1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 27
Текст из файла (страница 27)
13.2. Пусть иь(хы «) — решение задачи Коши и, = а~Ли, и~а=о = Хь(хь), 1: = 1,2,..., п. Показать, что функция и(х,«) = П иь(хю«) является решением задачи Коши ио — — а «1и, и1ю=о = П 1ь(хь) я=1 13.3. Пусть функция 1'(х,«) й Сз(« > 0) является гармонической по х при каждом фиксированном « > О. Показать,что функция и(х, «) = / 1(х, т) Ит является решением задачи Коши о Го. 1У. Задача Коши РЗО и, = азс3и+ Пх,т), и)с о = О. является решением задачи Коши ис — — а~Ли, О < 1 ( —,; б и)с=о = ио(х).
Решения задач 13.5 — 13.8 можно находить по формуле Пуассона, но иногда удобнее применить метод разделения переменных или восполь- зоваться результатами задач 13.1 — 13.4. 13.5. Решить задачи (и = 1): 1) ис — — 4и„+ 1+ ес, и), о = 2; 2) ис — — и, + 31~, и)с о — — в)пх; 3) ис = и, + е ' сов х, и)с=о = сов х; 4) ссс = па*+в зшх, и)с=о — — зшх; 2 5) ис — — и, +з)пс, и')с — о = е 6) 4ис=и „ и)с=о = еас *; 7) ис — — и и~с=о = хе *; 8) 4ис = и** 1==' 13.6. Решить задачи (и = 2): 1) ис = С) и + ес, и)с=о — — сов х вшу; 2) ис — — Ьи+Йсс1з)их ипу, и)с=о = 3) ис —— Ьи+ соз1, и!с=о = 4) 8ис = с.'си+ 1, и)с=о = 5) 2ис — — Ьи, и)с=о соз ху. 13.7.
Решить задачи (п = 3): 1) ис = 2сХи + 1 сов х, и)с=о = 2) ис = Збги+е', и)с=о = 3) 4ис — — бги+з)п2х, 4) ис = Ли+ газ(х — у+х), 5) ис — — с.'й~, 1; с г хуе * с е — 1* — з) . сову созе; з)п (х — у — х); 1 — *с — зш2х+е * соз2у; е -1а+и — *)'. соз(ху) з)пх. и)с=о и) с=о и)с=о оо бс 13.4. Пусть ио б С (В"), а ряд ,'С вЂ”, Ь~ио(х), б > О, и все ряс=о ~) ды, полученные из него почленным дифференцированием до второго порядка включительно, сходятся равномерно в каждой конечной области.
Показать, что функция зс с и(х, 1) = ~~с ' —, с),"ио(х) а=о 8 И. Задача Коши дле уравнение тпеплепроеоднеетпи 161 13.8. Решить задачу Коши и1т=о = ио(х), х 6 тг ит =Ли, для следующих ио-' 1) ио = соз ,'т , 'хя,' 8=1 2) ио=е ~*~; 3) ио= 2 хь е 1*~; 'зь=-г 5) ио =ехР— 2 хь 4) ио — — зттт,С хе)е ~*~; А=! Если решение и(х, 8) классической задачи Коши (1), (2) и функшло 1(х,1) е С продолжить нулем при 8 < О, то и и(х, 8) удовлетворяет в Я"+т уравнению (в обобщенном смысле) ит = аеези+ 1(х,г) + ио(х) ° б(1). (4) Обобтценной задачей Катни для уравнения теплопроводности с источником г'(х, 8) 6 У (Яп+т), Р = О при 8 < О, называется задача о нахождении обобщенной функции и 6 У', обращающейся в нутть при 8 < О и удовлетворяющей в А +т уравнению теплопроводности ие = а тли+ Р'(х,г).
