1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (846320), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Зх' 5) у(х) = (гС(х,«)Д«)д«, где 1 316. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 1. Краевые задачи на плоскости. Решение краевых задач в случае простейших областей (круг, круговое кольцо, прямоугольник и др.) можно получить методом разделения переменных. Изложим этот метод решения задачи Пирвхле для круга: найти функцию и = и(г, гр), удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа Ли = О (1) и принимающую заданные значения на границе круга, т.е. наг=я = Дгр).
Уравнение (1) в полярных координатах (г, 99) имеет вид Ищем частные решения уравнения (3) вида и = 7(г) Ф(гр). Подставляя (4) в (3), получаем Фн(р)+ЛФ(р) =О, (2) (3) (4) г — „(г — ) — ЛЯ = О. (6) 7 — ! 389 Так как и(г,99 + 2я) = и(г; 99), то Ф(гр + 2я) = Ф(гр), и из (б) находим ьГЛ=п (и целое), а Ф„(9е) = А„сев пуг + В„зш пгр.
194 Гл. 1г. Краевые задачи длв уравнений зллиптичееиоео типа Тогда из (6), полагая Х(т) = т", получаем ов = пз, а = хп (и > 0) и, следовательно, Яо(т) = аг" + Ьг При п = 0 (Л = 0) из (б) находим У(т) = Со 1п т + С. Пля решения внутренней задачи Пирихле нужно положить Я„(т) = = ат" (п = 1, 2,...) и Яо(т) = С, твк как г " — + оо и !и г — + — оо при т — + +О. Решение внутренней задачи Пирихле ищем в виде ряда ео и(т,~р) = С+ ~~ — (А„совп1о+ Вов1пгер), (7) о=1 где коэффициенты А и В„определяются из краевого условия (2): Ао = — /~(1Ь) созна Иф, С = — /Д1Ь) ейа Во = — /1(ед) вш пффф.
Суммируя ряд (7), получаем решение внутренней задачи Днрихле внутри круга в виде интеграла Пуассона 1 г й~ — гз и(т ~Р): 2 ~ .г(еР) з 2В ( о) Дз епР" Решение внешней задачи Пирихле ищем в виде ряда Л." и(т, оз) = С + ~ — (А„сов п<р + В„вш шр). о=1 Наконец, рещение уравнения (1) в области Вз < г < Вз при задан- ных краевых условиях на окружностях т = Вз и т = Ля ищем в виде ряда и(г,~р) = 'з (Аот" + — „")совп1о+ ~~~ (В„т" + — ") вшпп+ а1пт+ Ь.
16.1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такУю, что илеса = Д1о), где: 1) Д~р) =ссвз~р; 2) Д~р) =в1п 1р; 3) ~(~р) = совв~р; 4) Д~р) = яп ео+сове~р. 16.2. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса В с центром в начале координат и такую, что: 1) — ~ = Асоя~р; 2) — ~ = Асев2~р; 3) — ~ = гйп ~р. д~~ =и ог е=л Ог~ =и 16.3. Найти стационарное распредецение температуры и(т,ео) внутри бесконечного цилиндра радиуса В, если: 1) на его поверхности поддерживается температура и(т,чз)~, н = Ав1пео; г ЛЬ Метод разделения неременнмк 2) на одной половине поверхности цилиндра (О < ср < к) поддерживается температура — То, а на другой половине ( — я.
( ог < 0)— температура То. 16.4. Найти функцию, гармоническую в кольце 1 < т < 2 и такую, что и[„=г — — уг(~р), и[,=г = уг(д) 1) ~г(~о) = иг — — сопзо, ЛМ) = иг = сапог; 2) ~г(у) = 1+ созг ег, ЯОг) = зп1г <р. 16.5. Найти решение уравнения еги = А в кольце Л1 ( т < Лг, если и[,-л, = им и[„л, = иг (А, им иг — заданные числа).
16.6. Найти решение уравнения Пуассона г1и = — Аху (А = сопзо) в круге радиуса Л с центром в начале координат, если и[,.-л = О. 16.7. Найти решение уравнения Лапласа Ли = 0 в прямоугольнике 0 ( х < а, 0 < у < Ь, если на границе этого многоугольника и(х, у) принимает следующие значения: 7ГД и[к=о=А~~" Ь ' и[о=о =Ваш —, и[„о = О. о 16.8.
