1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 20
Текст из файла (страница 20)
0(х)], а > О, где о>(1) Е С(1 > О) и н>(1) = 0 при Ф с О; 2) В(а1 — ]х]) * [В(1) . б(х)]; 3) 0(аЯ вЂ” ]х]) * — [6(1) 0(х)]; 4) 0(аФ вЂ” ]х)) * [6(1) ° б'(х)]; 5) 6(ас — ]х)) * [В(х) - Б(1)]; 6) В(а1 — ]з:])х — [о>(х) Б(1)], где ь>(х) ЕС(Л') (Указание. Вос- пользоваться задачей 7.5, 2).); 7) 0(а1 — ]х]) * — [6(х) . Б(1)].
д 8.37. В~~~~~~ У'(В~): ц ~0(1) з 0(1) — х /(Фн~>) а > О. 2) 6(1) емх х (~) — х /Он). 2а>/н) 2>/нз 3) 6(х) о(г) х — е х'/Ои) 2>/н> 8.38. Пусть / Е С '(16>')(О)) и д Е У'(Вн) финитна. Показать, что /эд е С (/с~1з>>ррд). У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (7). 8.39. Пусть / Е .>>'~ и д Е У финитна. Доказать, что / х д Е .х'~. 8.40. Доказать: если /Е У, то /*ь>, — +/', е — +О в У', У к а з а н и е.
Воспользоваться задачей 6.24. Введем обобщенную функцию /„(х), зависящую от параметра сг> — ос <оСоо, д(х) х о>О, / (х) Г(о) Х +>ч(х), а ~ О, а +и > О, />/ целое (Л') (ср. с задачей 8.15). 8.41. Доказать, что / х />з = / +/>, 8.42. Доказать„что >)" /в*=Ох, / „*= — *, /„*=6*6*...*В .
— = Й, н рай Сверточная операция / * при о > О, а не равно целому числу, называется (дробной) э>роизводной порядка с> (эту производную обозначим чеРез и>н), т.е. и~'>) = / х и); /нх пРи о > О называетсЯ первообразно>) порядка о (эту первообразннук> обозначим через и> ), т. е. и) ) = / э и). 8АЗ. Вычислить производную порядка 3/2 от 6(х). 8.44. Вычислить первообразную порядка 3/2 от 6(х).
б 8. Прямое произведение и сверпта вбввиСеннмх Функций 111 8.45. Вычислить производную порядка 1/2 от Дх) Х = О при х < О. 8.46. Вычислить первообразную порядка 1/2 от Дх), у = О при х < О. 8.47. Обозначим через б" пространство финитных обобщенных функций со сходимостью ~в — + О, к — + со в Ю, если: а) Сь — >О, Сг — +оовУ'; б) существует число В такое, что вирр ув С сСн при всех й. Доказать т е о р е м у: есви линейиый непрерывный оператор Х из б в У' номмутирует с операцией сдвига, тв Ь вЂ” оператор свертки, Ь = Уо*, где Хс = Ы.
Ответы к 3 8 8.8. 1) Решение. В силу формул (3) и (Зз) ( — В(аС вЂ” [х[),у) = — (В(аС вЂ” [х[), ф) = — / / ~ ' с(Сдх = — вв /зра / [х[1 / гр [ х, — у дх = а / р( — аС', С') дСж + а (г ср(аС', С') дС' = — ОЭ о о = (аВ(С) б(аС + х) + аВ(С) б(аС вЂ” х), 1в) = (аб(аС вЂ” [х[), ~р). 8.14. 1) Решение.
В силу формулы (9) В В = / В(у) В(х — у) ду = В(х) ( ду = В(х) *' в с 2) В(х) з, 3) е ~*~(1+[к[); 4) ~хе в* гз; 5) В(х) (х~ — 4сйп -); 6) В(х)(Зх + бсозх — 6); 7) — (злх — з1пх); з В(х) 8) В(2а — [х[)(2а — [х[). 8.21. У к а з а н и е.
