1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Возврашаясь к переменному В, найдем искомые частные решения уравнения (20): Р~ 1(сов 0) = в1п 0 [Р„(сов В)], (22) дсовВ причем Р~ 1(сов В) = 0 при ш > и. Функции РЛ 1(сов 0), определяемые формулой (22), называются присоединенными полиномами Лежандра. Таким образом, частные решения уравнения (17), ограниченные на единичной сфере, имеют вид Потребовав, чтобы функция У(0, 1р) была ограничена на единичной сфере, и учитывая, что У(0, ~р + 2я) = У(В, 1о), будем искать решения уравнения (17), полагая У(В„уг) = И'(0) Ф(у). Мы получим Фн + рФ = О, Ф(у+ 2и) = Ф(1о), (18) откуда р = глг (т целое) и Фт(~Р) = Со, сов пз1о+ Юо, в1ппиР .
— решения задачи (18). Функция И" (В) определяется из уравнения — ~вш0 )+(Л . г )И' =0~ (20) она должна быть ограничена при 0 = 0 и 0 = и. Полагая в (20) с = сов 0 и обозначая И'(В) = Х(сов 0) = Х(с), запишем уравнение (20) в следующем виде: 200 Гл. 'т'. Краевые задачи длл уравнений эллиптического тина У„(В,ер) = аоР„(совв) + ~~ (ав совЬр+ Ььв1лйр) Р~~~(совв). (23) и=г Так как общее решение уравнения (16) имеет вид л„(т) = А„г" + — ",, то искомые частные решения уравнения (15) таковы: ил(т, О, р) = Яп(т) Уа(В, уг) = (Анг "+ — „„",) 1п(В, р)1 здесь У„(В, уг) определяется формулой (23).
Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для сферы радиуса Л с центром в начале координат: найти решение уравнения (15) при и(е — л = Дд,уг). (24) Решение этой задачи (и других внутренних задач) следует искать в виде ь и(~,д,уг) = К (Ц Уь(д,уг), ( ) в=о причем в случае задачи (15), (24) в качестве функций Уь(д, ер) в (25) нужно взять те и только те функции, которые присутствуют в разло- жении ДО, ~о) в ряд по сферическим функциям Уь(д, ~р) У(в, р) = ~ У,(в, р). в=о Решение задачи (15), (24) в точке Мо(то, Во, р)) можно представить интегралом Пуассона ге е ег „г о о где сов у = сов д оси Во + вш д сАп Во сов (р — ро).
Решение внешней задачи 11ирихле для сферы радиуса В (и других внешних задач) следует искать в виде К ьгг и(т,д, р) = ~~ ( — ) Уь(д,у). в=о Наконец„функцию, гармоническую в сферическом слое Нг < т < Нг и принимающую заданные значения на границе этого слоя, нужно искать в виде ь '"' П е+г , (,, О, р) = 'у ( †" ) У,(В, р) + ~ , '( †' ) Уь(д, р), к=о ь=о где Уь(В,~р) - — сферическая функция вида (23). 201 В /6. Мепгод роздеееннн переменных Выпишем несколько присоединенных полиномов Лежандра и функ- ций Уа (О, ~р) в явном виде для Ь = 0, 1, 2, 3: Р„' ~(соа 0) = вшВ; Рз ~ (сов В) = 15 впг 0 соя В; Рг' ~ (соа В) = 3 вш 0 сов В; Р~1 1(сов В) = 15 вша 0; Р (сов В) = я1пВ; Р„(сов В) = —; яш 0; 0) .
15 созе 0 — 3 (н1 (2п)! еоо (О 9~) ее~ )ег(В,~Р) = а1соьВ+ (Ь| совУ+сг в1пУ) в1пВ, Уг(0,<р) = аг(3 сова  — 1) + (Ьг соя ср+ сг в1п~р) в1п0 сояВ+ + (дг сеи 2д + ег яш 2~р) в1пг О, 1 з (В, ег) = аз (5 совз  — 3 соа О) + (Ьз сов у + сз вш у) яш В (15 совг 0 — 3) + + (дзсоа2~р+ езаш2~р) в1п~В совВ+ (/зсояЗ~р+ Вз в1пЗу) а1п~В.
