1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 24
Текст из файла (страница 24)
и,р+и = 0; и)р-х = в1пх„их)рхх = 1, Ц < оо. 12.9. и — ирр+ 2и +2ир — — 0; и)у- =х, из~у- =О, Ц < со. 12.10. их — ирр — 2п — 2ир — — 4; и~к=а = — у, и*~*=а = у — 1, Ы < оо- 12.11. и, +2и „вЂ” Зиву =2; и)р.-а = О, ир(у=а = х+ совх, (х! < оо. 12.12. и р+ уп + хну+ хуи = 0; 4 Се. Задача Коши длл р)саеиеиоя гиперболического саииа 137 12.19. уи — (х+ у)и р+ хи „вЂ” — (и — ир) = О; я+у х — у 2 и)р о: х ир~р — о: х х > О.
Задачи 12.20-12.24 требуется решить методом Римана. 1220. и р+2и,+и, +2и=1, 0<х, у<1; и~ ер-с = х, ихД1хрр-с — — х. 12.21. хуи р+ хи — уир — и = 2у, 0 < х, у < оо; и~ „— с=1 — у, ир~ р--с=х — 1. 12.22. и,р+ (и,+ир) =2, 0<х, у<со; 1 х+у и~р=х = х их~р=х = 1 + х. г 12.23. и — и„р+ — и — — ир — О, )х — у) < 1, )х+ у — 2~ < 1; 2 2 х у сс|рхс —— ио(х), ир)р — д =ад(х), ио 6 Сг(0,2), ис Е С'(0,2). 12.24. 2и,р — е *ирр =4х, -оо <х, у < со; и)р х — — т созх, сер')рх, — — и +1. 5 2 (4) 2.
Классическая задача Коши. Классической зада- чей Коши для волнового уравнения называется задача о нахолсцении функции сс(х,с) класса Сз(с > 0) П Сс(с > О), удовлетворясощей при с > 0 уравнению ии = арса + У(х, Г) (3) и начальным условиям сс)с=о = ио(т), ие1схо = ссг(х), где у, ио и ид — заданные функции. Если выполняются условия УЕС(с>О), иочСз(се~), сссЕС(Л~), и=1; ~ Е Сз(Г > 0), ио Е Сз(В") ид б Сг(йх) и = 2 3 (5) то решение задачи Коши (3), (4) существует, единственно и выра- жается: 1) при и = 1 усорлсулой.)солалсбера 1 и(хД = — (ио(х+ а1) + ио(т — ас)) + х+ее С х+е(С- ) + — / иЯ) сМ(+ — / / Я,т) сКат; (6) * — с о х-еСс- ) 138 Гл. 12с.
Задача Коши 2) при и = 2 формулой Пуассона 1 с' (' Щ,т)М(1т аа С вЂ” (((- (* О Я вЂ” х)<а~С-т) ( - (ж, О Г "(О< (,Б% -К:(* ' а ( РР:й:*Р' (С-х(<аС )Е-х(<аС 3) при и = 3 у(ормулой Кссрхгоу(а 'а — х(<аС (а-х(=аС (С-х(=аС 12.25. Пусть функция и(х,2) является решением задачи Коши ии = а ихю и) =О = ие(Х), ССС(С=-.О = и,(Х).
2 Показать, что для любого Т > 0 существует решение задачи Коши асс = а их, 1 < Т, х 6 В'; оз=т = и)с=т, ис)~=т = ис~с=т. Показать, что и(т, 2) = и(х, 2) при 0 < 2 < Т. 12.26. Доказать, что если существует решение задачи Коши ии = а и*:с, 'с4с=о = ссо(т), ис~с=о = ис(х), 2 то и 6 С~(2 > О), ио 6 С~(В~), из Е С (Л~). 12.27. Пусть функция и(х,2) является решением зада(и Коши им = а 1.'(сс; и!с=о = 1Р(х)( исЬ=о = О. 2 С Показать„что функция о(х,2) = / и(х, т) сст является решением задачи Коши о ом = а лсо; о)с=о = О, ис!с=о = ((2(х).
