1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 25
Текст из файла (страница 25)
«'г'. Задача Коши 12.41. Доказать, что если Г(х, «) Е У'(»«"+'), г = 0 при «< О, то свертка б„* Р существует в У (Я"" 1). 12.42. Доказать, что обобщенная задача Коши (9) имеет единственное решение в классе обобщенныя функций из У'(В"+" ), обращающихся в нуль при «< О.
12.43. Доказать: 1) К( ) и К~ принадлежат классу С' по «Е (О,со); 2)»'„и Ъ'„' удовлетворяют предельным соотношениям при <о) 0) « — ++О «о) Я4" «х,«) Ъ'~ (х,«) — + О, " ' ' ' — + и1(х) в У'(Ли), д»'0)(х «) раО) (х, «) — + ио(х), *' — + О в у(й").
дх 12.44. Решить обобщенную задачу Коши (9) (х Е В') со следую- шими источниками Р(х, «): 1) б(«) .б(х); 2) б(« — «о) б(х — хо), «о > 0' 3) б(«) - б'(х); 4) б'(«) ° б(х); 5) б (««о) ' б(х), б) б(«) б (хо х) 7) б" («) б(х); 8) б(«) ба(х); 9) б(«) . а(х) б(х), где о(х) Е С и а(0) = О; 10) б(«) . )3(х) б(х), где «3(х) Е С и «)(О) = 1. Ниже при постановке обобщенной задачи Коши будем считать источником функцию вила г'(х, «) = у(х, «) + ио(х) б'(«) + и1(х) б(«), у = 0 при «< О.
12.45. Решить обобщенную задачу Коши со следующими источниками (х Е »» ): («) б(х) где ш(«) а С(«> О), ш(«) = 0 при = б(х), из =б(х); д(«),б(х) и, = б(х — хо), и« = хб(х) б(2 — х) и~ бР— *)' 4) « = В(«) сйц«. б(х — хо), ио = 0 о) у = д(«) сов« ° б(х), ио = О б) у =В(«)е ~ б(х), но=б(» И у) « — «) « ° б(2 — х), ио = О, «)(«) и«« из = б(«« — )х~); а = 1 а) г д(«) «з . б(х), ио = С = соцз«, и« = д'Я вЂ” И) 9) у = В(«)» «. б(х), = 1+.. б(х) 10) « . б(х), ио — д (2 И а=1; В Ы.
Задача Кои>и дая ураенения еипербоаичееноео о>ина 143 (13) 11) ( = О, ио = О, из =да(2 — [х[); а та 1; 12) (' = — 6(х — 1), ио = О, и1 = впх6'(х — л); В() 1+( 13) 1 = д(а( — [х[), ио=О, из — — О; 14) ~ = В(()(а(+Р) - х6 (х), ио = О, и> = х6о(х); а = 1. 12.46. Доказать, что если и> (х) — локально интегрируемая функция в В', то Р1( ) (х, () — непрерывная функция в )>(з и выражается (о) формулой 2,/ "'(() ч' (11) х — ае 12.47, Доказать, что если ио(х) — локально интегрируемая функция в Я', то )т, (х,() — непрерывная функция в Дз и выражается (з) формулой $т~ )(х,() = — [ио(х+ а() + ио(х — аФ)[. (12) Указание.
Воспользоваться тем, что $~, = (й [4 *ио(х)] в (з) силу задач 3.35 и 12.46. 12.48. Доказать, что если 1(х,() — локально интегрируемая функция в 11~> равная нулю при ( < О„то потенциал (>з(х,() принадлежит С()гз) и выражается формулой а+а(Š— т) (>з(х,() = — ~ / Яд,т) сне(т. О а-а(Е-т) 12.49. Рвшить обобщенные задачи: 1) ии = ази а+ В(х) 6'(1) + д(х) 6(1); 2) ии —— ааааа + В(()(х — 1) + х 6'(() + вйп(х) . 6(Х); 3) ии — — а и + д(1) Сх+ — . 6((); 2 В(х) 4) ии=и. + — +В( — х).6((); В(х) 3) ин = и +В(С вЂ” 2) )и(+ [х[ 6'((); 6) ии = ази + В(() (о> + В(2 — [х[) 6>((), пз = 1,2, ...„ 7) ип = и +ВЯе*+е+д(х)е * 6((); 8) ип = Ои, + д(( — я) соз(+ д(х — 3) 6'(() + 1(х) .
