1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Найти функцию Грина оператора й на интервале (О, 1) при условии ~ у(О) ~ < оо в следующих случаях: 1) йу = — хзуо — 2ху+ 6у, у'(1) + Зу(1) = О; 2) йу = — уо+ ру, у(1) = О; 3) йу = — хзуо — 2ху'+ 2у, у'(1) = 0; 4) йу = — (ху')', у(1) = 0; 5) йу = — хуо — у', у'(1) + у(1) = О; 6) йу = — хзуо — 2ху' + 2у„ у(1) + у'(1) = 0; 7) йу = — хзуа — 2ху'+ 2у, 2у(1) + у'(1) = О; 8) йу= — уа+ у а)1, у(1)=0" 9) йу = — (ху')' + (1 + х) у, у(Ц =о. 15.8. Найти функцию Грина оператора йу = — хера — 4хзу' — 2хзу на интервале (1, 3), если у(1) + у'(1) = О, 2у(3) + Зу'(3) = О.
15.9. Найти функцию Грина оператора й на интервале (О, 1) в следующих случаях: 1) йу = — (е * /зу') + е * /'у, у(0) = у(1) = О; 2) йу = — е уа — 2теа у', у(0) =2у'(0), у(1) = 0; 3) йу = — уо + (1 + хз) у, у(0) = у'(1) = О. Указание. Частное решение уравнения — уо+ (1+ хз)у = 0 можно искать в виде у = е'<'>. 15.10.
Найти функцию Грина оператора йу = — (~/ху') + Зх з/зу на интервале (0,2), если /у(0)/ < со, у(2) = О. 15.11. Найти функцию Грина оператора йу = — (х+1) уо — у', если ~у( — 1)) < со, у(0) = О. 15.12. Найти функцию Грина оператора йу = -хзуо — ху' + ляу, если ~у(0)) < со, у(1) = О.
15.13. Найти функцию Грина оператора йу = — [(хз — 1) у')'+ 2у, если )у(1)) < со, у(2) = О. Г ХЗ. Задача Штурма — Лираиллл 187 15.14- Свести задачу Штурма — Лиувилля к интегральному уравнению в следующих случаях: 1) Ху = — (1+ е*) уа — елу' = Лхзу, 0 < х < 1, у(0) — 2у'(0) = О, р'(1) = 0; 2) Х,р = — (ха+ 1)уа — 2ху'+ 2у = Лу, 0 < х < 1, у'(0) = О, у(1) — у'(1) = 0; 3) Ху = — з/1+валуа — у' = Лху, 0 < х < 1, у(0) =, 2у'(О), „'(Ц = О; 4) Ху = — (1 — хз)уа+ 2ху' — 2у = Лу, 0 < х < 1, у'(О) = О, )у(1)) 5) Ху = — соз4х уа+4зшх совах р' = Лху, 0 < х < —, 2у(О)— 2' -у'(о) =о, ~у(-;)) < °; б) йу = — хзуа — 2хр+(2ссезх+1)у = Лу соз2х, 1<х<2, у(1) = О, у'(2) = 0; 7) Ху = — уа = Лу, 0 с х < 1„у'(0) = у'(1) = О. 15.15.
Свести к интегральному уравнению нахождение решений — 2хуа — у' = 2Лз/ху, 0 < х < 1„ при граничных усвовиях Йп (зГх - у~) = О, у(1) = О. л-+О 15.16. Свести к интегральному уравнению нахождение решений уравнения — хуа + у' = Лу, 1 < х < 2, при граничных условиях у(1) = = у'(2) = О. 15.17. Свести к интегральному уравнению нахождение решений камского из следующих уравнений при указанных граничньм условиях: 1) — (1+ха) уа — 2ху'+Лу =О, у(0) = у'(1) = 0; 2) — е уа — е*у'+ Лу = О, у(0) = О, у(1) +у'(1) = 0; 3) — уа + Лу = Дх), у(0) = Ьу'(0), Ь > О, у(1) = 0; 4) — хуа — у' + Лху = О, !у(0)/ < оо, у(1) = О.