Найти распределение потенциала электростатического поля и(х, у) внутри прямоугольника [О < х < а, 0 < у < Ь), если потенциал вдоль стороны этого прямоугольника, лежащей на оси Оу, равен оо, а три другие стороны прямоугольника заземлены. Предполагается, что внутри прямоугольника нет электрических зарядов. 16.9. Найти распределение потенциала электростатического поля и(х,у) внутри коробки прямоугольного сечения — а < х ( а, — Ь < у < Ь, две противоположные грани которой (х = а и х = — а) имеют потенциал оо, а две другие (у = Ь, у = — Ь) заземлены.
16.10. Найти стационарное распределение температуры и(х, у) в прямоугольной однородной пластинке 0 < х < а, 0 < у < Ь, если ее стороны х = а и у = Ь покрыты тепловой изоляцией, две другие стороны (х = О, у = 0) поддерживаются при нулевой температуре, а в пластинке выделяется тепло с постоянной плотностью у. 2. Краевые задачи в пространстве. Нахождение решений задач 16.11, 16.12 методом разделения переменных требует применения бесселевых функций (см.
с. 247). 16.11. Найти стационарную температуру и(т, г) внутренних точек цилиндра с радиусом основания Л и высотой Ь, если: 1) температура нижнего основания и боковой поверхности цилиндра равна нулю, а температура верхнего основания зависит только от т (расстояние от оси цилиндра); 196 Гл. К Краевме задачи для уравнений эллиптического типа Применим метод разделения переменных к уравнению Лапласа в пространстве для шара радиуса В в случае, когда решение и не зависит от угла >,э, т.е. и = и(г,о). Тогда Полагая из (8) получаем и = Я(г) И'(й), (10) (11) Вводя в (10) и (11) вместо Л новую произвольную постоянную и> где Л = и(и + 1), запишем уравнение (10) в следующем виде: гз Ы+ 27 М вЂ” р(2> + Ц Х = О, (12) Уравнение (12) имеет частные решения вида Я = га, где п2 = и и пз = — (и+ 1). Следовательно, Я(г) =С, "+С, -~+'1.
(13) Уравнение (11) заменой независимой переменной по формуле ~ = соя 6 приводится к виду 2) температура нижнего основания равна нулю, боковая поверхность цилиндра покрыта непроницаемым для теплоты чехлом, а температура верхнего основания есть функция от г; 3) температура нижнего основания равна нулю, боковая поверхность цилиндра свободно охлаждается в воздухе нулевой температуры, а температура верхнего основания есть функция от г; 4) температура верхнего и нижнего оснований равна нулю, а температура в каждой точке боковой поверхности зависит только от расстояния этой точки до нижнего основания (т.
е. от з); б) основания цилиндра теплоизолированы, а температура боковой поверхности есть заданная функция от г. 16.12. Найти стационарное распределение температуры внутри твердого тела„имеющего форму цилиндра с радиусом основания В и высотой >с, если: 1) к нижнему основанию з = 0 подводится постоянный тепловой поток й, а боковая поверхность г = В и верхнее основание я = Ь поддерживаются при нулевой температуре; 2) к нижнему основанию г = 0 подводится постоянный тепловой поток д, верхнее основание поддерживается при нулевой температуре, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.
197 Г 16. Метод разделения иеремеииеее — ~(1 — С ) — ~ + р(р + 1) р = О, Н кар ВР ~ (14) где р = И'(агсссжС). Уравнение (14) называется уравнением Лежандра; оно имеет ограниченные на отрезке ] — 1, 1] решения в том и только в том случае, когда и = и (и > О целое). Решениями уравнения (14) при и = и являются полиномы Лежандра 1 1" (Се — 1)" 1 1(е Приведем формулы для Р„(с) при и = О, 1, 2,3,4: Р к) =1 Р(~) =с Р(() = 2(з~ — 1) РзЯ = — (5(з — 3(), Ре(Р) = — (Зб(е — ЗО~з + 3).
Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему в Ьз( — 1,1), т.е. 1 ( Р„(С)Р (е)Щ=О (ифли) и к ме того ро 1 ]]Р,.]]'=~:и ~=,„'„- — 1 Отметим еше, что всакал фУнкцик 1 Е Ьз( — 1,1) Разлагаетск в РЯд Фурье по полиномам Лежандра 2и+ 1 сходящийся в тз( — 1, 1). Из (13), (14) находим частные решения уравнения (8) вида (9) и„(т,В) = ~А„т" +В„т 1еы1~ Р (созВ), где Р„(Р) — полиномы Лежандра. Функции и (т, В) удобно ислользовать для нахождения решения уравнения Лапласа в случае, когда краевые условия заданы на сфе- ре (внутренняя и внешняя задачи) или на границе шарового слоя (В~ < т < Вз). Решение внутренней задачи Лирихле (и других внутренних задач для уравнения Лапласа) в случае, когда краевые условия заданы на сфере т = В и зависят только от В, следует искать в вице и(т,В) = ~ А„т"Р„(созВ), и=с а решение внешней задачи — в виде и(т,В) = ~ В„т 1е Ы1Р„(созВ).
198 Гл. 1с. Краевые эадачи Аы краевской эллиптического типа Если краевые условия заданы на границе шарового слоя Вг < т < Вг и зависят только от В, то решение нужно искать в виде и(т,В) = ~~~ ~А„т" + В„т ~п+'1) Р„(совВ). п=о Коэффициенты А„, В„определяются из краевых условий. 16.13. Найти функцию и, гармоническую внутри шара радиуса В с центром в начале координат и такую, что и! =л = Х(В) где: 1) 1(О) = осе О; 2) 1(В) = сояг В; 3) у(6) = соя2В; 4) 1(О) = я1п О. 16.14. Найти функцию, гармоническую внутри шара радиуса В и (и+и„)(„=л = 1+ соягО. 16.15. Найти функцию, гармоническую вне шара радиуса В и та- кую вхо: 1) иД,— и = в1п В; 2) (и — и,)~, и = вшгО; 3) и,.)„— л = АсовВ.
16.16. Выяснить, разрешима ли внутренняя задача Неймана для шара радиуса В, если: 1) и„!,=Я=АсовВ; 2) и,~, я=в1ПО. Найти соответствующее решение. 16.17. Найти гармоническую внутри шарового слоя 1 < т < 2 функцию такую, что и~с — г = гег (О), и~с —.г = Уг(6), если: 1) уг = совг В, уг = — (совг О + 1); 1 2) гег = соягВ, гег = 4совгΠ— —; 3) уг = 1 — сов 2В, уг = 2 сов В; 4) Л = — сояВ, ~г = 1+ сов26; 1 2 5),~6 = 9сов26,,6 = 3(1 — 7совг 6). 16.18. Найти стационарную температуру внутренних точек полу- сферы радиуса В, если сферическая поверхность поддерживается при постоянной температуре 7в, а основание полусферы — при нулевой температуре.
16.19. Найти стационарную температуру внутри слнорццного изотропного шара радиуса В, если на поверхности шара поддержи- вается температура ~4.=л = иг при 0<В< —, к иг при — < В < в. 2 В уб. Метод разделения наделенном 199 Уравнение Лапласа Ли = 0 в сферических координатах (т,~р, В) имеет вид дги Будем находить решения уравнения (15) методом разделения переменных. Полагая и(г, В, <р) = Я(г) У(0, ~р), из (15) находим 1~Яа+ 2т2' — ЛЯ = О, (18) †.
— ~в1п0 — ) +,, ° — + ЛУ = О В г. 01 1 Вгр ввпб ВВ 1 00 7 вш'В Вдг (1» (19) — (1 — с~) — + Л вЂ”, Х=О. (21) Уравнение (21) имеет ограниченные на отрезке [ — 1, 1] решения лишь при Л = п(п+ 1), где и — целое. Частными решениями уравнения (21) при Л = п(п + 1) являются функции Р(т1(с) (1 сг) уг д Р (с) где Р„(~) (и = 0,1,...) -- полиномы Лежандра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