6(Ф); 9) е>п — иаа + В(() д(х)( 10) иее = и + 2В(()В(х)х+ е *.6((), а ~ О; 11) им=и.,+В((-Ц(, +1)+[х[-6(1); 12) ии —— и +В(1 — 2)(+д(х — 1) )пх.6'((); 13) иее = и . +В(х)х 6'(() +В(х)х™.6((), пз = 1,2,..4 144 Гл. Ге'. Задача Коаюн 14) аи — — иса + — + В(х) созх б((); В(() Л 15) ии = и а + В(() зЛ х + В( — х) . б'(() + В( — х) х - б((); 16) ии = и + В(х) е (а - б'Я+ хз б(г); 17) ии = и а + В(() сйп (х + () + зш х б(1); 18) им — — и„+ В(1 — /х~) б(().
12.50. Показать: 1) если ио 5 С (11') и и1 5 С'(1г'), то потенциалы е1~ ) и Ъ;~ ) принадлежат классу Сз(( > 0), удовлетворяют при ( > 0 уравнению (:)„и = 0 и начальным условиям: О=+о = О, (е1 ),~~=+о = и1(х), (о) (о) Ъ~ !а=+о = ио(х), (Р~ Цг.=-ео — — О (1) (1) (У к а з а н и е. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формул (11) и (12).); 2) если ( 5 С1(( > 0), то потенциал 11 5 Сз(Лз) удовлетворяет при ( > 0 уравнению Ц„и = 1(х, () и начальным условиям Р11и=~ьо=О, %) ) =.ее =0 (У к а з а н и е. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формулы (13).).
12.51. Пусть в задаче Коши (обобщенной) им = а'он*+ ио(х) б'(() + и1(х) б(() функции ио с Сз и и1 5 С для всех х, кроме х = хо, где ио,и1 (или их производные) имеют разрыв первого реда. Показать, что решение этой задачи является классическим всюду в полуплоскости ( > О, кроме точек, лежащих на характеристиках, проходящих через точку х = хо, ( = 0 (распад разрыва), для следующих случаев: 1) ио — — В(х)ы(х), где ы = Сз()г1), ы(О) ф 0 и и1 = О; 2) ио = О, из — — В(х — хо) ы(х), где ы 5 С (Я~), ы(хо) ~ 0; 3) ио = В(х — 1), и1 —— В(х — 2). 12.52. Для задачи Коши (9) убедиться в том, что: 1) от источника возмущения Р = ио(х) - б'(() = В(хо — ~х/) Дх) б'((), хо > О, 1 5 С~(Гг~), возникают две волны, которые имеют в каждый момент времени ( > 0 передний фронт в точках х = х(а(+хо) соответственно хр и в каждый момент времени ( > — задний фронт в точках х = а = х(а( — хо) (принцип Гюйгенса); 6 Сй.
Задача Коши для ураанення гиперболического псина 145 2) от источника Р = ис(х) - 6(С) = В(хе — /х!) Дх) . 6(С), хе > О, С 6 Сс (сс~), возникают две волны, которые имеют в каждый момент времени С > 0 передний фронт в точках х = х(аС + хе) и не имеют заднего фронта (размыв заднего фронта волны или диффузия воли).
У к а з а н и е. Воспользоваться формулами (11) и (12). 12.53. Решить следующие обобщенные задачи и доказать, что полученные решения явлспотся решениями и классической задачи Коши (3), (4): 1) ии — — ази +В(С)(х+С)+е"'.6с(С); 2) ии = ази„+В(С)ССссС+ 3' 6'(С); 3) ии —— аги + В(С)(х + Сг) + х"' . 6(С), т = 1, 2,. 4 4) им — — и +В(С)х +совх ° 6"(С)+совх 6(С); 5) исс = аги„+х~1сс!х! 6(С); 6) исс = и„+В(С) сов(я+С) +2* 6(С); 7) щ~ = и +В(С) вйсС+ 6(С); 1 8) ии = а и с + В(С) ес + . 6'(С); 9) исс =и* +(ссхз+СЗ) 6'(С)+хасз.6(С); 10) ии — — и, + 1п(1 + е*) - 6'(С) + е * - 6(С); 11) ии — — и„+ В(С) С'"х+вшх 6'(С) +х™6(С), т = 1,2,..4 12) ии = и, + В(С)агссбс+ 1п(1+ хз) -6'(С); 13) ии — — 4и, + В(С) совх+ юГ+ хе.
6'(С); 14) иа =и +В(С)хвспС+хзе ~*~ -6'(С); 15) исс =4и, +е '" 6'(С)+е евсссх 6(С); 16) ии = и + вше х.д'(С) + хе ~ 56(С); ) исс сс**+В( ) г + 18) исс — — и.х + В(С)(хес + Се') + 6(С). 1 чСС + ' 12.54. Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравнения (х 6 СС~): 1) исс — — азсси+ В(С) . 6(х) + 6(х) . 6'(С) + 6(х) ° 6(С); 2) ии = ссзс3и+ В(С) Сг 6(х) + ~х/с"6(х) -6'(С) + 6(х — х ) 6(С), т = = 1,2,.,4 3) ин = а~с3и + ю(С) - 6(х) + е ~*В(х) - 6(С), где ы Е С (С > 0) и ы = 0 при С < 0; 4) исс — — азсзи+ В(С)(ссС+ (1) . 6(х) + 6(х — хе) .