16.20. 11айти функцию, гармоническую внутри единичной сферы и такую, что: 1) ~(,-~ = сов(2 — 1яшгВ; 3/ 2) и(,-г —— (вшВ+ сйп2В) в1п ~~р+ — 1; 6/' 3) и(,-г = ашВ(яш~р+ ыпВ); 4) и,(,— г = вшю 0 а1п 101о, и/,-е = 1. 16.21. Найти функцию, гармоническую внутри сферы радиуса А с центром в начале координат и такую, что: 1) и), и = яш ~2~р+ — 1я1п В совВ„.
6/ 2) Щ, д = вш (З~р+ — ) вша 0; 4/ 3) и~,— и = яш В сов (2~р — — 1 + я1п 0 вшу; 4/ 4) (и+и,.)~„=д = вш~В [ч/2 соя(2у+ — ) +2совгу~; 5) (и+ и„)/, и = яшВ(вшу+ спад сояВ+в«1В). 16.22. Найти функцию, гармоническую вне единичной сферы и такую, что: 1) и„)„-г =яш(4 ~р)вшВ; 2) и),-г — — сев Вап10вш(~р+ — ). 16.23.
Найти функцию, гармоническую вне сферы радиуса К с центром в начале координат и такую, что: 1) и)„=и = яш 0 сояВ соя З~р+ — 1; 2) и(,-д =ярпп100уяшш~В; 4/' 3) (и — и )(,-д = яп В соа — вш йр + — 1. 2 ~ 6/ 202 Гл. 'т'. Краееме задачи длз враонений эллиптического типа 16.24. Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя 1 < т < 2 и такую, что и1 г — — /г(0,1о), и1„=г — — /г(0,1о), где: 1) У, =вл!Вв1пЧР, /г = 0; 2) Л = 3 яшар яшг В, Уг — 3 сов 0; 3) /г = 7яшВ сов1о, /г = 7О:н В„' 4) Л = пйпг 0 (3 — в1п 2~р), / — 4/ 1 5) /г =12япбсояг — совр, / =11; г В б) /г = мзп 2~р я1пг О, /г = сов 21о вш~ 0; 7) /г = соз 1о я1п 20, Уг = вп1~р в1п 20; 8) /г = 31яш20 яшар, Уг = 31в1п В сов2~р; 9) Л = совВ, Уг = сов<Р(12в1п — 15вшг 0) 16.25. Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя 1 < т < 2 и такую, что: 1) (Зи+и,)(,-г — — бв1п 0 вш21о, и)т-г = — сояВ; 2) и( — г = вш 0 в1п (р (5 + б соя В) и („— г = 12 в1п 20 в1п у; 3) и1т-1 = 1, ит(т-г = 15сов1о(сове 0 вшВ+ зш1овпг 0 сов В).
16.26. Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя 1/2 < т < 1 и такую, что: 1) и(, в/г=б, д б сояг 1о вшг В. 2) и(т г/г = Збсояг ~р яшг В соя В, и(т г —— О. Ответы к 816 16.1. 1) — (1+ тг сов 21о); 2) — (Звш1о — тг яшар); 2 4 3 т т' 5 3 4 3) — + — соя 2~р + — соя 4у; 4) — + — т4 соя 4~р. 8 2 8 ' 8 8 16.2. 1) Ат совр+ С; 2) — тг сов 2у+ С; 2Л 1/ . т 3) — ( Зтв1п~р — в1пЗ~р + С. 4 ( ЗЛг Здесь С вЂ” произвольная постоянная.
