1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Результат этой задачи сравнить с результатом задачи 14.7 при и = 1 в случаях а = О, +1. 14.10. Решить задачи: 1) иэ — — 1и,. + 1я ; з. и(ю=о = т; я. 1 2) иэ = ки , О < й < 4 и(э=о = хе "'*; 3) иэ — — зЬи+хсовв — Уэв1пэ'; и(в=о =Яз+Рэ; 4) и, = йэи+ От+уз+Вяз; и(~=о =1(зя+Чз+ яз); 5) иэ —— эти; и)э=о = е !*!*, х Е Я". 14.11. Найти решение обобщенной задачи Коши (2) для следующих Р Е У'(Н"+'): 1) В(1).б(х); 3) ВЯ-б(я+хо), и=1; 4) д(Š— го) ° б(х), и=1, во >О. 14.12. Найти решение обобщенной задачи Коши иэ = (и + 1'(х,1) + ио(т) . 6(1) прис > 0 для следующих 1 и ио (,5 = 0 при в < О и задается только дня 1 > 0): 1) ~=В(х), по=д(т); 2) У=В(1 — 1), ив=В(1 — !т!); 3) 1 =д(1 — я) вш1, ио = яз; 4) 1 = —, ио — — совх; 1 Д' 5) 1 = д(1 — 1)(е' — е), ио = т в1п х. Доказать, что функции и(т, 1), найденные в задаче 14.12, 3), 4), 5), являются решением классической задачи Коши.
з Ц. Задача Коши дая друзах ураанения а задача Гуреа 173 2. Задача Коши для уравнения н,е = — хязм+ У(х,»). 14.13. Пусть и(х, ») е Се(» > 0). Доказать, что функция и(х, ») является решением задачи Коши иц = — Ь и; и(е-о =~Р(х), иД,~ — — О тогда и только тогда, когда функция ю(х,») = и(х,«) +«~ Ьи(х,т) е«т о является решением задачи Коши юе — — »»Хю; ю~е=-о = Ф(х). 14.14.
Пусть функция ю(х, ») е Са («> 0) является решением задачи Коши юе — — »Ью; ю~е=о = 'Р(х) где ~а(х) — действительная функция. Доказать, что функция и(х„«) = = Ве ю(х, ») является решением задачи Коши иы = — Ь и; иЬ=о = Р(х), не(е.-о = О. 3 14.15. Пусть функция «'(х, ») Е С4 («> 0) является бигармонической (Ь~у = 0) при каждом «> О. Найти решение задачи Коши нее = — Ь~и+д'(х,«); и(»=о = О, ие(е=о = О. 14.16. Пусть ио(х) и и1(х) — бигармонические функции. Найти решение задачи Коши им — — — Ь~и; и~е=о = ио(х), и4~=о = и1(х).
14.17. Пусть функция ю(х, «) Е Са (» > 0) является решением задачи Коши юе = «Ью; ю(е=о = (Р(х)~ где ~Р(х) — действительная функция. Найти решение задачи Коши им — — -Ь и; и(е=-о = О, ие1е=о = д(х) 2 14.18. Пусть функция ю(х, «) Е Са (» > 0) является решением задачи Коши ю, = »Лю; ю~е=о ='Р(х) где у(х) — чисто мнимая функция. Найти решение задачи Коши ии = — Ь~н; и(е=о = ~Р(х), ие(е=о = О. 14.19. ПУсть ио(х) Е Са+ (Ла), (х(а+з(по(х)( < М, (х/а+» фаио(х) / < < М, )ех( < и+3. Доказать, что решение задачи Коши Гл. Сй.
Задача Каиса лз и,= — "и, и[с=о — — ссо(х), ис[с=о = О существует и выражается формулой с*.а = „,!-, 1' ло ('„" — —,) а. У к а з а н и е. Воспользоваться результатами задач 14.5 и 14.14. 14.20. Решить задачи: дси 1) ии — — — —,+6Схз; и[с=о=О, исЬ=о=хс, 2) исс = — Ь и+хуе; и[с=о =х у, ис[с.=о =0' 2 з г 3) исс = Ьзи+ бхзУЯЯз; и[с — о — — О, ис[с=о = О; д'и 1 4) им= — — с, 0<С< 4 и[с — о=созхз, ис[с — о=О. ди С. д1 3. Задача Коши для уравнения — = Р~с — )и.
Классидс ~дх1 ' ческая задача Коши для уравнения — =Р(с — )и, С>0, хай', (6) где Р(сг) = аоа''с + асам ' + ... + а~, ао ~ О, Ф > 2, с начальным (7) ставится в классе функций и(х, С) Е С(С > 0), у которых при С > 0 ди дни существуют непрерывные производные — и —, дс дхм Задача Коши (6), (7) называется поставленной норректлио в классе .х (определение класса Я' см. ~ 9), если для каждой функции ио(х) Е .х' существует единственное решение зада си (6), (7), которое при каждом С > 0 принадлежит классу Я'и убывает при [х[ — + сю вместе со своими производными, входящими в уравнение (6), быстрее любой степени [х[ с равномерно относительно С в каждом интервале О < С < 7' < сю. 14.21.