Воспользоваться задачей 8.20, применив ее к вз( — х) и положив х = О. 8.30. У к аз ан и е. Воспользоваться задачей 1.31. 8.31. 2) Р е ш е н и е. В силу формул (2) и (6) и результатов за.- дач 8.4, 2) и 8.13, 2) ДН [б(х — хс). б~~'(С)[* Х(х,С) = —, [б(х — хв) б(С)) *,((х,С) = = — (б(х — хс, С) в 1(х, С)) = д'" В С(х — *в,С) 8.32. 1) ( 1(у) дЯ„; 1* — за=в 2) Р е ш е н и е. В силу формулы (7) и определения двойного слоя (см. 37) Гбб. Ш. Обибигеииые убуяипии 112 (У* — „Ь„, р) — (У(у). — „Ь (Оя(с) рЬ+4))— =(бббб,( — бибббббббеббббб))=-1бббб 1 " бб) и= и" Я=я = — 1 (б— „1бб -б)еб*би)бе~=(-1 б, ~бббл)' ф=л и ~ Ш=н 3) / ~у~'18„= / (х — у!'18„= !л-ю!=л Ь!=л 2лл (х)2+ Вг — 2Вф сову) Вг 21п д б16 бйр = 4хВг(фг+ Вг); ео 4) ™бе ~н ~л0 — е 1л+~л0 1; 5) 2™ пбп(Вг+)х(~) в1п2В)х); (*(( б) — 1п лА 1+((х(+Вг)2 р(у) 1 )х) 1+ ((х( — Я)г ' 2 б ) / Эб /~ (У) Иб )х — у! "' (х — у) 12 2 8.33.
1) Не существует; 2) д(1 — (х~) 3) — д(1)(д(*+ 1)(х + 1)г + д(* — 1) (х — 1)2 — 28(х) хг) 2 8.34. Р е ш е н и е. В силу задачи 0.27 1(у, т) = 21(т) 1(у, г) и д(6 1) = 21(1)б1(а~1~ — ф~)д(С,1), так как тб(т) = 1 в окрестности впррб (ут) С(т > О) и ц(1) 21 (аг12 — фг) = 1 в окрестности вирру((,1) С С Г (à — — область а~12 — фг > О, 1 > О). В силу формулы (5) (д* (,бр) = 1пп (дф1) 1(у,т),212((,1;у,т)гр(~+ у,1+т)) = 1пп (21(1)21(а 1 — (Я )дф1) 0(т) 1(у,т)б 212(~, 1; у, т) бр(~ + у; 1 + т) = !пп (д((, 1) - 1(у, т), т1(1) б1(т) х х 21 (а~1 — /Я~) буг(~,1; у, т) бр(С+ у,1+ т)) = = (дН, 1) Х(у,т) 21(1) 21(т) 21 (а~1' — ф') Щ+ у,1+ т)), так как 21(1)21(т) 21 (а212 !Цг) Щ+ у 1+ к) х д1(В™+2) 6 8.
Пряное произведение и свертка обобнуенньих функция 113 8.35. 1) Р е ш е н и е. В силу формулы задачи 8.34, ассоциатив- ности прямого произведения и формулы (1) (д * [и(х) ° 6(г)], ~р) = = ([д(6,1) и(у)] 6(т),еуЯзу(т)зу (азе — ]С] ) Щ+ у,Х+ т)) = ( (не У) и(у) „(1)г (аззз ~Дз) р(е+ у а)) Далее, в силу задачи б.27 д = еу(г) д, так как зпррд(6,1) С [У. > О].
Следовательно, (до [и(х) 6(г)],~р) = = (д(ье,у)-и(у),гу(а 1 — ф )~р(х+С,г)) = (д(х,з) и(х) ~р) так как и (а~у~ — ф~) ~р(х+ (,1) Е Ву(В~а+ ); 2) В силу формул (2) и (б) и формулы задачи 8.35, 1) дои(х)-6у у(г) = д* — „(и(х) 6(у)) = — „(д(х,у)*и(х)) = д(** ) ви(х). 8.36. 1) Р е ш е н и е. В силу формулы задачи 8.35, 1) (Х,гр) = (В(ау — ]х]) оз(т),гу (аз1з — (х)~)~р(х,у+ т)) = = у и ~ (у)и ~ - ном з ~.) не) е = Е' — )зу/а =Дев,с(яа' — нз у д)е)е*а'.
о Следовательно, Е-уз)/а 1=В(ау — ]х/) [Г ы(т)гУт; о 2) В(ау — Ц)(Ф вЂ” — ); 3) В(аг — Ц) (У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 8.33, 2),); 4) -В(ае — !х[) — „- 5) ВЯ[В(х + ау)(х + аг) — В(х — ае)(х — аг)]; б) аВЯ[ы(х+ ае) + аз(х — аг)]„ 7) В(ае — /х/). 8.37. 1) В(г)е*+ е; 2) ВЯх(е' — 1); е/(зъ'е) 3) ВЯ вЂ” / е * УзгУх = В(1)Ф( х ). 114 Га. 111. Обобщенные функции 8.43. Решение В (х) = У-з1г «В = У'гбг*д = У[1г «В = (Узбг «В)и = (з1гз Й* (ци2) У 'ь:~) р ( ~ ~) й( ~ «е) 8.