6(С). Х'ж ПГ. Задача Каши (14з) с ( с) ' Г Г У(б*)дб <чг те — )*: е" о ~ -с~<„р. > б ~(б, -~*-а)б~ 4яаз,/ /х — Я( $в — Я<ай (15,) (15 ) 12.58. Доказать: 1) если ио б Сз(В"), иг Е Сз(В") при и = 2„3, то $4 ~ и $~„'~, и = 2,3, принадлежат классу Сз(1 > 0), удовлетворяют при 1 > 0 уравнению Б„и = 0 и начальным условиям 12.55.
Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравнения (х Е В ): 1) ии = азЬи+ ВЯ -б(х) +б(х) ° У(8) + б(х) . б(й); 2) иа = аз<1и + В(й — 1о) . б(х — хо) + б(х — х') . б(8), 1о > 0; д'б(х) 3) ии — — азези+ш(й).б(х)+/х(з б'(й)+ — б(й), 1е = 1,2,3, й ~хо где ш~ Е С (Ф > 0) и ео = 0 при 1 < 0; 4) ии —— а~Ьи + В(1) з1п1 б(х) + е ~~~ — б'(Х). Вх„ ' 12.56.
Доказать, что если и~(х) --. локально интегрируемая функ<о) ция в В", и = 2, 3, то Ро — локально интегрируемая функция в В" е' и выражается формулами (14 ) 1, (*,1)= — ', ~,К)б.. (о) В(1) /е-й=аЮ Замечание. Так как Ъа = — (б' (х, С) * ио(х)), то, заменяя <О д в (14з) и (14з) из на ио и дифференцируя по Ю, получим Ъг( ](х й) = — ( ) 1 "~( ) ~ (14з) ~а *:й:~:~'/' !е — ц<ы !х — я=ы 12.57. Локазать, что если Дх,1) — — локально интегрируемая функция в В"+~, п = 2,3, равная нулю при 1 < О, то гз — непрерывная функция и $~~ - локально интегрируемая функция в В"+ и они выражаются формулами: В 12. Задача Конго дао у)гаоненио оиие(гбооичеонооо изина 147 В~ (о) = иг(х), г=+о )го' ~г +о =О, (о) ар.(" — =о; г=+о (ги )(=+о = ио(х), (г) а=1; а=1; 2) если 1' Е Сг (( > О), то Ъ'„Е Сг (( > О), и = 2,3, удовлетворяет при ( > 0 уравнению () и = Дх,() и начальным условиям ВУ ~ ~Ъ=+о = О, — ~ = О.
В( ~г=-ьо У к а з а н и е. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формул (14) и (15), если в них сделать замену переменных С вЂ” х = а(г) и 4 — х = а(( — т) г) соответственно. 12.59. Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравне- ния (х Е В ) и проверить, что полученные решения являются реше- ниями классической задачи Коши (3), (4): 1) У=В(() ио=С, и, =С, С=.сопз1; 2) У = В(()(4, ио = )4, ид = )х)~; 3) У =В(() Ьг, по =О, иг =1+)х(г,. 4) ~ = В(() с г(х)г, ио = 1+(х/г, иг = О. 12.60. Решить задачу Коши для волнового уравнения (х Е Вз) со следующими данными: 1) Х = В(())х), ио = О, иг — — )х)г; 2) гг = В(() (я~~~о, ио = 1, иг =1; 3) У = ог((), где ог б С (( > 0) и го = О при ( < О, ио = О, иг = а(х(г +(3; 4) У=В(1))гг!х), и.=О, из=О; 5) 1 = В(1), ио=, иг —— 0; 1 1+Цг~ б) У=О ио = сйп(х(г, иг — — зЬ(х(г; а = 1; 7) У=В(()(, ио =(х(г, иг 1 1+)х)г ' 8) ( = В(()е г 'ы(х), где ог й С~, ио = /Г+!х!~, иг =О( а =1; 9) ( = ВЯе ('(, ио = О, и, = соз)х(г) 10) го = О, ио = )п(1+!х~г), иг = е (о); а = 1; 11) г =0 ио=е ~ ), иг — — !п)х(; а=1; 12) 1 = В(() з(п(, ио = соз(х(г, иг = 0; 13) ~ = О, ио — — СВ(А — /х(), иг — — 0; 14) у =В(а( — )х)), ио = О, и, = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