15.18. С помощью функции Грина решить следующие задачи: а Ф 1) — У вЂ” У = У(х), 1 <х<е, у(1) = О, у(е) — еу'(е) = О, 1+х (1+х)~ где е — основание натуральных логарифмов; 2) — хлуа — 4хзу' — 2хзу= Х(х), 1<х<2„у(1) =О, у(2)+у'(2) = 0; х а 1 3) — — уа — у' = Х(х), — 1 < х < О, 2у( — 1) + у'( — 1) = О, 1 — х (1 — х)з )у(0)) < со; 4) — (1+созх) ра+сйпх у' = У(х), 0 < х < —, у(0) — 2у'(О) = О, у(-) =О; 5) — уа+ —,р = Дх), 1<х<2, 2у(1) = у'(1), у(2)+2у'(2) = О.
188 Гл. К Краевые задачи длз ррааиеиий зллиптичесиоео типа 15.19. Доказать, что краевая задача — да+ д(х) р = дх), р'(а) — Ьр(а) = см эквивалентна трем задачам Коши: 1) д' + д = д(х), д(а) = -й; 2) 1" — д(х)У = -У(х), Ъ'(и) = сз; 3) р' + д(х) у = 1'(х), р(Ь) = У к а з а н и е. Факторизовать оператор р'(Ь) + Ну(Ь) = сз Ответы к 215 х(1 — «), 0 < х < «, 1 ((х + 1)(2 — «), 0 < х < «, 15.1, 1) ' ' г) - ~ «(1 — х), « < х < 1; 3 1(« + 1)(2 — х), « < х < 1; ~(х + Ь)(« — 1), 0 < х < «, 3) —— 5+1 1(«+Ь)(х — 1), «« 1; 4) —.
)" в1пх в1п (1 — «), 0 < х < «, вш1 (вш(1 — х) яп«, «< х < 1; ('сйк 1+ 1 1 — сзк 1 (вшх+ сснх)~ " вш«+ сов«), О < х < «, (с18 1 — 1 2 с181+1 ( ~ вшх+ сов х)(вш«+ сов«), «< х < 1; 6)— )'вЬхв)з(1 — «), 0 < х < «, ~1 1в1з«вп(1 — х), «< х < 1; ~(ел+ е з)(е~+ еэ е), О < х < «, 7) 2(ез 1) ((е~ + е 4)(е* + ез *), « < х < 1 1 1 — 1<х<«, 1п —, 1<х<«, 2 15.2. 1) 2) 1 1 — «<х<2; 1п —, «<х<2; 2 х« х 1«з — 1п« Е 1<«<2, ~(~, — 2), 1<х<«, «<х< 2; ( з ) «<х<2.
18х(1 — 18«), 0<х<«, 15.3. 1) 18 «(1 — 18 х) « < х < У 15. Задача Шгауулга Лиуеаллв -япх1ч/2 я1пС вЂ” 1), 0 < х <(', < г) — яп ~ (ъ~2 япх — 1), ~ < х < —; ~~18 х+ 1)(18 ( — 3), 0 < х < (, 3)— х 4 ~~18 ~ + 1)(18 х — 3), ( < х < —. 4)' — ), С <х <11 — (1 + агс$8 х) ~агся8с— 4 я+4 х+4 (1+ ягс184) ~агс18х— 15.4.
