗХ вЂ” 3) + В(х — ЗХ вЂ” 3) + 2Х]; В(«) 9) ( (В(х+ Х)(х+ Х)з + В(х — Х)(х — Х)з — 2В(х) хз]; В зй Задача Кои«и дав Враоиеиию еипербоаичееиоео типа 155 0) В(1)[о("+ 2)+) + — '((х+ )"-(х- )")~; В«1«) о+« 12) — '" '(( (1+*.' 2 *(7)+ ) * З*~; 2 х«-42 (х+,)™+1 (.
«) -+11 11) В(з) +ь4пх сене+ (зп+ 1)(т+ 2) 2(из+ 1) 12) ( ) [(22 — 1) агс152+1 — 41п (22+ 1) + 1п [(12+ хе+ 1)2 — 412хвЦ; 12) '— ",)( *. *1+,~Т~( 721)27~((7(*-'2)'); 14) — [2Х(1 — З«нв) + (Х + «) го. )е+«~ + (Х вЂ” 1)2Е )™(~). 15) В(1) е * 4«с))4Х1+ — (* — 21 — -) — ' (* 21 — «Я; 16) В(1)~сйпз х сов21+ сове х в«п21+ + — е )* й(1+ (х — 1)) — — е !'+«Ц1+ (х+ 2()1; 2 2 17) 2(7)(*(1 '121 — 1 17О) ° 7( + )'1 1В) ВЯ е*вЫ+ х(е' — 1) — ХФ вЂ” Фе*+ — и! 2 —;«З ( — ) 12.54. У к а з а н и е.
Воспользоваться формулой (10) и задачей 11.15, 2). 1) ~ 1п в( — ( 27 + 77(7 — ( )з 1 22(*,1) + )+ —; 2иаз !х! л*=т'6 Е ""-'*"~~2 ('«'(1 "'"")* '('-2(~~ () -! В~+ + Ж(х — ха, в); «-И/а В(ૠ— )х(() ( ю(т) дт о 4) 7("-(е()Г(„72)(„"+7(")*-('(* 2,((,ог:),«)7 2«газ '1 (х( а + 42(Х вЂ” ХО, «) .
Воспользоваться формулой (10) и зада- 12.55. Указание чей 11.16, 1). 1эа 1К Задача Кооза 1) д(аз — )х~) д4з(х, З) 0(1) 4хаг(х( + 4з(х,1) + ', где Гз = — 'Ья (х); дг 4хагг 2) д(.(г-го)-~х-*ы~) „(...). 4хаг)х — хо~ 3) Решение. н = 1 з + Ъ'~" + ЪзД ~. В силу 8.35, 1) (1'з Ч) = (4з' '(1М) = ~ г дх,(х) '(г)Л( а1'-1х~') ю(х,1+т) = 1' В(г) =1" <оД 1'а",~,'ж,а)о. — оо О /а)=аз Так как дЯ, Н(а1) = дх — элемент объема в 11з, то (~., ~ уа„~[у~а, ~аз)а~о 4хаг)х) )*~~') р(~,1) (* (1.
— са нз Следовательно, (О) доз(х, г) 00 д4з(Х, 1) м(г — )х)/а) 4хагф ах на И';' =25(*); дг4( ) дхг ) ) () зш(г — )х)/а) джаз(х,з) цг дб(~) д4(х) 4хаг ~ х! дхз дг, дха дхз 12 59. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 11.15, формулами (10), (14г), (14з) и (15г). 1)В(г)~2+См+С1 2) д(1)~а з + г аг1з+2аг1г+цг(~ +1+ Я 3) д(1)~~, +- г1з+1(1+1х)г)); 4) В(1)~ аг1з+(4аг+)х(г)(1 1+ е ') + 1+ (х)г).
12.60. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 11.16 и формулами (10), (14г), (144) и (15г). 1 ) ~ггг ггг 1) В(1) — + — + ~х)г1+ аг4; 2 4 гго ) )гг4 2) д(1)~ — + +1+1; г" Ы. Задпча Кочин доя уравнения еииербооичеееоео говна 157 3) ~от)(С вЂ” г) е>г+ С>(С)(его~ге+ а>х>гС+ С>С); о >>(С) 1(>х>+ С)з (>х> — С)' 4) — >п ()х~ + С) + >п ((х! — С) — 2(х~г 1п )х) — ЗСг; >х> >>(С) >1 Сг И + С И вЂ” ое 2Ц 1 1+ ()х!+ аС)г 1+ ()х! — аг)г)' 6) — [(>х/+ С) в1п(>х!+ С)г+ (>х) — С) вш(/х) — С) + 2>х) + — с>г (>х/ + С)г — — сЬ (>х) — С)г1; 2 2 7) >(С) 2Сз+12)х~г+3бегСг+ 3 > 1+(Ц+ое)'~ 12 ( а/х(1+(!х) — аС)г /' >*><е "*'-' ог-.
а*Г=т]1: 2)х) е) '— "'( -'*е/.-" во~+ о*~+ г- св-е*]; 4~х/ >ь 10) [()х>+ С) >п(1+ Дх>+ С)')+ + (>х/ — С) >п(1+ ()х) — С)г) +е >>е~ ' >вп2С)хф 11) — !8е >>*> +' >()х>сй2٠— Св>г2С>х>)+ 8)~> + [(>х/ + С) >п (>х/+ С) — (>х! — С) >п(Ц вЂ” С) — 4С>хЦ); 12) >>(С)(С вЂ” сйпс+ ~ сов(>х>+аС) + сов()х/ — аС)г 'у 2)х> 2>х> 13) — [(>х) — оС) В(Ре — >>х/ — аС>)+(>х>+аС) о( — >х) — аС)1 (У к а- 2Ц з а н и е.
Решение зависит только от )х/ и С; подстановкой иг(г, С) = ги(г, С) свести задачу к зэдаче Коши для уравнения колебаний струны и воспользоваться формулой (12).); 14) 0(аС вЂ” /х)) ( 12.61. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (10) и задачей 11.18. 1) Решение. иг =Сгг+$г +Ъ'„, где >о> 0> Ъ~~ > = Ф'е [иг(х) ° д(С) — — ио(х) . 4(С)1 = (1 — — ) е; з «Э. Зодочо Коши доо уроооеооо шеоооарооодноеши 1И 5 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности К ласси чес к ой задачей К о щи для уравнения теплопроводности называется задача о нахождении функции и(х, «) класса Сз(«> О) «1 С(«> 0), удовлетворяющей прн х Е Во, «> 0 уравнению и« вЂ” — а~«1и + 1'(х, «) (1) и начальному условию и~е=о = ио(х), (2) где 1 и ио — заданные функции. Если функция 1 Е Сз(«> 0) и все ее производные до второго порядка включительно ограничены в каждой полосе 0 < «< Т, а функция ио Е С(Я") и ограничена, то решение задачи Коши (1), (2) в классе функций и(х, «), ограниченных в каждсвй полосе 0 < «< Т, существует, единственно и выражается формулой Пуассона 13.1.
ПУсть фУнкциа и(х,«,«о) пРинадлежит классУ Сз пРи х е Я, «> «о > О. Показать, что функция и(х,«,«о) при каждом «о > 0 является решением задачи Коши ие —— а дЗи, ии-~ — — 1'(х, «о) тогда и только тогда, когда функция в (х, «, «о) = / и(х, «, г) е«т оо при каждом «о > 0 является решением задачи Коши в~ = а Ьв+ 1(х,«), в)е — и — — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