12.28. Пусть функция и(х, С, Со) при каждом фиксированном Со > 0 является решением задачи Коши ии = а Ьи; СС)С вЂ” С, =О иС((С=СС = У(Х,2О)- Показать, что функция о(т,С,нс) = ( и(х„2,т) йт является решением задачи Коши Са исс = а~лсо+ Дх й); и~а~, = О, ос~с=с, = О.
12.29. Показать, что если функции 1" (х), ио(х), ис(х) — гармонические в Ла, а д(2) 6 Сс(2 > О), то решение задачи Коши з 1е. Задача Коши доя драопепия еппербооичеекоео типа 139 ис!с=о = 4х; ис!с=о = х; сщ = агсзи+ д(г) у(х); и!с=о = ио(х), ис!с=а = ссс(х) выражается формулой с и(х, с) = ио(х) + 1ис (х) + у(х) / (с — т) д(т) сйт. о 12.30. Найти решение задачи Коши ии = п'Ьи+ 1(х)' и!с=а = ио(х), идам=о = ис(т), если Ь у ее О, Ь ссо = О, сзмссс ее О. 12.31. Доказать, что для существования решения задачи Коши ага,и . 6 ог.
сс!с=о = У(:ес) + д(хг)1 ссс!с=о = г (хс) + С(хг) достаточно, чтобы функции у(хд) и д(хг) принадлежали классу Сг(йс), а функции г'(хс) и С(хг) — классу С (В~). Найти это решение. 12.32. Доказать, что для существования решения задачи Коши исс = пгс."ссс, х Е Нз; и!с=о = Дхс)д(хг,хз), ис!с=о = 0 достаточно, чтобы фУнкцик д(хг,хз) была гаРмонической и У Е Сг(йс). Найти это решение. 12.33.
Доказать, что для существования решения задачи Коши ии = а~бси, х 6 ее~; и!с=о = ес(!х!), ис!с=а = сЗ(!х!) достаточно, чтобы сс(т) 6 Сз(т > 0), !г(т) 6 Сг(с > 0) и а'(О) = О. Найти это решение. 12.34. Доказать, что для существования решения задачи Коши исс — — оси, х 6 В~; и!с=а = д(1 — !х!)!х! (1 — !х!)Сс, ада=о = 0 необходимо и достаточно, чтобы ес > 2 и,б > 3. Найти это решение. Результат этой задачи сравнить с достаточными условиями (5) (с. 137) вслучаях2 <ее<3,сЗ>Зисе=2, 2<Р<3. 12,35. Решить задачу Коши им — — ссее, .и!с о — — д(1 — !х!)(хг — 1)з, ис!с=-о = О. 11 Построить графики функций и(х, 0), и (х, -), и(х, 1), и(х,2). Решение задач 12.36 — 12.38 можно находить по формулам (6) — (8), но иногда удобнее применить метод разделения переменных или вос- пользоваться результатами задач 12.27-12.32.
12.36. Решить задачи (и = 1): 1) им = и, + 6; и!с=о = х, 2) им =4и, +ха; и!с=о = хг, 140 Гз. 1'е'. Задача Кооси ие(с=о ис(с=о ие!с=о ие(с=о есе!с=о ие(с=о = 1,. ие(с=о = в; 2. еи!с=о = хеув; 3) ии = и„+вшх; и!с — о — — яеп х, =о; 4) па=и,+е*; и!с=о = яшх, = х+ соях' 5) ии = 9и„+в1пх; и!е о — — 1, =1; 6) исе = ази„+Яшшт; и!с о — — О, =0; 7) иее = ааи.,+я1пмй; и!с=о =О, = О. 12.37. Решить задачи (п = 2): 1) ии = Ди+2; и!с=о = х, ие(с=о = у' 2) еси —— Ди+ бхуФ; и!с=о = хз — уз, ие!с=о =.ту; 3) сесе =Ди+еез — Зхрз; и!с=о =е ссеУ, ие(ево — — е" в1пх; 4) иее = Ди+1вшеу; и!с=о = х, Ма=о =вшу; 5) иес = 2Ди; е4с=о = 2хз-Уз, ие!с=о = 2х'+Уз; 6) им = ЗДи+хз+Уз; и(с=о = хз, ие!е — о — — Уз; 7) и Дее е езл+ев.