1) Е ха(( — ЯЯ), О < х < ~, 8) ЯЯ(х — ха) г < х < 1. 15.5. 1) 2) <1п (я/2 я1п С), 0 < х < С, 1п (ъ/2 я1п х), ( < х < —; а гс18т (- — агс18~ + 1), 0 < х < (', 2) к+2 агсЦ4 ( — агс18 х + 1), ~ < х < 1; 3) 2 ~1+ ~/3ягс18 — )( — — агс18 — ), О < х < ~, Гз 6 ~/з х+ ч'3 (1+ /3; 1КА)à — агсФК вЂ” ), 4 < х <1; —, — (х + 1)~ [, — 1с + 1)), 0 < х < с, 5 [(~ — 2)я — 15 ~[ 1 — гх — 2)з~ г < < 1.
< 1п — ~1п —, — 1п 3), 0 < х < (, 1 2+х г' 2+4 4!пЗ 2 — х ~ 2 — 5 1 2+5 г 2+х — — 1п — ~1п — ' — 1п 3), с < х < 1; 41пЗ 2 — 8~ 2 — х 1 ( ~2) р < х «чг 82 — ~ —,— ха), (<х<1; 190 Гл. К Краеаэте задача дле ураеиеиий зллиитпичееиаэа таила — Вдх, 0 15.6. 1) — 15~, ~ сэдС+1, 0<х 3) с15 х+ 1, С < х с$5~, 0<х<~т, 2) ссдх, С<х< —; <х <с, тт <х< —; 2' <~, < —. 2 2 ~ х з ~ ~ ~ | ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~ ~ !~ ! — (- — сэ), 0<х<с, 3 — ( — — хэ), (<х<1; — „„о< 5э — ~< 5хэ ' 15.7. 1) х<с, 5 ~ 3 3~ ? ~ ~ ~ 1 ~ 2 ~ 1 ! ~ ~ ~ ! ~ ~ 1~ — (2с + — ), 0 < х < с, 3(х )' 1 — 1пс, 0<х<с, 5) 1 — 1пх, с < х < 1. -)пт, 0<х<с, 4) — 1пх, с<х<1; 6 ~ | ~ ~х~ 6 б ~ | 2 а 1 а ~ ~ ~ о г ~ ~ 7 ~ ~ | ~ а ~ ~ ~ ! 7 ~ ~ ~ ~ ~ ! ! ~ г *-(4+2Г'), 0<*<6 6) — (х+ 2х э), С < х < 1; 6 | ~ ~ 6 ~ ~ ~ |~ ~ 2 ~ а ~ а ~ од ~ ~~ ~ 1 1 ~ ~ 0 ~ а 7 > ~ ~~ ~ ! ~ ~ ~гг ,ха(с — с' ), 0<*<4, 1 — 2а 1~(х.
хт-а), 1 < х < 1, — 2+ / е ' й) ( ~е ' й+ 2) /е " й, О < х < ~, О О 1 е — 2+/е 'й) ( (е ей+2)/е 'й, ~<х<1; о о 1 2) — хС э, 0<х<~, 7) 3 е" е*+~ / — й, 0<х<~, 9) е Э' е"+~ ( — й, с<х<1. 1 — 1<х<4, 15.8. — с <х<3. Я 159 1) от* +~ тт~(Ф(х) — Ф(О)) (Ф(~) — Ф(1)), О < х < р, е'* +~ ~~'(Ф(4) — Ф(0))(Ф(х) — Ф(1)), Р < х < 1, Ф(0) — Ф(1) где Ф(х) = У е т IЭД4; 191 8 18.