(5) Если существует свертка ГтР, где о"(х,8) = „ехр С вЂ” — з У в(Ф) ( 1*Г') — фундаментальное решение оператора теплопроводности, то 6 — 1389 есть решение обобщенной задачи Коши (5) . Это решение единственно в классе обобщенных функций и(х, 8), для которых существует свертка б'* и. Свертка )т = б'е Е называется обобщенным тепловым потенциалом с плотностпью Р. В частности, если Р = ио(х) б(1), где ио 6 У'(А"), то свертка )т® = б'(х,8) *ио(х) . б(8) = Ю(х,8) *ио(х) (если она существует) называется обобщенным поверхностным тепловым потенциалом с плотпностпью ио.
Тепловой потенциал Ъ' удовлетворяет уравнению (5). Обозначим через М класс всех функций, локально интегрируемых в В"+т, равных нулю при 8 < О и ограниченных в келщой полосе О<8<Т, х6йи. 1б2 Га. 1У. Задача Каиса (8) 13.9. Найти решение обобщенной задачи Коши (5) для следующих г'с 1) б(С) б(х); 2) б(С вЂ” Со) б(х — хо), Со > 0; 3) б(С). бб(х) Осб 4) б'(С) б(х); 5) б(С вЂ” 1о) —,, Со > 0; б) б'(1) хс дхя 7) 9(1) б(х) 8) 9(С вЂ” Со) б(х — хо), со >0; 9) б'(С).б(х — хо); 10) ас(1) . б(х), где ас е С(С > 0), ас = О при С < О.
13.10. Пусть с (х, С) е М. Показать, что свертка У = сс"а 1' 1) существует в М и представляется формулой с Лб-) ' ~ -а' ' ол 2) удовлетворяет оценке (У(х,с)~ ( с зпр Щс,г)~, с > 0; с о<а<с 3) представляет собой единственное в классе М решение (обобщенное) уравнения Ус = а~сзУ+ 1(х,с). 13.11. Пусть ио(х) -- - ограниченная функция в Яа. Доказать„что свертка Усо) = Г(х, С) э ио(х) б(С) = Р(х,с) а ио(у)с 1) существует в М и представляется формулой ~~2 1 2) удовлетворяет оценке )У'о)(х,С)~ ~ зпР~ о(б)~, с > О; с 3) представляет собой единственное в классе М решение (обобщенное) уравнения Усссс) = аз~У~"® + ио(х) . б(с).
13.12. Доказать, что решение обобщенной задачи Коши ис — — о~С~си+1'(Х, С) + ио(х) . б(С) выражается классической формулой Пуассона Я" с с ~ б~с олесли функция у локальна интегрируема в Ла+' и равна нулю при с < О, функция ио локально интегрируема в В" и оба слагаемых в формуле (9) локально интегрируемы в сс"+с. Г 10.
Задача Коши доя рравненин тепаопроводноетпи 163 13.13. Локазатзп 1) если у Е Сз (1 > 0) и все ее производные до второго порядка включительно принадлежат классу М, то К = д'е у 6 Сз (1 > 0) й П С (1 > 0) УдовлетвоРЯет пРи 1 > 0 УРавнению ге = а~е5Р'+ Дх, г) и начальному условию $'~ „= 0; 2) если ио(х) — — непрерывная и ограниченная функция, то )гФо) =4'*и, =С (Г >О) ас(1>О) удовлетворяет уравненшо Ъ;~ ~ = азе5Г<о1 и начальному условию 60 У" 1,=,.
=-.(*); 3) при выполнении условий 1), 2) функция и = Ъ'+Ъ'®, где Ъ; Ъ'® определяются формулами (6) и (7), есть решение классической задачи Коши (1), (2). У к а з а н и е. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формулы (8). 13.14. Найти решение обобщенной задачи Коши ие = и +по(х) '5(г) для следующих ио. 1) В(х); 2) 0(1 — х); 3) 0(1 — Ц); 4) В(х)е *; 5) 0(х)(х+1); 6) 0(х — 1)х.
