1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Основные и обойоСенные функции нулю в С; 1с и уз называются равными, если ((д, со) = (Уыр) для вессс Сой У. Носитаелем обобщенной функции 1 называется множество всех та- ких точек, ни в какой окрестности которых 1' не обращается в нуль. Носитель 1' обозначается через зцрр1. Если вирру' — ограниченное множество, то С' называется финитной обобщенной функцией.
Резулярной обобщенной функцией из У'(Но) называется всякий функционал вида ()',Со) = / Дх)Со(х)сЬ, Со й У(гсо), где 1 — локальна интегрируемая в Н" функция. Если 1'(х) — функция медленного роста в Л", т.е. ( Щх)((1+ )х!) *"сЬ < оо при некотором гл > О, то она определяет р е г у л я р н у ю обобщен- ную функцию из .г'" (медленного роста).
Всякая обобщенная функция„не являющаяся регулярной, называ- ется синаулярной. Примером сингулярной обобщенной функции является б-функция Дирака, определяемая правилом (б, р) = ~р(О), р й У(Но). Обобщением б-функции является поверхностная б-функция. Пусть Я вЂ” кусочно гладкая поверхность и р(х) — непрерывная функ- ция на ней.
Обобщенную функцию рбз, действующую по формуле (Рбз,~Р) = ~ Р(х) Р(х) ИЯ„У й У(Но), Я назовем простым слоем. В частности, если Я есть плоскость С = О в Нн+ (х, С), то рбй — о1(х, С) обозначим р(х) б(С), так что (р(х) б(С),чр) = ~ р(х) ср(х, О) сЬ. и" При и = 1 простой слой бзн (х) на сфере Ян обозначим через б(Л вЂ” ф), так что (б(1С вЂ” ф), Со) = ~р(Я) + Со( — Н). Произведением 1' из У'(Я") и функции о(х) й С' (Но) называ- ется обобщенная функция о1, действующая по формуле (сз~,у) = (у, сяр), СР б У(Нн) Пусть 1(х) й У'(1с1), А -- неособое линейное преобразование и Ь вЂ” вектор в Л". Обобщенную функцию с'(Ау + Ь) определим фор- мулой (1(Ау+ Ь), р) = 1, З'(" (х ')), р й У(ло).
! Йес А) При А = 1 имеем сдвиг обобщенной функции 1 на вектор — Ь: Гн. Ш. Обоби1еннме функции (Х(у+ Ь),у) = ((, р(х — Ь)). (б(х — хо),Ю) = (б,1е(х+ хо)) = 1е(хо) Например, — сдвиг б(х) на вектор хо. При А = — Х, Ь = О имеем отражение (1( — х),у) = (~,~р( — х)). 6.13. Доказать, что б(х) — сингулярная обобщенная функция. Лать физическую интерпретацию ее. 6.14. Пать Физическую интерпретацию обобщенным Функциям: Хч 1) 2б(х — хо); 2) ~', тьб(х — хь); я=1 3),и(х) бз(х); 4) (х)бзн(х — хо)' 5) 2б(В~ — )х — Ц) + Зб(Вз — (х — 2О. Найти их носители. 6.15. Доказать, что: 1) б(х — и) — + О, н — + со в У (В')„.
2) бзн(х) — + О,  — + оо в У'. 6.16. Локазать, что .У" С У' и из сходимости в Ян следует сходимость в У' 6.17. Доказать, что: 1) е* Е У'(Вх), ееЕ.9"'(В'); 2) ездим 6 У'(В~); 3) е*зше* е.х'(В'). 1 6.18. Показать, что функционал,бз-, действующий по формуле х' «Я — „уз) = ЪУр ~ — "ХХх = !пп ~+~ ~* дх, 1е й У, ее ее е — сингулярная обобщенная функция. 6.10. Вычислить пределы в У'(Вз) при е — э +О: 11хее''2 1) ~,(х) ее ' ' 2) 3) — е * Дне!; 4) — сбп —; б) — зщ~ -*.
2ъЯс х е кхз е 6.20. Домазать Формулу Сохоцкого — = ~бнб(х) + Я вЂ . 1 1 ххХО х 6.21. Вычислить пределы в У'(Вх) при Х вЂ” > +оо: 5) ХУме* а т>0 З б. Оеноенме и обобиееннме е1яннции 6.22. Найти предел,б", й — + оо, в У (В~), где соз Йх Ф 1 (,У,1Р) = ЧР / ~о(х) Их = — ео / — е ог'Е !ип ~+~ — *ее(х) е(х, 1о 6 У.
6.23. Доказать, что ряд ~ ' аьб(х — й): ь= — оа 1) сходится в У' при любых аь; 2) сходится в.9", если ~аь! < С(1+ (й!)™. 6.24. Пусть гР Е У(В"), ф > О, ~1(г(х) Их = 1. Доказать, что е "гР ( — ~ — + д(х), е — + +О в У~(Вн); в частности, ео,(х) — 1 Б(х), зе/ е — О У'( "). 1 6.25. Показать, что функционал Я вЂ”, действующий по формуле (У 1 ) Чр ~ 'Р(*) 'Р(О) г — сингулярная обобщеннел функция.