16.3. 1) — яш1о; Ат 4То ~ /т'1"+ з1п(2п+1)1о 2То Л вЂ” т я и о ~Л/ 2п+ 1 я 2тЛзгп1о 1пт 3 1пт т 2 1 гт 16.4 1) иг + (иг — иг) —; 2) — — — + ~ — — — тг/' сов2уг. 1п2' 2 1п2 13тг б ) А, г г, иг — из+ А(Лг г— Лг)/4 Лг 16.5. иг + — 1т — Лг) + ' 1п —. 4 !пЛг — 1пЛг т В Чб. Мелтод разделение иереегенных гОЗ 16.6. — (Вз — гз) вш2гр. 24 4 Аху з з Аг егв2гр У к а з а н и е. и = у + уг, где п = — — (х + у ) =— 12 24 частное решение уравнения Пуассона, а иг — решение уравнения ЛапА паса, удовлетворяющее условию нг~„=л = — тсе ьЧп 2Чт. 24 тг(а — х~ 16.7. А а ьдп — ' + В а гдп —.
тга 6 вЬ— а ь а Указание. Решение искать в виде и = у+ ш, где и и иг— тгу гармонические функции такие, что у(х — е = Аьйп —, у~у=а = тт)у=о = лх = У~у=у = О, ю(х=а = ю!х=а = ау=у = О, ю~у=а — — Ввпг— а щ гг =т. жтттг 4у ее вЬ зтв 16 6 4угг ~ Ь Ь а=о (2н+ ц вЬ (за+1) ла ь (зн+Ц тгх (зн-Уз) тгу 4тге ~ ( цн 2Ь ' 2Ь н=о (2в+ 1) сЬ тга 16Ча ее 1 за . (2в+ Ц лх в1п Йлз (2тг + Цз (2тг+Ц тгЬ 2а 2а й — коэффициент внутренней теплопроводности.
У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения Ьтт = —— Ч Ь при условиях и~а=о = и(ув о — — О, ох(х= = иу(у-ь = О. зЬ 'д 16.11. 1) Е а„д, до ~га„— ), где р„(п = 1, 2, ...) — положил Ь ~ и ) д и тельные корни уравнения 1р(и) = О, о„= тт г вв(г) уе ~ ~ Й; атее 2) 2 а„~ь,7у(рн — 1, где р„(и = 1,2,...) —. положитель-зьгде !.В/ дч и ные корни уравнения,!т(р) = О, а„= у, / гпе(г),1а(~" ) Й. Лед:(р,.) . о (Указание. Краевые условия имеют вид )и(„-е) < оо, о),— е = О, и„~ =д = О, м! =ь = ме(г).)~ '" и (р-г1 3) 2 а„— д„.гр (~— "1„где р„(п = 1, 2, ...) - положитель— й Л В и ахат~ т ные корни уравнения тт,Ут(р) — 1ттй,Уе(1т) = О, а„= —, ~1+ ', ) х те 204 Ге.
*е. Краевые задачи дее рраеиеиие зеаиитичееиоео типа х Щри)) г ) гъе(г),)о (~" ) Вг (У к а з а н и е. Краевые условия имео ют вид /и/„=е! <оо, и!,-е =О, (и, + Ьги)~ =л = О, и),=-ь = ие(г).); 2 е ) -' п ~г.('— )) (~по — 'а) "— "'г.('=1)- о Хе(гя) — функция Бесселя нулевого порядка от чисто мнимого аргумента; -гг ь 5) -„Е 'Г' ( — ю)) (~ДΠ— а) — "'.7 ( — „1) ~У о ванне. Краевые условия имеют вид и,(,=о = и,),-ь — — О, и),-л = = Х(").). 16.12.
1) 2 а„й„др~ — "), где д„(п = 1,2,...) — -полоааг с3~" жительные корни уравнения зе(,и) = О„о„=, Й вЂ” коэф- В гг,(р)' фициент теплопроводности (У к аз а н и е. Задача сводится к решению уравнения г3и = 0 при краевых условиях — йозефе=о = д, и)„— л = = и),=е = 0.); ; Ма=ее). 2) 2 аи е й„зе(~— "1, где ра (п = 1,2,...) — положительи=г й ные корни уравнения Р,Тг(р) — Йлпро(р) = О, Ьг — коэффициент теплообмена, а„= 2Ьггйздй г(йгйгд + рг) г(ог(ри)) гщг (У к а з ан и е.
