1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1) У+(ад) С У+(аз), если аг < аз, 2) если 1 е .т" П У+, то у е У+(0). 10.4. Если 1 б У', (а), то: 1) р1 е У+(а), где р — поюппюм; 2) ~(М) е У+(йа), й > 0; 3) 1(1) ем Е У+(а+ ВеЛ). 10.5. Если 1, д Е У+(а), то 1 * д 6 У+(а) и справедливо равенство (у*д)е =(~е в)*(де '), л>а. У к аз ан и е. Воспользоваться 8.20. 10.6.
Если у е У+(а), то: 1) Х(е — т) е У+(а), т > 0' 2) У~н1 Е У+(а), т = 1,2,...; 3) 1'1 ~ 6 У+(а), еп = 1,2,... 10.7. 1) д(Ф) + — + 1; 2) о('"1 (Ф вЂ” т) + — + р е ™, т > О„р любое, тп = О, 1, ...; 3) В(1)+ — 1-,о>О; 4) В(1) е ' + — +, о > О; р' р — к/ 5) В(й)е е+ — + ., а>0; 6) В(1)соей+ — +, а>0; 1 р+ но' рз + ( )3 7) В(1) з1п1+ — +, а > О; рз + иР ' В(1) 1'" 1 8) ' ' еле + — +, се > В.е А, пз = О, 1, „,; Г(тп) (р — Л) 9) В(М) Уе(й) + — 1, о.
> О. ь/Г+ р" 10.8. Если 1' — функция из У+(а), 1 е С" (1 > О) и 1 + — + Я, то и — 1 (~<"~()) "~() -,'СХОО( ) "-'-', о=о 10.9. Если у и д — функции из у+(а), д 6 Се(Ф > О) и 1 < — + дг, д< — +У, то е / 1(т)(д'(й — т)) йт + — + рУ(р) У(р) — д(+0) Я(р), а > а. е е аз . 1 с. 10.10. Решить УРавнение А — +Не+ — з1 1(т) йт = е(1), где е(й)— 41 Сl о локально интегрируемая функция, е(1) = О, 1 ~ О. 124 Гн.
111. Обобиееннме ебуннчии 10.11. фундаментальное решение Г(Ф) уравнения йц >+а,г( '>+...+а„г=д существует и единственно в классе У+(е) и удовлетворяет соотношению 1 е"(е)+ — >, п>а, Я(р) ' где д(р) =р™+ азр '+ ... + а„„а = глахйеЛ1, Л1 — корни полинома Я. 10.12. Если 1 (1), — оо < о < оо, — обобщенная функция, введенная в () 8 (с. 110), то: 1) 1 (1) + — + —, и > О, где р — та ее ветвь, для которой р > О прир>0; 10.13.
Если )аа) < с(1+ 1е)", й = О, 1, ..., то аьд(1 — й) е — ~ Я аье ~г, и > О. я=о я=о 10,14. Если 1(1) — У-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на периоде, то т д(1)Д1)+ — ~ „„~У(1)е мЖ, >О. о 10.15. Найти решения уравнений в классе У+(а) (при надлежащем а): 1) (дсозс) *Г= Б(1); 2) (йсоз1) *6'= д(1); ( д * не + б' * из — — Б(1), 3) 4'+2(дсозс) *6'= Б(Ф); 4) ( *щ+о'низ = О. 10.16. Пусть 6~ — решение уравнения д е 41 = д в У+(а), причем йз — локально интегрируемая функция, 6~ б С' (1 > О).
Показать, что решение в У+(а) уравнения д*и = 1, где 1 — - локальнО интегрируемая функция из У+(а), выражается формулой с и(1) = 4~(+0) Д1) + / Дт)(4 (1 — т)) е1т. о 10.17. Вычислить преобразование Лапласа функции О, 1 < О, а(1) = 2ь, й < г < 1е + 1, 1е = О, 1, ... 10.18. Решить уравнение Л*и = 2, '2ьо(Ф вЂ” к) в У+(1п2); функе=о ция а(е) определена в задаче 10.17. 610. Лреоброзоеание Лапласа обобсценныа бсуннциб 125 с 10.19.
Показать формулу: з|п1 = / .Уа(1 — т) 7а(т) сЬ.. а 10.20. Решить следующие задачи Коши: 1) и'+Зи=е и(О) = 0; 2) ин+ 5и'+би= 12, и(0) = 2, и'(0) = 0; Г и'+ 5и+ 2и = е 3) ~, и(О) =1, и(О) =О. ( и' + 2и + 2и = О, Ответы и 2 10 10.3. 2) Р е ш е н и е. Пусть с1 — любая функция класса С~(Л~) такая, что 9(Ф) = О, 1 с — 6, ц(1) = 1, 1 > — —, 6 > О любое. Тог- 6 да при всех а > О, ц(1) е " Е .9', у = с1(, и поэтому у(Ф) е " = = Х(Ф)сф)е о' й.х". 10.6 У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 10.5 и формулами, соответственно: Ц Х(1-.) =У*6(1- ); 2) У~-1 =У*61™1; ) У1оо е ".