6.26. Показать, что: 1) а(х)б(х) = о(0)б(х), а б С (В"); в частности, хб(х) = О, х Е В1. 2) х.'У вЂ” = 1; 3) х-У =хоФ-1 7д>1. 1 6.27. 1) Пусть обобщенная функция 1 равна нулю вне отрезка [ — а,а]; доказать, что 1 =Я~, где и ЕСоо(В ) и О(х) з— и 1 в ( — а — е, а+с), е > 0 любое; 2) пусть 1 б У'(В") и о Е С' (В"), г1(х) = 1 в окрестности озрр 1; показать, что 1 = г1( и 1 Е .х ~(Во). 6.26.
Доказать, что Б(ах) = — Б(х), а ф О. 1 Цо 6.29. Доказать,что(а/)(х+л) = а(х+Ь)1(х+6),гдеа Е С (В"), (Е У'(В"), Ьб В.. 6.30. Доказать, что обобщенная функция РГ 9'(х о) Р(*,. ) — (О,О) ( Ю(х, ) г+ г о+ ) г+ г г+яг<г гг+Ог>~ 1 удовлетворяет уравнению (хе+ уз) РЕ - = 1 в У (Вз). Гл. 111. Обобщенные фуннппп 6.31. Пусть 1 Е .К' и Р— полипом. Показать, что 1'Р Е.9".
6.32. Пусть 1 Е у'(Вг) финитна и у(х) — произвольная функция из У(Я~), равная 1 в окрестности зцрр1. Положим 1(х) = —. ~1(х), ), «=х+1у. ь 1 1 у(х') Д н 1) 1(я) не зависит от выбора вспрмогательной функции у; 2) 1(х) — аналитическая Функция при х Е зпрр1; 3) 1(я) = 0 ( †), х — + оо; 4) 1(х+ге) — 1(х — Ы) — э 1(х), е — ++О в У'(11"). 6.33. ПУсть 1 Е У'(11~), зпРР1 С ( — а,а] и У Е У(В~), У(С) = 1 в окрестности зпрр1.
Доказать, что функция Дг) = (1((),у(С) ем~)„я = х+ 1у, не зависит от у, целая и удовлетворяет при некотором т > О и тобом е > О оценке ]1(х+ 1у)( < С,е~'+6~"~(1+]х])™. 6.34. Пусть 1 Е У'(Яп) и вирр 1 = (О). Доказать, что 1 однозначно представляется в виде 1(х) = "~ С Х)~б(х). о<!п! ЕН 6.35. Пусть ряд 2 а„б~'>(х) сходится в У'(11'). Доказать, что «=о аи =Оприи>ио.
Ответы к 3 6 6.1. 1) Сходится к нулю; 2) и 3) не схццятся, если у(х) ф О. 6.6. Ясно, что 1 (х) Е У. Далее, так как 1'(х) непрерывна и финитна, то для любого и > О и при всех достаточно малых е > О имеем ]1(х) — 1(у)] < и прн ]х — у] < е, х, у е 1<, гак чго Щх) — 1",(х)] < ~ Щх) — 1'(у)]ш,(х — у) ~Ху < и ~ ш,(х — у) Иу = и, /н — я/<е хЕВ. 6.Т. 1) Р о ш е н и е. Очевицно, функция Ф(х) Финитна и бесконечно дифференцируема при х ф О.
Осталось доказать, что Ф(х) бесконечно дифференцируема в точке х = О. Пусть у(х) = 1 при ]х] < е. Обозначив 1(х) = ~о(х) — ~~~ —, х, з ее(о), я=о получим б 7. Либгфереиичгевииие ибобщеииых ягяикиий ф(О) = 1пп гСг(х) = Ипг ~~*~ = ~ и-+0 и-+С хги тГ , иу( )(о 11 (О) = 1пп = 1пп гС( ) — гб(о) . П*) — 1-~ у< +п(о) и — ге х и-го хг' ьг (т + 1)! и т.д. Таким образом, ф(х) Е С, и, значит, гу 6 У. 6.8. 1) У к а э а н и е. Лля доказательства достаточности проверить, что угз(х) = ~ ~Рг (х) г(х е У. 6.10. 1) и 3) сходятся к нулю в .Уг; 2) не сходится в .9', если ср(х) ф О. 6.10. 1) б(х); 2) б(х); 3) б(х); 4) яб(х); 5) б(х) 6.21.
