1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 34
Текст из файла (страница 34)
16.24. 1) — ( — т+ — ) яшу я1пО; 7 з 12 / / 98 Зт''4 . г 2) — (т — — ) сояВ+ ( — — — ) яш2вр язп О; 7 1 т2) ~31тг 31 ) ' 3) 4(т — — ) сояО+ ( — — т\с4пО соявр. .г) 1тг ) 4) (14 — — ) Ре(со О) +тг(1 — ЗсоягΠ— яш~В ° яЫ2у); 12 . /4 тк 12/8 тгЗ б) —, ряшВ( — — -)+ — ( — — — ) ряш20; 7 2) 311тз 4) )'/ 8 б) )( — свн2у — — я1п2у)тг+ — ( — — соя2вр+ — я|п2у)~я1п 0; А31 31 ) тз 1 31 31 Гг/ 1 8 .
1 1/32 8 7) (т ( — — сояу+ — яшу) + — ( — соивр — — я1пу11 яш2В; 1 31 31 ) тз ~31 31 8) ( — — т ) яш 2В яш Вр+ ( 8т — — ) игп В соя 2у тз тз) ' в 1 /8 1 32 / з 11 12с4п — 15я1п~О 9) ( .) о О+ (тз ) соя у. 7(тг ) 127 ~ 2 16,25. 1) ( — — т) сояО+ (т — — )яш Оязп2у; /4 /2 321 (42 ) .3) 2) (т+ — ) язпВ с4пвр+Зт яш2В яшу; 41 2 22 3) 1+ — (т — —,) Р (сояО) сояу+ — т — — ) соиуРз (сояО)+ 12/ 11 вц <21 97 '1 + — (т — — ) т3п2врРз (сояО) (У казанке.
и,),— 2 — — 2Р (сояВ) х (2) х сояу+ — Рз (сояВ) ип2у+ ЗР2 (сояО) сову, и = (ат+ — ) х ю . ® Ьз х япО соя у + С + — + з /тз + — 11 Р~ )(соя В) сову + (1тз + — 1 х тв / х Рз ~(сояВ) я|п2у.). 16.26. 1) 4 — — + — ( — — 32т)Р2(сояВ)+ — (32т — — )Р (сояВ)ссе2р 2 2/1 21 1/ г 11 Вг) 36" ) 31'1 .) ' (У к а з а н н е.
и~,— 2 = 2 — 2Р2(соя О) + Р, (соя В) сззя 2вр.); З 17. Фупквпз Грана оператора Лоппаео 207 2) — ~ — — г) созд+ — ~ — — г )Р (созд) соз222+ — ~г — — ) х 12 /1 зт (з) 4322 (гз ) 127 ~22 127 ~ г") х Рз(созд) ~Указан не. 22)„— 272 = — 6Рз(созд) + 6Р2(созд) + +Рз (созд) соз2уо, и =(ог+ —,)Р,(созд)+(ст + —,)Рз (созд)соз2)о+ )г) ы з дт Р) + (дгз+ — )Рз(созд) ) 2 17. Функция Грина оператора Лапласа Функцией Грина (внутренней) задачи Лирихпе для области С б Ггз называется функция в7(х, у), х б С, у б С, обладающая свойствами: 1) У(х,у) = 1 + д(х, у), где функция д — гармоническая 4п)х — у) в С и непрерывная в С по х, при каждом у б С; 2) 27(х, у) ~ ез = О при каждом у б С, где Я вЂ” граница области С.
Дпя неограниченных областей С требуем, чтобы д(х,у) — ) О при )х! — + со. Если С вЂ” ограниченная область и Я вЂ” достаточно гладкая поверхностзп то й существует, единственна, имеет правильную нормальд27 ную производную на Я при каждом у б С и симметрична, т.е. дп ез(х, у) = 32(у, х), х е С, у е С; д(х, у) непрерывна по совокупности переменных (з, у) в С х С. Если решение внутренней задачи Дирихпе дпя уравнения Пуассона ези = -у(х), п)з = ио(х), где 7 б С(С) и ио б С(Я), имеет правильную нормальную производную на Я, то оно определяется формулой п(х) = — / д*'у пз(у)дзз+~Ях,у)Х(у)ду- (1) Я о Для ряда областей функцию Грина можно найти 22егподоз2 отрахеений.
17.1. Построить функцию Грина дпя следующих областей в 2Ч~: 1) попупространство хз > О; 2) двуз равный угол хг > О, хз > О; 3) октант хз > О, хз > О, хз > О. 17.2. Построить функцию Грина для следующих областей в Ре~: 1) шар )х( < Д; 2) полушар )х) < К, хз > О' 3) четверть шара )х( < К, хз > О, хз > О; 4) восьмаЯ часть шаРа Ц < Л, хд > О, хз > О, хз > О.