е ! ези+4Я и ! зм+4Я. 8) ин = азДи; и(ес о — — сов(Ьх+су), ис(с=о = веп(Ьх+ау); 9) ии = а Ди; ейс=о = т, — 2 е ие!е — о = т 4. 10) иес = азДи+тзее; и!с=о = О, ие!с=о = О. 12.38. Решить задачи (и = 3): 1) иа = Ди+ 2хУх; и(с=о = хо+Уз — 2вз, 2) еса = 8Ди+ 1зхз; и(с=о = Уз 3) иес = ЗДи+ 6т', и(с=о = хзУвхз, 4) ии = Ди+61е*'езвепу совя; и!с=о = е*+" сояяье2, ис!с=о = ез"+е' веп5х; 5) еси = е" Д% и)с=о = иеЬ=о = т ~ 2 4 6) им = а~Ди+т~е', и!с=о = ие(с=о = О' 7) еен = азДи+ соя т яеп уее; и!с=о = х еяч', ие!с=о = вепхея+*; 8) иа = азДи+ хее сов(ЗР+ 4г); и(с=о = ху соя х, ие(с=о = увее; 9) иее = азДи; и(с=о = ис(с=о =. сова 12.39. Пусть выполнены достаточные условия (5) (с.
137) для су- ществования решения зола*си Коши ессс = азДи; и(с=о = ио(х), и!сао — — ие(т) и пусть при !х! > Ь > 0 еа!х! < ио(х) < М(х!, еп!х(~ < ие(х) < М!х! где се > О, 0 < пе < М. Доказать, что для каждой точки хо су- ществуют положительные числа 1о, Се, Сз такие, что при всех 1 > 1о выполняется оценка б«3. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 141 С,«" < и( о, «) < Сг«".
12.40. Пусть выполнены достаточные условия (5) (с. 137) для существования решения задачи Коши щт = а «лщ иЬ»о = ио(х) и«[«=о = ит(х) и пусть для о > 0 1пп — = А, 1пп, = В. мв(х) , мт(х) ~~~-н» [х["" ' ~х~ т,.> [х[а-' Доказать„что йп — ' = С„и найти С„, п = 1, 2, 3. м(х,«) т-++оь 3. Обобщенная задача Кеши для волнового уравнения. Если решение и(х, «) классической задачи Коши для волнового уравнения (3), (4) и функцию 1'(х, «) Е С(«> 0) продолжить нулем при «< О, то эта функция и(х, «) удовлетворяет в Л"+ уравнению (в обобщенном смысле) ии = а'Ьи + У(х, «) + ио(х) б'(«) + ит (х) .
б(«). Обобщенной задачей Коши для волнового уравнения с источником Г б У (л"+'), г(х,«) = 0 при «< О, называется задача о нахождении обобщенной функции и Е З'(Лм~ ), удовлетворяющей волновому авнению ур итт = а Ли + Г(х, «) (9) и обращающейся в нуль при «< О. Релтение обобщенной задачи Коши (9) существует, единственно и определяется формулой и = б'„х Г, (10) где бм(х, «) — фундаментальное решение волнового операторвь тм,е» вЂ” 'т( « — ьг, ю*,ь» 2а 2 т — М бз(х,«) = — бв,(х). вх Свертка, $м = б'„г Г называется обобщенным волновым (эапаздьи вающ м) ттотенииалом с плотностью Г.
В частности, если Г = ит(х) . б(«) или Г = ио(х) бт(«), то свертки = ба(х, «) т [ит (х) . б(«)) = б'„(х, «) ь ьц (х), 1тм = бм(х «) * [ио(х) ° б'(«)[ = (бо(х,«) *ио(х))т называются обобщенными поверхностными волновымм (запаздывающими) потленциалами (простпого и двойного слоя с плотпностями ит и ио соошветиственно). Волновой (запаздывающий) потенциал 1а удовлетворяет уравнению (9). 142 «"а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