44. Р е ш е н и е. Цз1гз(х) = Уз1г * В = — з / Ъ~х — гесЖ = В(х) «1 —. 8.45. Решение. у 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста Г[уз](С) = / ейб"зуг(х) Йх. (1) Преобразование Фурье Г[У] произвольной обобщенной функции У из 9" (Л") определим формулой (Г[У] з) =(У Г[р]). Р) Г [У] = Р[У( — х)] У Е .9' Р) (обратное преобразование Фурье), является обратным дпя операто- ра Р, т.е.
Р '[Г[У]] = У, Г[Г '[У]] = У, У Е .9". Справедливы следующие формулы (У, д е .9' ): Г[У] Г[(гх) У] Г[0 Я =( — гс) Г[У], Г[У(х — хо)] = ец*'~>Г[У], Р[У]К+Ы] =Г[У(*)" ' ЧЮ, Г[У( )] = — '„Г[У]~б), ~О, Г[У(х) д(у)1 = Г[У](4) - Г[д](«1), Г[У*д] =Г[У]РЫ (У ипи д финитна). Преобразование Фурье Г, по переменной х обобщенной функции У(х„у) е .К'(Л"«), где х Е Л", у е Л, определим формулой Оператор Операция преобразования Фурье Г[1о] на функциях уг из Я'определяется формулой З У. Лреобразооанне Фурье обобоьенных функций 115 (Е [Дх,У)](С,У),~Р(~,У)) = [1(х, У),Е[Щ,У)](х,У)), (5) ~р ч ~(В~ь~) 9,1. 1) Пусть у(х) Е С" (В'), к > О, и / ф~>(х)[ах < со, а < к; доказать, что Щ] е С[В ] и [ье]" ~Т[Л(ье)] < а' 2) пусть у(х) 5 С (Во), ьь > О и [х[ е ]Р Ях)] < Ь1 И 1 > 1 целое; доказать, что Е[Д б С~ ~(В ) и ф~]РоР[Д(~)] < Ь, ф] < 1 — 1.
9.2. Показать, что 1" = К "Яу]], где Р 1 определяется формулой (3), для следующих 1: 1) Цх) р С(В"), ]х]о "о[у(х)] < а, ]с]о+о]Е[Щс)] < а, е > О; 2) Дх) Е С (В ), / ф~)(х)]еЬ < оо, а < 2; 3) Дх) б Со+г(В"), ]Р Дх)/]х]ны < а, ]а] < в+1. Проверить, что случай 3) вытекает из случая 1). 9.3. Показать, что роР г [уз](С) = ей ~ь~д~Е[Ро(х~1о)](С), ьо б .К 9.4. 1) Показать, что если ~р е,х', то и Р[ьо] Е Я,' 2) доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна из Я в .х', т.
е. что из ~ре — + ьо, Й вЂ” + оо, в .х'следует Е[уь] — + Е[~о] в .К У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.3. 9.5. 1) Показать, что если У Е 5"', то и В[у] 6 .К'; 2) доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна из .х" в .х",т.е.из уь — + у, Й вЂ” ь оо, в у" следует В[Я вЂ” + В[у] в х"; 3) доказать, что если 1 — функция медленного роста,то Щ](с) = 1пп / Дх) е'~~'*~Их в Я''; )е(<Я 4) доказать, что если Х Е Аз(Во), то ИЯ Е Ез(В") и г'[Л(С) = 1пп / Дх) еЦО >Йх в Рз(В") )е)<л (теорема Планшереля); 5) доказать, что если у и д б Ьз(Во), то справедливо равенство (г .)" У,у) = (Г[Д,В[у]); б) доказать, что если з Е Рз(Во), то Г[~] Е Р (В") П С(В") и выражается формулой Га.
Ш. Обобе)овине Функции Р[У]Ы) = / Лх)едс*)г)х, []Р[Л]ь (н ) < ПУПь,гн-)» РЯД вЂ” ) О, ]4] — + со (теорема Римана--Лебега), Р[1 о д] = Р[1] Р[д], у,д б Ьг(В"); 7) доказать, что если у 6.9' и )о Е.'».„то РУ*'д] = РУ]РМ' 8) пусть у е Ьд()о~) — кусочно непрерывная функция такая, что [у'(х)) — также кусочно непрерывна) доказать формулу обращения »(хт0)+»(х О) 1,~ ~ щ](д цо ~~ 2 2»г 9.6. доказать в Я'(Ло): 1) Р[д(х — хо)] = едб о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