~ с. о~ оиэ 10.7. 9) У к а з а н и е. Воспользоваться уравнением Бесселя. 10.10. — сс с(р+е"+1 ") — р е"-1 1~ е(т) с1т рь = — — ~ —, ъЯ зЯ ' 2Ь 2Ь' о д= Лз — —. 10.15. 1) 6'(1)+0Я, а=О; 2) 6о(с) + 36($) + 40(1) зЬ Ф, а = 1; 3) 6(с) — 20(1) е'(1 — Ф), а = 1; 4) ис(Ф) = — 6(1) — 0(1) ес, из(1) = 0(Ф) е', а = 1. 10.16. У к а з а н и е.
Воспользоваться формулой задачи 10.8. 1 — е ' 10.17., а >!п2. р(1 — 2е о) ' 10.18. 2 6'(1 — а). а=а 10.19. Указание. Воспользоваться задачей 1ОЛс, 9). 10.20. 1) е з' — е зс; 2) 2; -с 1 — с 15 -и 5 -с 2 с 5 — ес 3) — е +-1е + — е, — — е — — 1е + — е 25 5 25 ' 25 5 25 12б Гл. Ш. Обобнмнние Функции Э 11. Фундамент"вльные решения линейных дифференциальных операторов Обобщенным решением в области 0 С 11" линейного дифференциального уравнения Цх, В) и = ~ а„(х) В~и = Дх), (з) |н)=О где а (х) Е С~(Я"), у 6 У', называется всякая обобщенная функция и, удовлетворяющая этому уравнению в С в обобщенном смысле, т. е.
для любой ~р Е У, носитель которой содержится в С, имеет место равенство (и,Ь"(х,В) д) = Д,~о), гдеЬ'(х,В)у= 2, ( — 1)~ ~В (а 1а). ~н)=0 Обобщенная функция и принадлежит классу С~(6), если в области С она совпадает с функцией ие(х) класса С~ (С), т.е. для любой <р 6 У, вирр 1а Е С, имеет место равенство (и, ) = Г (х) (.) Пусть у б С(С) П У~. Пля того чтобы обобщенная функция и удовлетворяла уравнению (*) в области С в классическом смысле, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала классу С'"(С) и удовлетворяла этому уравнению в обобщенном смысле в области С.
Фундаментальным решением (функцией влияния) линейного дифференциального оператора н1 ЦВ)= ~~~ а В )щ=-0 с постоянными коэффициентами а,„(х) = а„называется обобщенная функция 4 удовлетворяющая в Я" уравнению ЦВ) Г= 6(х). У всякого линейного дифференциального оператора ЦВ) существует фундаментальное решение медленного роста и это решение удовлетворяет алгебраическому уравнению Ц вЂ” зс) й'~6') = 1. Пусть у Е У' такова, что свертка Фн ( существует в .У'.
Тогда и=4'ну есть решение уравнения В(Р) и = 1. Это решение единственно в классе тех обобщенных функций и, для которых существует свертка с 6'. у1й Фундаментальные реьиенил дифференциальных оиерогоороо 127 11.1. Показать, что единственное в оператора У+ фундаментальное решение 2) — — 4— дг г1х 5) — — а; з. :1хз г14 И' 8) — — 2— 41х4 г2хг гг"ь г4 ' — +а,, +...+а выражается формулой задачи 8.26 (определение У+ см.
28). 11.2. Наказать, что функция Ж'(х) является фундаментальным решением оператора: 1) е'(х) = 0(х) е~'*, — ~ а; г1 2) 4'(х) =0(х), —,, +а'; 3) Ях) =0(х) —, — „, — аг; — ! г 1 !гй 4) 4'(х) = 0(х) ехое,, ~ — ~а), т = 2,3,... 11.3. Найти единственные в У' фундаментальные решения следующих операторов: 1) —, +4 —; 41 +1; 3) — +3 — +2; лг ил дг ,~з,~г 4) —, — 4 — +5; Ы Их б) — — 3 — +2 —; 4хз г1хг 7) — — а4; + 1. 41хе 11.4. Наказать, что: 1 1 1) е'(х, у) = — = . — - фундаментальное решение оператоггг гг(х+ гу) д 17д .дт ра Коши-Римана — = — гз — + г — г!; дз 2 '!дх дуг" -ь — ! гм 2) е'(х,у) =, х = 1,2,..., — фундаментальное решение и.Г(й) х г д,з оператора ~ — — Л) '1дз ) ' 2хл-~г 3) 4'(х,у) = 1п)х~, х,т = 1,2, ..., — фундаментальное ггГ(й) Г(т) ф+ решение оператора ду" дх™ ' 1 згбо 1п! Л 4) 6'(х, у) = — е ' — фундаментальное решение обоб2х! у — Лх д д шинного оператора Коши — Римана — + Л вЂ” + д, 1гп Л ф О.