Пусть задача Коши (6), (7) поставлена корректно в классе .х'и Оа сс(а,С) = г'[и(х, С)) = ~ и(х,С)оси сСх, где и(х, С) — решение задачи (6), (7)- Показать, что функция и(о., С) при каждом С > 0 принадлежит классу .У и является решением задачи — =Р( ), [- =Р[ (х)!. (6) з Ц. Задача Кооси для других уравнение и задача Гурса 175 14.22. Пусть ио(х) Е,р'и В Р()<С< (А) при всех действительных сг. Доказать, что функция и(хД = — Г е' г > ** ~ ио(») ес сд»дсг 2гг у является решением задачи (6), (7), принадлежит классу Сзз(с > 0) и при (х! — + оо убывает вместе со всеми производными быстрее любой степени (х! ' равномерно относительно с > О.
14.23. Доказать, что условие (А) является необходимым и достаточным для корректности постановки задачи Коши (6), (7) в классе .К У к а з а н и е. Для доказательства необходимо показать, что если условие (А) не выполнено, то существует такая функция ио(х) б,зз, для которой решение задачи (8) не принадлежит классу .зз 14.24. Пусть зада*га Коши (6), (7) поставлена корректно в классе,з".. Доказать, что се решение выражается формулой (9), которую можно записать в ваде .(., ) = ~ ..(»)С(*-», )4», (10) (9) 4 Задача Моши для 14.26. Решить задачи: 1) ис + 2и, + 3и = О, 2) ис+ 2и, + и = х1, 3) 2ис —— из+ хи, 4) 2ис —— и, — хи, 5) ис+ (1+ хе)и, — и = 6) ис+ (1+ С') их+ и = уравнения первого порядка.
хз. 2 — х; 1; 2хе'з/з. агсуб х; е ', и(с=о и!с=о и!с=о и(с=о и!с=о и!с=о О, 1, С(х, ) = — ' Г е' ~ 1-с" д . (11) 2гг д У к а з а н и е. Воспользоваться оценкой (С(х, с)! < Сс сгч'. 14.25. Пусть условие (А) выполнено, ио(х) е Сггс з(йс) и / ~ио (х) ~ дх < оо, й = О, 1, ..., Ж + 2. Доказать, что решение задачи (6), (7) существует, выражается формулой (9) (или формулами (10), (11)) и функция и(х,с) ограничена при с ) 0 вместе со своими производными, входящими в уравнение (6). Гл.
17. Задача Коши 2х 7) из = и + и, 1+ ха 8) 21из+ хи — Зхзи = О, и!з=о = 1; и~~= = 5х . 5. Задача Гурса. Формулировку постановки задачи Гуров см. в книге: Влад им иров В. С. Уравнения математической физики. — 5-е изд. — Мл Наука, 1985. 14.27. Доказать, что задача Гурса и „=О, 0<у<ох, х>0, у>О; и(у=о = У(х) и~у=ил = д(х) имеет единственное решение и(х,у) = Дх) + д( — ) — ~( — ), если функции 1'(х) и д(х) принадлежат классу Сз (х > О) й С(х > 0) и 1(0) = д(0). 14.28. Доказать, что задача Гуров и„з — — О, х > О, у > О, и~и — о —— >'(х), и(л=-о = д(у) имеет единственное решение и(х, у) = 1 (х) + д(у) — 1 (О), если функции у(х) и д(х) принадлежат классу Сз (х > О) г> С(х > О) и ДО) = д(0). 14.29. Доказать, что решение задачи Гурса и и-— О, у>ох, х>0, о<0; и!и- =О, ! — =О не единственно.
Показать, что множество всех решений атой задачи имеет вид и(х,у) = 1(х) — ~( — ), где 1(х) — любая функция из класса Сз(Гс'), равная нулю при х < О. 14.30. Доказать, что задача Гурса и „=О, 0<у<ср(х), х>О; и1„=о = Дх), и! = < > = д(х) имеет единственное решение и(х„у) = 1(х) + д(у ~(у)) — у (у (у)), если функции > (х), д(х), д(х) принадлежат классу Сз(х > 0) Г> С(х > 0), 1(0) = д(0), ~а(О) = О, <р'(х) > О, ~>з з(у) — функция, обратная к функции 1а(х) .