Краевые условия имеют внд (и„+ лги)),=л = О, -кие1е=о = Ч и(геа = 0). 16.13. 1) — соз В; Й З~ йг) Йг 4 гт~~ 1 3) — ~ — ) Рг(созВ) — —; 4) — — — ~ — ) Рг(созВ). з ~Й) з' з з~й) 16.14. — + Рг(соя В). 4 2г.г Зй(й+ 2) 16.15. 1) — — + —, (зсое  — 1) + С, где С вЂ” произвольная 2й й Зг Вгг йг Й4 2) с+(--с) ~соег  — -), где С вЂ” произ- ~3 ) г(Й+1) (Й+3)гз ~ 3) вольная постоянная; А йз 3) С вЂ” — . — соз В, где С вЂ” произвольная постоянная.
2 гг 16.16. 1) Задача разрешима: и = Аг сов В, где С вЂ” произвольная постоянная; 2) задача не имеет решения. В 10. Метиод раздееениз переменных 205 16.17. 1) — +; 2) — (- — 1+тг(Зсов20 — 1)1; 31' Зтз 3 [т 8 4 >8 81 74 г 1281 3) — — — + — т — — ) Р1(сояВ) + ~ — т' — — ) Р,(сов В); Зт 3 (,7 7тг) '> 93 93тг ) 4) — ~1 — -) + — ~ — — т ) Р1(совВ) + — ~т — — ) Р2(совВ); 3 ~ т) 14 ~тг 93~ ') 5) — — 5+ 4 ( — — т ) ХЪ(сояВ). (,тз . 12пН 16.18. Тя ~; ( — 1)" " (4п+ 3)( — ) Рве+1(ссиВ)> О(0 < —.
1619 + ' ~ ( — 1)" "' (4 +3) 2 2 =о 2'4 б "(21'+2) ге+1 х Рг„.ег(соя 0) ( — ) 16.20. 1) тгсов(2>р+-)ап В; 2) (тапВ+тгвш20)вш(р+ — ); 2 1Е 3) — — — (Зсов20+1)+тапВап>р; 4) 1+ — зш'яВ згп10~р. 3 6 10 16.21. 1) ( — ) яш(2>р+ — )ап ВсовВ; 2) ( — ) яш(З>р+-)ап~В; 3) ( — ) яш В соя (2>р — -) + — вш В яш >р; ~л) 4) В й 2 4) — + ( — ) ~ — (Зсоя20 — 1) + — (2сов2>р — вш2>р) вш В 3 Ы [ З(2+Ре) 2+В ( Указание.
(и, + и)~,— р = — Рг (совВ)(2сов2>р — вш2>р) + —— 1 (2) 2 г= 3 2 3 2 — — Рг(совВ), и = А + ВтгРг(совВ) + тг(С соя 2>р + Рзгп2>р) х х Рг> )(совВ) ); 2 'г .. т аз В соз0 соз>р тг Зсозг — 1 ЗаНИЕ. (И+ И,)(,ыа = ВШ>рР1 (СОВВ) + — СОя>рР2 (СОВВ) + —— 11) 1 10 2 3 3 2 — — Рг(совВ), и = А+ В( — )яш>рапВ+ С( — ) соя>рР2 (сояВ)+ +Р Я Рг(сояВ).). 1 .. /х 16.22.
1) — — яшВап ( — — >р); 2тг '14 2) [ — Р (соьВ) + — Р (сояВ)1 вш (>р+ ), 77 Ю1 16.23. 1) ( — ) вЬРВсовВ сов(Зр+ — ); 2) ( — ) ягп100>рягп' В; 206 Рл. 1Р. Краевые задача длл уравнений эллнатнчеекозо типа зв ~ —,„в„(и)'Рв'>В,В)В Л„' „(— " )'Рв'В в)1 за(вв-,) (Указ анне. (и — звт)(т=н = ~-Рз ~(соиО)+ — Рг'~(сояВ)121п(у+-), = (А( — ) РР~В ВВВВ(-) Р ~В ВВ~ з (Рв-)). 81.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