дх ду 1 11.5. Наказать, что 4'(х) = — 1п (х! — фундаментальное решение 2и оператора Лапласа в А . Выяснить физический смысл. 128 Гл. Ш. Обобгяеннеге Огуннени 11.6. Доказатьг 1 1) И'(х) = — — — фундаментальное решение оператора Лапла4гг )х! са в Вз; выяснить физический смысл; 1 2) 6'(х) = —, и = 3,4,..., — фундаментальное ре(п — 2) ггн)х)" 2 "/2 шение оператора Лапласа в В", где гг„= / г1Я = — — плошадь Г(н/2) поверхности единичной сферы в В"; ( — 1)ьт(н 2- й) 3) йюь(х) =;„, ')х)~Я "— фУндаментальное Решение итерированного оператораЛапласа /з" при 2й < и, /е = 1,2,..., егьа(х) = зе,, Ц 1п )х(, и = 2.
У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.17, 2). гце) -гйгц 11.7. доказать, что е'(х) = — — и 6'(х) = — — — фунда4е )х) 4я)х) ментальные решения оператора Гельмгольца гз + Йз в Вз. 11.8. Доказать, что если функция и(х) удовлетворяет в Вз уравнению Ьи + /гзи = О и условиям излучения и(т) = О((х! ~), — — зьи(х) = о()х) ~) при )х) — э оо, то и = О. 11.9.
Доказать, что фундаментальными решениями оператора Гельмгольца /з + й~ являются функции: 1) е(х) = Но~ г(ЙИ) и ел(х„у) = Но( ~(хИ) в Вз где Ног г к = 1, 2, — функции Ханкеля; 2) 4(х) егпйе~ и ех(х) е-гз)е~ в Вг 12х 12х 11.10. Доказать, что фундаментальными решениями оператора /.'~ — йз являются функцииг е 1) 4'(х) = — — вВз4н(х) 2) б(х) = — — Ко(Цх)) в В, где Ко(4) = з' — Н~ОО(г() — функция 2гг > — 2 о Ханкеля мнимого аргумента; е 3) гз-(х) = „вВ', н/3 ь н/3 — з 4) й'(х) = — ( — ) ( — ) К„/з г(й)х)) в Л".
З 1д Фрнданенваальнме ренгенне дняггреренциальнмэ операгаороо 129 11.11. Доказать, что если ез(х,4) — фундаментальное решение оператора — + /(В, ), то — 45(х, Г) -- фундаментальное решение д4 е ' Г(/4) оператора ~ — + Х(.0 )) .
11.12. Доказать, что: 1) е."(х, 1) = ' е ~'~ /(4 б -- фундаментальное регпение (2аъ/ 4)- оператора теппопроводности — — а~вэ в В"; выяснить физический смысл; В(4)4' ' — *' 4авь 2) ( ) е (4 /(4" в) .— фундаментальное решение операто(2а,/ 4) Г(Ь) ра ~ — — пзбг) в Дог Й = 1, 2, ... У к а э а н и е. Воспользоваться задачей 11.11. 11.13. Доказать, что 4'(х,с) = ( ) е" (еььб П4" ьг — фунла2ав/к4 д зд' д ментальное решение оператора — — аз — — Ь вЂ” — с. де дх д* 11.14. Доказать, что: 1) А(х,4) = — — ей* /( 1 "/ г - — фундаментальное решение В(~) 5.в „ 2/4 оператора Шредингера 1 — + (У к а з а н и е. Воспользоваться дь дхз ф й (г Его~в( — 5 ' авва/4 ) 2 о 'В(4) / Е"/э ( ~Ц' 1) 2) 4г(х,Ь) = — — ~ — ~) ехР 4(в — (вп+ 40) — — — фУн- Ь 'в 2кдэ/ ( ~ 2Ь4 4 1) д а' даментальное рещение оператора И вЂ” + — вь; и любое; дэ 2нго 3) О(4)4"-' 1 / И' Л екр ~~~ —., + — 4), /е = 1,2, ..., — фундамен(2ав/не)" Г(Ь) ( 5,4вааг 4 ) тельное решение оператора г — хваэЬ) в Лгг (У к аз ани е.
Вос'в де пользоваться задачей 11 11.). 11.15. Доказать, что: 1 1) 45(х, Ф) = — 0(а1 — ~х() †. Фундаментальное решение одномер2а ного волнового оператора П,; выяснить физический смысл; г) еа*г) = Во в вг,г — ЬЬ г '' — ~в г" в в о., = [*...В Ь в смысл. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.26. 5 — ! 389 Га. Ш. Обобщенные функции 180 11.16.
Доказать, что: 1) бз(х, 1) =, Бя, (х) = — Б (а~с~ — )х/з), где Я,е: )х! = аг, является фундаментальным решением трехмерного волнового оператора Ц„х = (хм хе,хз); выяснить физический смысл (У к а з ан и е. Воспользоваться задачей 9.27.); 2) — 0(а1 — )х!) -- фундаментальное решение оператора П в Ле; 1 г 8лае о тельное решение оператора П~~ в Л"; 4) фундаментальное решение оператора П„в Ве можно представить в виде 1 ~з(х, С) = — П,В(аг — !х!). =8 аз о 11.17. Доказать, что П(н-3)/2 ~0(1) с ( ггг ! !г)! (2а)" злс" — 'Ь'зГ ( — ) и > 3 нечетное, е'„(х,г) = 1гУ является фундаментальным решением волнового оператора П,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