17.3. Пользуясь методом отражений, построить функцию Грина ддя части пространства, заключенного между двумя параллельными плоскостями хз — — О и хз = 1. 208 Гл. р'. Краевые задачи для уравнение эллиашичеекоее типа Ниже даны краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона, решения которых могут быть найдены с помощью соответствующей функции Грина из задач 17.1 — 17.3 и формулы (1). 17.4. Найти решение задачи Дирихле 1зи = — Х(Х) ХЗ > 0; и(еэ-О = иа(Х), для следующих 1 и ио: 1) 1, ио — непрерывны и ограничены; 2) 1=0, ио = созхг созхг,' 3) (' = е еезшхз сснхг, из=О; 4) 1=0, ио = д(:гг — хз); 3) У = О, „, = (1+, +,,)-'~',.
б) ~=2~хгд+х3+(хо+1)г), ио — — (1+хг+хг) ( — 1, хг<0, 7) 1=0, иоле ~ (+1, хг > О. 17.5. Найти решение задачи Дирихле 11и=О, хг > О, хз > О, и(з =но(х), ио — кусочно непрерывна и ограничена. 17.6. Регаить задачу 17.3 со следующими ио. 1) но~*,=о =О, ио1*,=о =е ~*'зщбхг', г -зlг 2) ио(*,=о = О, ио!э.=о = хг (1 + х1 + хг) 3) ио1а,=о = О, ио(*э=о = д(хг — МгО. 17.7. Найти решение задачи Дирихле для шара (х~ < В: ли = — 1(х)„~х~ < Н, иб ~ и = ио(х). 17.8. Решить задачу 17.7 для следующих 1 и ио.' 1) у=а=салос, ио =0; 2) 1= )х(~, и=0,1,2,..., ио =а; 3) 1'=о~э(, ио =О. 17.9. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для полу- шараф <В, хз >О. 17.10. Найти решение уравнения Пуассона ези = — Ях(), 1 б б С(а < Ц < Ь) в шаровом слое а < Ц < Ь, удовлетворяющее крае- вым условиям ибэ)=а = и1 ей=о = Фдинииеб Грина задачи Дирихле для обласгли С С йг яеляешся 1 1 У(г, ~) = — 1п + д(г, ~), 2к )э — б) где г = х + Ьд б С, ~ = с + гл е С.
У(з, ~) обладает всеми свойствами функции Грина в Вз (см. начало 317). Решение задачи Дирихпе Гзи = — У(я), з б С; и(з = ио(г) в й (если оно существует) опре- В 17, грунаиия Грина операкаара Лапласа 209 деляется формулой, соответствующей формуле (1) в л~. В случае, когда область С вЂ” односвязная с достаточно гладкой границей Я и известна некоторая функция иг = иг(я), конформно отображающая С на единичный круг ]иг~ < 1, функция Грина находится по формуле 1 1 ге(е) — зя(ч) — '"]( 01 ""-1 () И) 17.11.
Найти функцию Грина для областей: 1) полуплоскость 1пг я > О; 2) четверть плоскости 0 < агя я < —; 3) круг ]я] < й; 4) полукруг ]я] < й, 1ш я > 0; 5) четверть круга ]я] < 1, 0 < агяя < —; 2' 6) полоса 0 < 1ш р < я; 7) полуполоса 0 < 1ш а < я„Нее > О. 17.12. Найти решение задачи Дирихле Вги=О, у>0; и]р — о=но(х) для следующих ио(х) г 1) ио(х) кусочно непрерывна и ограничена; (1, х 6 ]о,Ь], 2) ио(х) = В(х — о); 3) ио(х) = ~ О, хб (а,Ь]; 1 х 4) ио(х) =,; 5) ио(х) = —,' г 6) ио(х) =; 7) ио(х) = созх. 17.13. Найти решение уравнения Ьи = 0 в первом квадранте х > О, у > 0 со следующими краевыми условиями: 1) и]я = ио(х, у) — куссршо непрерывная, ограниченная функция, где Я состоит из полупрямых (х = О, у > О) и (у = О, х > О); 2) и]*=о=О, и]я=о=1; 3) и],=о=а, и]р=о=Ь; 4) и) =о =О, и]р=о = В(х-1); 5) и] ео =О, и]р=о = 6) и] -о=вшу, и]р — — зг11 17.14.
Найти решение задачи Дирихле для уравнения Ьи = О, 0 < у < я со следующими краевыми условиями: 1) и]я = ио(х, у) — кусочно непрерывная, ограниченная функция, где Я вЂ” граница полосы 0 < у < я; 2) и]р-о — — В(х), и]р= =0; 3) и] =о=В(х), и]р „=В(х), 4) и]р-о =В(х), и]р — —— — В(х); 5) и]р о =В(х), и]р =В( — х), 6) и]о=о=, и] = =О.