Задача Шзарума — Еирваллл — ((' " — (л), 0 < х < ~, ~а — (х "— х"), ('<х<1. 15.12. х(1+ — 1п — + — (1 3 — 1)~, 1<х<(', 4 4-1 15 13 2 5+1 е [1 + — 1п — + — (1п 3 — 1)~, ~ < х < 2. 1 15.14..1) р(т) = Л~С(х,Я~ерЫ)46 о х — 1п(1+е*) +1+ 1п2, 0 < х < (, где С(х,~) = ~ — 1п(1+ еа) + 1+ 1п2, ( < х < 1; à — Я1+хаге13х), 0<х<(', 2) р(х)=Л/С(х~)р(~) де, где С(х~) = ~ о 1 3) р(х) = Л 1 С(х,от) К, о — 1п(е "+Л+е ал)+1+)п(1+~/2), 0<х<~, где С(х,~) = — 1п (е е + Я+ е а4) + 1+ 1п (1+ ~/2), ( < х < 1; /х 1+х 4) у(х) =Л/С(х,Яр(()Щ, где С(х,~) = 1+( о х(- 1п — — 1), ~<х<1; 2 1 — 3 ~/г $8х 1 — +о3х+-, 0<х<ч, 5) р(х) =Л~С(х,4)(р(~)д4 где С(х,~) = о $84 1 л — +13(+ —, ('<х<-; Кра(х) ра((), 0 < х < ч, 3) где К = ~е ' + ~ е ' сМ) Кр~(~) ра(х), ( < х < 1, д е 1 в<~=~' ~ 'л, в~)= *л(*'~~.'й) о а г — У-3,2(-о~а), 0<8<х, 15.10.
28ъ~2 — (т' — 3~6х '~'), (< х < 2. 28~/2 — 1п (~ + 1), -1 < х < ~, 15.11. — 1п (т, + 1), ( < х < О 192 Гл. К Краевые задачи дле уравнений эллиптичееноео типа 6 ) у(х) = (Л вЂ” 1) ( С(хр() со92~у(4)е(4р 1 ~(х — х 2)(~+4~ 2), 1 <х < г, где С(х,с) =— Ц( — ( 2)(х+ 4х 2), ~ < х < 2; 1 7) у(х) = (Л вЂ” ) УС(х,ау(од4, ~сое ~(ах ° сое ~/а(~ — 1), 0 < х < С, где С(х,с) = — а > О, ,/а 91п иРа (сое /а~ сое /а(х — 1), 4' < х < 1, а ф (хп), и целое. Г2( — 1+Я), 0<х<~, 15.15. у(х) =Л/С(х,()у(4)сЦ, где С(х ~)=~ о ' (2( — 1+,Й), ~<х<1.
2 (4) — (х — 1), 1 < х < ср 15.16. у(х)=Л~С(Х,С) — ", д4, где С(Х,С)= — ф — 1), С<х<2. 1'егсс5Х, 0<х<с, 15.1Т. 1) у(х) = — Л~С(х,г) у(О<К, где С(х,~) = ~ 1,агс25с, с<х<1; 1 (( — е *+1) е Ср 0<х<С, 2) у(х)= — Л~С(ХС)у(С)11С, где С(ХС)= ~ а ( — е е+1)е, с<х<1; 1 1 З) у(х) = Л~ С(Х,ОуЯ К+ ~С(Х,01(0%, о а (х + Ь), 0 < х < с', где С(х,с) = Ц+Ь), ~<х<1; ( 1п ~ „0 < х < 4', 4) у(х)= — Л~С(х,с)ср(с) ас, где С(х,с) = ( (! и х, 4 < х < 1. е 15.18. 1) у(х) = ( С(х,с) Дс) И4, 1 (х+1пх — 1)(~+1п(), 0 < х < (, где С(х,с) = (С'+1пС' — 1)(х+1пх), С' < х < 1; /1 111 2 ) р 1<х<9р ) (*) = 1 М))~(с) „(х с') = 1 (1 1) 1 (<х<1, хе' З 16. Иегнод разделение переменных 163 1и (х) - х, — 1 < х < «, С(х,«) = 1пф — «, «<х<О; 3) у(х) = (гС(х,«)1(«) д«, где -1 е/з 4) у(х) = ( С(х,«) Д«) д«, о где С(х,«) = — (16 — + 1)(1 — 1к -), О < х < «, -(16 -+ 1)(1 — 1к — ), «< х < —; 2 — 1<я<«, С(.,«) = «3 — «<х<2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