14.31. Пусть функции уз(х), у>(х) принадлежат классу Сз(х > 0) Г> ПС(х > О) и у(0) = ф(0). При каких действительных значениях а задача Гурса з Ц. Задача Коши дав дссрена уравнений н задача Гуров 177 аи„+ ивз — — О, х > О, р > О, и(„=о — — р(х), и!е=о = Ф(р) имеет единственное решение? Найти это решение. 14.32. Нля каких положительнык значений параметра Ь задача пес=агина; 0<Е<Ьх, х>0, и!с=о = О, и!с=ьа — — 0 имеет только нулевое решение? В задачах 14.33-14.55 требуется найти решение поставленной задачи Гурса и доказатыщинственность этого решения.
14.33. и,„+и,=х, х>0, р>О; и(е=о = р, и(, -о —— х . г г 14.34. и „+хгри„=о, х>0, р>0; и(е=о = О, и!в=о = х. 14.35. иев + ув 1 х > 0 р > 0 и(„=о — — р(р) и!,=о = Ях), где функции ср(х), ср(х) принадлежат классу Сг (х > О) П С(х > 0) и р(О) = Ф(0). 14.37. 2иех — 2изз+ ив+ ив — — О, р > !х!; и(в=е = 1, и(„-, = (х+ 1) е*. 1 14.38. 2ие +и з — иве+и +и„=о, — -х<р<х, х>0; и(„= = 1+Зх, и(„— 7г = 1. 14.39. и„+би,„+5и„„= О, х < р < 5х, х > 0; и(з=а = ср(х), и! =в* = ср(х), где функции ср(х), ф(х) принадлежат классу С (х > 0) П С(х > 0) и р(О) = ИО). 1 14.40. и + ри„„+ — ив — — О, 2 и!в-о = О, --х <р<0, х>0; 1 г и!„гсс = х . 14.41.
и„з — е'иву — 0 1с > е е х > 0; и!х=о =р, и!„= е = 1+х . г г 14.36. и,„+ хи, = О, х > О, р > 0; и!*=о = р(р), и!„=о = ср(х), где функции ср(х), ср(х) принадлежат классу Сг (х > 0) й С(х > 0) и ср(О) = ср(0). 178 Гл. Л'. Задача Коши 14.42. ри +(х — у) и,ц — хи „вЂ” и) 14.43. хи + (х — р) и „вЂ” уицц паз=а = О, 14.44.
рги, + и, = О, рз— и~ц-г = Зх+ 8, и,+иц О, и)ц=» = 4х . 4 0<р<х, х>0; =О, 0<р<х, и)ц-» = х. х > О» 8 < Зх < рз, и)з =ц» = 2р . з О<р<2; х и»» р ицц»» 0 г г и) -г=1, 14.45. х>1, р>х, и)ц-, =х. 1 — <р<х, х и)ц гу, =1+1пх. 14.46. х и — гд~и ц+хи» вЂ” риц — — О, х>1; и)ц- — — х, 14.47. Зхги, + 2хри,ц — ргицц = О, х < р < —, 1 г иЬ=ц = р иьц»=г = р ° 0<х<1; и„— 2йпхи,ц — соз хицц — созхиц = О, г )р — соц х) < х, х > 0; и)ц=»ц»а» = созх, и~ц= ц, — — созх.
14.49. 14.50. и»ц — — ~и — и,) = 1, 1 х р р< — х, х>2; г и) г 2 ц 2р ц рг 2 и)ц- 2 и„— ицц+ — и, = О, р > 1+ )х); х 14.51. и)ц= +г =1 — х, и~ц--г =1+х. 1452. 脄— иц +-ю,+ — и=0, р>х, х>1; 4 2 хг и(» — г = р. 14.53.
е = 1, ох < р < )Зх, х > О, 0 < о < Д; и)ц=, = О, и(ц-о, = О. и ц=о, хг<р<2хг, х>0; 14.54. г и~ц-㻠—— х . и(ц,» = х, » 14 48 Зхги„„+ 2хри„ц — ргицц = О, 1 < р < х, х > 1; хх и)ц=» — — О, и~ц=г = соа —. 2 э Ц. Задача 1«ои«и даа друэн« уравнений и задача Гуров 179 1455. и,„=О, хе<у<хг, 0<х<1; и!э=«« = О, и!в — «« — — х(1 — х). 6. Задача Коши для квазнлннейных уравнений. 14.56. Найти решение задачи Коши ие+ии« =О, С >0; и~с=о =з|5пх, непрерывное для С > О, Ц + 1 ф 0 и непрерывно дифференцируемое при Е ф )х(. 14.57. Найти решение задачи Коши о при х<0, и~«=о = ,8 при х>0„ ив +ии, = О, 8>0; где о, Р(> о) — - постоянные, непрерывное для Х > О, (х( + 1 ЭЕ 0 и непрерывно дифференцируемое вне прямых 1 = х/о, 1 = х/~3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