17.15. Найти решение уравнения Лапласа Г1и = Р в полуполосе 0 < у < и, х > О, со следующими краевыми условиями: 210 ь л. г'. Краевые задачи дльг уравнений зллигьтииеенаеа тина Ответы к 317 В ответах к задачам 17.1 — 17.10 введены обозначения у о = (( — 1) Уы ( — 1) ую (-1)'уз). 2) — ' Е (-')'"; 4х „ь,, о !х — уа„„!' 17 1. 1) — Е 4гг в=о !х уаьа! 1 1 ( 1) а+а+а 3)— 4ьг ь о /х у е! 1 / В 17.2. 1) — ~ —, где, как и всюду в задаче 17.2, ~г 4гг 1 !х — у! (у!!х — у'! У ау= ху ю (У о(!У в!=Н !у! 2) — ~" ( — 1) ° ( К 4н о=о ~!х уоае! !у!(х уоае! 1 3) — 2, '( — 1)"+" 4ха,х=о (,! -у ! !У(!'-Уа..! ' 1 4) — 2 ( — 1) +а+" !,(х — у „е! (у!! — у',а! 1) и(*=о = 1, и!„=о = О, и(у-„— — 0; 2) и(е=о =О, и!„=о =вшх, и!„- =0; 3) и! = =О, и(у=о = аьх, и!„- =1ьх; 4) и!,=о =О, и!„-о =О, и(у-е =Ф!зх.
17.16. Найти решение уравнения Пуассона Ьи = — Дх) в круге (х! < Н при краевом условии и!!,!-д = ио(х) для следующих ~ и ио. 1) у'г ио — непрерывные функции; 2) Х = а, ио = Ь; 3) ~ = !х!", и =1,2,..., ио = О; 4) ~ гхв$п!х!, ио = 0; о) у ьаО, по =совгр, гле гр= асях, 0 < уь < 2я.
17.17. Найти решение уравнения Лапласа Ьи = 0 в полукруге !х! < 1, 1ш х > О, при условии и!в = ио(х), где Я вЂ” граница полукруга, для следующих гьо(х)г 1) ио(х) — кусочно непрерывная функция; 2) ио!,=ь = вшгр, ио!а=о = О, ио! = = О, где г = !х!, ьр = агК х, 0 < уь < 2х; 3) ио!,=ь =О, ио!;=о=1, ио! = =1; 4) ио! =ь =сов —, ио! =о = /г, ио(и= =О.
'р 17.18. Найти решение задачи Дирихле Ли=О, Еех>0, !» — о(>3; и!нее=о = О и!!ь — в!=3 = 1 ° З 17. Фуиициз Грипп оператора Лапласа 211 17.3. ' 4Я „— е„(хд — уд)з+ (хз — уз)з+ (хз — (2п+ уз))з 1 (хд — уд)з+ (хз — уз)з+ (хз — (2п — уз))з Указание (к задаче 17.4 и ниже). В случае, когда 1 и ио кусочно непрерывны и ограничены, а поверхность Я кусочно гладкая, постановка задачи Дирихле может быть обобщена таким образом, чтобы решение ее также определялось формулой (1).
М уоод)/ уз=.о у,>о 2) е Уззз совхд совхз, 3) (е "из — е *з) вшхд совхз,. 4) — + — агс13 '; 5) [х~ + хз + (хз + 1)з) 2 /гхз ' 6) (хд+хо+(хз+ 1)з|; 7) — агсСр; — '. хз у~з ~ у т)зг. у уз >о хз ( + 2х,/ ио(У) ~ у~з ~ у (з с У' у,>о у * рода уз=о 1) Š— з*з Ззз Вдл 5Х 2) Х ~ХЗ .~- ХЗ + (Х + 1)З~ 1 хз+ хд 3) — агейла + — агс13 зг ~~у'2 х~дГ2 ззз. — д' щзз,+ — ~ ( — )д(з)зз, 1 гВ~-)х~~ 1 Г 1 В 4згГс,/ )х — у(з 4зг (д(х — у) )у((х — у') Ь!=л )у(<Я где у* = уйз/~у~з — точка, симметричная точке у относительно сферы )у) = Я. аз+у ) )и-Зз 17 3 ц ' ()2г ~,р)1 2) „ + 3) ен — е>*( — — (ел — 1) + — (е(*> — 1). сс /х/ хз зз.з. ~П = — д (з,,зз ( , — , ,) зз зз у1сл уз=о Гсз — )х)з (' (у(=л у,>о где ~х~ ( гд, хз > 0; у* и у*' — - точки, симметричные точке у относительно сферы )у( = В и плоскости уз = 0 соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