1) 2ябб(х); 2) О; 3) О; 4) — 2кбб(х); б) О. 6.22. О. 3 7. Дифференцирование обобщенньгк функций Производной обобщенной функции 7" из У'(11г) называется функционал 1', определяемый формулой (1', 1р) = — (1, ~р'), гр Е У(СС~). Каясдая обобщенная функция имеет производные любого порядка и 11иг1, т > 1, есть функционал, действующий по формуле У' ' ) =(-1)™(.( ' ') В случае п ) 1 формула (и), определяющая производную Р,С, принимает вид (Р"~,ср) = ( — 1)~ ~ Ц,Р гСг), гр Е У(й"). Пусть Я вЂ” кусочно гладкая двусторонняя поверхность, гг — нормаль к Я и и(х) — непрерывная функция на Я.
Обобщенную функцию д — — (ибз), действующую по формуле д ( — — (пбк),~р) = ( и(х) гСЯ, гр б У(СС"), назовем двийиыи слоем на поверхности Я. В частности, если Я есть плоскость С = 0 в пространстве и'"'гг переменных (х, С) = (хм хе, ... ...,х„,С), то — — (ибр о1(х, С)) обозначим через — и(х) б (С), так что д ( — г(х)б (С),гр) = ~и(х) ' г1х.
Пусть локально интегрируемая в В" функция,Цх) такова, что ее классическая производная порядка о = (ггы ..., ои) — кусочно непре- Га. Ш. Обобн»енине функянн рывная функция в Я". Регулярную обсбщенную функцию, определяемую этой производной, обозначим через (1» 1(х)) (в отличие от обобщенной производной В'*»' (х)). 7.1. Дать физическую интерпретацию обобщенным функциям: в В' — 5'(х), — Б'(х — хо); в  — — (нов), -2 — Бья(х — х ). з д д о д»» ' дп 7.2. Показать, что (об") (х — хо> у»(х)) = ( — 1)™~рб") (хо), т > 1.
7.3. Показать, что в Р'(»с»): 1) р(х) Р(х) = — р'(0) 5(х) + р(0) б'(х), где р(х) б С'(й»); 2) хБ~ »(х) = — то( О(х), т= 1,2,.,.; 3) х 5<~>(х) = ( — 1)"'т»56(х), т = 0,1,2,...; 4) хьб~ »(х) =О, »и = 0,1,...,й — 1; 5) с»(х)Б~"'~(х) = 2 ( — 1)'» С» с»~ »3(0)бо»(х), где с»(х) Е С '(Л'); »=о 6) х"Б~ »(х) = ( — 1)"ИСьббн "»(х), т= Й,1+1,... 7.4. Показать, что д' = Б, где д — функция Хевисайда.
7.5. 1) Показать, что в У'(»ь~) (д(х) р(х))' = 5(х) р(О) + д(х) р'(х), где р(х) е С (»с~); 2) показать, что в У'(Л~) — (д(Ф) р(х, С)) = й(1) р(х, 0) + д(Ф) где р6 С» (1> 0). У к а з а н и е. Воспользоваться определением простого слоя 8 6). 7.6. Вычислить: Ц д'( — х); 2) др"»(х — хо), т >1 целое; 3) до'*1(хо — х), т > 1; 4) (в»йпх)г"1, т > 1; 5) (хв15пх)', 6) (/х1)~ », т>2; 7) (д(х) в1пх)', 8) (д(х) совх)', 9) (д(х)х +ь)<», »и > 1, 1= 0,1,2,...; 10) (д(х) хн' ь)~™>, т > 1, й.
= 1, ..., т; 11) (д(х) е'*)~, т > 1. 7.7. Вычислить производные порядка 1, 2, 3 функций: 1) у = )х) сбпх; 2) у = )х~ сов х. Т.8. Показать, что (я 1)(х+л)=»»"1(х+Л) ~бГб 56Ан 7.9. Доказать, что обобщенные функции Б, У, б", ..., 50" » линейно независимы. 97 б 7. Лиферениирое ение о6оби»еннмх фрннииа 7.10. Локазат»м »4 1 1 1) — 1п [х~ = Зз —, где У» — определена в задаче 6.13; »Ь х' ж И 1 1 1 2) — Аз — = -Ф вЂ”, где Аз — определена в задаче 6.25; Их х хз' хз И 1 1 3) — —, = +кб»(х) — У' —,; дх х~»0 хв' И 1 1 4) — 9з — = — 2.У вЂ”, где хз хе~ з»»о) = »'р ) з»»х' в» 6 ~(Н )' 7.11.
Показать, что ряд ~, ав600(х — й) схсщится в У~(В') при любых аы -ео 7.12. Показать, что если (аз[ < А[й[™+В, то ряд ~; авее"' сходится в .»е'(д»), 7.13. Пусть 1(х) — такая кусочно непрерывная функция, что У 6 С'(х < хо) »» С'(х > хо)- Показать, что У' = У'( )) + У[..6(х — хо) У'(Л'), где [1]„=,» (хо + 0) — 1(хо — 0) — скачок функции 1 в точке хо. Доказать, что если классическая производная функции 1 (х) имеет изолированные разрывы 1-го рода в точках (хв), то формула (ии) принимает внд 1» = Ц'(х)) + ~~ [Л „6(х — хь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