Показать, что найденные функции и(х, г) при г > 0 принадлежат классу С и удовлетворяют уравнению ие = и, а при е — ~ +О непрерывны во всех точках непрерывности функции ио(х) и в этих точках удовлетворяют начальному условию и~, +о = ио(х). 13.15. Найти решение обобщенной задачи Коши ие = иее + Дх, г) для следующих у: 1) 0(Х вЂ” 1)ее; 2) 0(1 — л) созХ; 3) 0(г — 1)х; 4) 0(1 — 2) е*; 5) ВЯВ(х); 6) 0(е) . 0(1 — !х/). Показать, что найдсннью функции и(х,е) принадлежат классу С(Н~), удовлетворяют начальному условию и(е о = О, а в точках непрерывности функции Дх,1) принадлежат классу С . 13.16.
Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теплопроводности (х Е В') с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениеями классической задачи Коши (1), (2): 1) У=В(1)х, ио — — т; 2) У = 0(С) х~, ио = хз; 3) 1 = ВЯ 2х1, ио = хз+хв о 4) у — 0(е) Зхзез ио — ев а — 1. бе 164 Гл. 1У. Задача Коши ио = )х)~; ие= Ехя з с=с ио = ехр Е хг ио = Е хя ехр 2 хг с=с 1 с=с 3) ( = 0(Х)е', 4) 1=0, ио = соз ~„ хг ехр )„ тз 5) 1=0, 5) ( = 0(Х) Л, ио = ейх; 6) В(с) ие = хе'; Л" 7) ~=0(Х))пХ, ие — — хзспх, а=1; 8) 7=0(Х)хсозх, иа — — хсозх, а=1; 9) ~=0(Х)е', по=0(х)х, а=1; 10) (=В(Х)хе*, ие =0(х)х~, а=1.
13.17. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х б ххг) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1), (2): 1) Х = 0(Х)хрес ио хг уг. 2) 1 = 0(Х)(хг+уз), ио — — г:я+рг; 3) с = 0(Х)4хр, ио = хгрг, а = 1; 4) с =В(Х) е*стр, ио = е +"; 5) 1=0, ие = х совр; 6) у = 0(Х) хр, ио = соз р. 13.18. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х Е ХХ~) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1), (2): 1) 1 = 0(Х)хре', ио = хек созе; 2) у = 0(Х)хр созг, ие = (хг+у ) созг, а = 1; 3) ~ = 0(Х) хрг соз Х, ио = хуггз; 4) у 0(Х)(хг 2уг+яг)ес и + г+ з, 5) 1 = 0(Х) созХ сйпЗх соя 4уез', ио —— сйпЗх соз4рес', а = 1.
13Л9. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопровсдности (х Е ХХа) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1), (2): 1) 1=0(Х)И', 2) У = В(Х) Х, 'хз, с=с д 10. Задача Коши дая рраенения епеплопроеодносепи 165 Уравнение ие — ази, — Ьи, — си = 1(х, с), где а, 6, с - — постоянные, заменой и(и, Ф) = е "и(у — Ьс,1) сводится к уравнению теплопроводности. 1, Ь 2, 6=0; =0; 0; 0; 13.20.
Найти решение задачи ие — ази, — Ьи — си = Йх,1), и~~=о = ио(х) со следующими д(енными: 1) Ухх1, и,=1, с=1; 2) у=е, ио=совх, а=с= =0; 3) ~ = е, ио = сов х, а = ч/2, с = 4) 1 хх свшх, ио = 1, а = с = 1, Ь 5) У = О, ио = е '; 6) ('= со(1) 6 С'(1> 0), ио Е С и ограничена. 13.21. Найти решение обобщенной задачи Коши ие — ази, — Ьи, — си = 1'(х, с) + ио(х) ° б(е) со следующими данными: Ц У=д(1-1), ,ххд(Х), 2) ~ = 0(Π— 1), ио =0(1 —:с), с = 3) 1 = В(1 — 1)ее, ио =0(1 — /х~), сф1; 4) 1=0(Х вЂ” 1)ееъ ио=д(х)е*, с=1; 5) 1=В(1 — 1)е*, ив =хВ(х), а=2, Ь=сех — 2; 6) У=д(1)0(х), о=х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
